3.3 Retrato de fase de sistemas lineares de 1 a ordem

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1 MAP Análise Numérica e Equações Diferenciais I Continuação - 25/05/ o Semestre de Retrato de fase de sistemas lineares de 1 a ordem O espaço de fase de um sistema da forma ẏ = Ay, onde A M n n é o R n, ou seja, é o conjunto de estados (ou condições iniciais) desse sistema. Se φ : R R n é uma solução desse sistema, o conjunto Im(φ) = {φ(t) R n t R} é dito uma trajetória do sistema. O retrato de fase de um sistema é seu espaço de fase juntamente com suas trajetórias, que devem estar orientadas no sentido de percurso quando a varável independente cresce. Exercício 52 Esboce ( ) o retrato de fase dos ( seguintes ) sistemas: (a) ẏ = y (e) ẏ = y ( 0 3 ) ( 0 2 ) (b) ẏ = y (f) ẏ = y ( 0 3) ( 0 2 ) (c) ẏ = y (g) ẏ = y ( 0 3 ) ( 1 3 ) (d) ẏ = y (h) ẏ = y Exercício 53 Esboce ( o ) retrato de fase dos ( seguintes ) sistemas: (a) ẏ = y (d) ẏ = y ( 0 3 ) ( 1 0 ) (b) ẏ = y (e) ẏ = y ( 0 3) ( 1 2 ) (c) ẏ = y (f) ẏ = y

2 4 Mais sobre estudo qualitativo 4.1 Estabilidade de Liapunov Seja F : Ω = Ω R n R n, de classe C 1 e considere ẏ = F (y). (26) Como F não depende da variável independente t, essa equação é dita autônoma. Definição 11 Um ponto y 0 Ω é um ponto de equilíbrio de (26) se a função constante φ(t) = y 0, t R, é solução dessa equação. Proposição 11 y 0 Ω é um ponto de equilíbrio de (26) se e somente se F (y 0 ) = O. Exercício 54 Prove a proposição anterior. Exercício 55 Ache os pontos de equilíbrio de onde F : R 2 R 2 é dada por ẏ = F (y), (a) F (y) = F (y 1, y 2 ) = (2y 1 + y 2, y 1 y 2 ). (b) F (y) = F (y 1, y 2 ) = (2y 1 + y 2, y 1 y 2 2). (c) F (y) = F (y 1, y 2 ) = (y y 2 2 1, y 1 y 2 ). (d) F (y) = F (y 1, y 2 ) = (y y 2 2 1, 0). (e) F (y) = F (y 1, y 2 ) = (e y 1 cos y 2, e y 1 sin y 2 ). Notação: Dado y Ω, denotaremos por φ(t, y), t I y, a solução maximal de (26) que em t 0 = 0 passa pelo ponto y. Assim, I y denota o intervalo maximal dessa solução. Definição 12 Um ponto de equilíbrio y 0 Ω de (26) é estável segundo Liapunov se 2

3 (i) existe δ 0 > 0 tal que se y Ω e y y 0 < δ 0 então [0, [ I y, (ii) para cada ε > 0, existe δ > 0 (δ δ 0 ) tal que se y Ω e y y 0 < δ então φ(t, y) φ(t, y 0 ) < ε, t [0, [. Caso contrário, dizemos que y 0 é instável segundo Liapunov. Definição 13 Um ponto de equilíbrio y 0 Ω de (26) é dito atrator se existe δ 1 > 0 tal que se y Ω e y y 0 < δ 1 então (i) [0, [ I y, (ii) lim t φ(t, y) = y 0. Definição 14 Um ponto de equilíbrio y 0 Ω de (26) é assintoticamente estável segundo Liapunov se for estável segundo Liapunov e atrator. Teorema 9 Se φ(., y) : I y R n é solução de (26) e sua imagem para t I y [0, [ está contida num compacto de Ω, então [0, [ I y. Exercício 56 Mostre que, em consequência do teorema anterior, podemos dispensar a exigência (i) da definição 12 e a exigência (i) da definição 13. Exercício 57 Reveja os retratos de fase dos sistemas lineares dados no exercício 52. Em cada caso, decida se o ponto de equilíbrio (0, 0) é ou não estável segundo Liapunov. Em quais casos temos estabilidade assintótica? 4.2 Duas técnicas para estudar estabilidade de Liapunov Duas técnicas são bastante usadas para o estudo da estabilidade de Liapunov de pontos de equilíbrio e para estudar o comportamento de soluções perto de pontos de equilíbrio. Uma delas faz uso de funções auxiliares convenientes, outra faz uso da linearização da equação perto do ponto de equilíbrio em questão. A seguir apresentaremos alguns resultados para ilustrar esses métodos. 3

4 4.2.1 Uso de funções auxiliares Proposição 12 (função de Liapunov p/ estabilidade) Seja y 0 um ponto de equilíbrio de (26). Sejam U Ω aberto tal que y 0 U e V : U R de classe C 1. Suponha que V satisfaz: (i) V (y) > V (y 0 ), y U, y y 0, (ii) V (y) := JV (y)f (y) 0, y U. Então y 0 é estável segundo Liapunov. Exercício 58 Considere o sistema ẏ = F (y) onde F (y) = ( 2y 1, 4y 2 ). (a) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio desse sistema. (b) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio estável segundo Liapunov. Sugestão: V (y) = y y 2 2. Exercício 59 Considere o sistema ẏ = F (y) onde F (y) = ( 2y 1 + y 1 y 2, 4y 2 + 3y 1, y 2 ). (a) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio desse sistema. (b) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio estável segundo Liapunov. Sugestão: V (y) = y y 2 2. Exercício 60 Considere o sistema ẏ = F (y) onde F (y) = (y 2, y 1 ). (a) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio desse sistema. (b) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio estável segundo Liapunov. Sugestão: V (y) = 1 2 (y2 1 + y 2 2). 4

5 Proposição 13 (função de Liapunov p/ estabilidade assintótica) Seja y 0 um ponto de equilíbrio de (26). Sejam U Ω aberto tal que y 0 U e V : U R de classe C 1. Suponha que V satisfaz: (i) V (y) > V (y 0 ), y U, y y 0, (ii) V (y) := JV (y)f (y) < 0, y U, y y 0. Então y 0 é assintoticamente estável segundo Liapunov. Exercício 61 Considere o sistema dado no exercício 58. origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. Exercício 62 Considere o sistema dado no exercício 59. origem é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável. Mostre que a Mostre que a Proposição 14 (função de Liapunov p/ instabilidade) Seja y 0 um ponto de equilíbrio de (26). Sejam U Ω aberto tal que y 0 U e V : U R de classe C 1. Suponha que V satisfaz: (i) V (y) > V (y 0 ), y U, y y 0, (ii) V (y) := JV (y)f (y) > 0, y U, y y 0. Então y 0 é instável segundo Liapunov. Exercício 63 Considere o sistema ẏ = F (y) onde F (y) = (2y 1, 4y 2 ). (a) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio desse sistema. (b) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio instável segundo Liapunov. Sugestão: V (y) = y y 2 2. Exercício 64 Considere o sistema ẏ = F (y) onde F (y) = (2y 1 + y 1 y 2, 4y 2 + 3y 1, y 2 ). (a) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio desse sistema. (b) Mostre que a origem (0, 0) é um ponto de equilíbrio instável segundo Liapunov. Sugestão: V (y) = y y

6 4.2.2 Uso da linearização Se y 0 é um ponto de equilíbrio de (26) então podemos desenvolver F (y) ao redor de y 0 usando seu polinômio de Taylor de 1 a ordem: F (y) = F (y 0 ) + JF (y 0 )(y y 0 ) + R(y) = JF (y 0 )(y y 0 ) + R(y), onde R(y) y y 0 0 quando y y 0, Portanto podemos aproximar F (y) ao redor de y 0 pelo seu polinômio de Taylor de 1 a ordem: F (y) F (y 0 ) + JF (y 0 )(y y 0 ) = JF (y 0 )(y y 0 ). Uma pergunta natural é se o sistema linear ẏ = JF (y 0 )(y y 0 ) (27) aproxima bem o sistema (26) perto de y 0. Mais explicitamente, gostaríamos de saber se o comportamento das soluções de (27) que começam perto de y 0 representam bem o comportamento das soluções de (26) que começam perto de y 0. É claro que podemos chamar z = y y 0, reescrever (27) como ż = JF (y 0 )z (28) e passar a perguntar se o comportamento das soluções de (28) que começam perto de z 0 = O representam bem o comportamento das soluções de (26) que começam perto de y 0. Os resultados a seguir respondem parcialmente essas perguntas. Proposição 15 (linearização) Seja y 0 um ponto de equilíbrio de (26). (a) Se todos os autovalores de JF (y 0 ) têm parte real < 0 então y 0 é assintoticamente estável segundo Liapunov. (b) Se JF (y 0 ) tem um autovalor com parte real > 0 então y 0 é instável segundo Liapunov. 3,4,8,9 Exercício 65 Use a proposição anterior para estudar a estabilidade da origem dos sistemas dos exercícios 58, 59, 63 e 64. 6

7 Exercício 66 Use a proposição anterior para estudar a estabilidade da origem do sistema ẏ = F (y) onde F (y) = ( 2y 1 + y 1 y 2, 4y 2 + 3y 1, y 2 ). Proposição 16 (parte do teorema de Hartman) Seja y 0 um ponto de equilíbrio de (26). Se todos os autovalores de JF (y 0 ) têm parte real 0 então o retrato de fase de (26) perto de y 0 é essencialmente igual ao retrato de fase de (28) perto de z 0 = O no seguinte sentido: (a) o conjunto das condições iniciais y cujas soluções de (26) tendem para o ponto de equilíbrio y 0 no futuro tem como espaço tangente em y 0 o espaço das condições iniciais z cujas soluções de (28) tendem a z 0 = 0 no futuro, e (b) o conjunto das condições iniciais y cujas soluções de (26) tendem para o ponto de equilíbrio y 0 no passado tem como espaço tangente em y 0 o espaço das condições iniciais z cujas soluções de (28) tendem a z 0 = 0 no passado. 7

8 Complemento: Pontos de máximo, de mínimo, de sela Em muitas situações, teremos candidatas a função auxiliar V a serem usadas como nas proposições 12, 13 e 14, e precisaremos descobrir se V satisfaz a propriedade (i), e se V satisfaz a propriedade (ii) de uma dessas proposições. Em qualquer dos casos, o problema pode ser resumido em: como descobrir se um certo ponto y 0 é ponto crítico de uma função G (G = V ou G = V ) e, em caso afirmativo, como descobrir se ele é um ponto de máximo, de mínimo ou de sela (i.é, nem máximo nem mínimo) de G. Ser um ponto crítico de G significa anular o gradiente de G, ou seja, y 0 é ponto crítico de G G(y 0 ) = O JG(y 0 ) = [0 0 0]. Para descobrir se um determinado ponto crítico é ponto de máximo, de mínimo ou de sela de G podemos usar algumas ferramentas apresentadas a seguir. Formas Quadráticas Seja A uma matriz real n n, simétrica. A função Q(y) = Q A (y) := Ay y = y t Ay, y R n, é uma forma quadrática. Ela satisfaz: Q(ty) = t 2 Q(y), t R, y R n. Se Q(y) > 0, y R n, Q é dita uma forma quadrática definida positiva (neste caso, Q tem mínimo estrito global em O). Se Q(y) < 0, y R n, Q é dita uma forma quadrática definida negativa (neste caso, Q tem máximo estrito global em O). Se existem y + e y tais que Q(y + ) > 0 e Q(y ) < 0, Q é dita uma forma quadrática indefinida (neste caso, Q tem sela em O). Proposição 17 Seja S(y) uma função definida numa vizinhança Ω 0 de O, satisfazendo S(y) lim y O y = 0. 2 Então (a) se Q = Q A é uma forma quadrática definida positiva, existe δ > 0 tal que B δ (O) Ω 0 e a função G = Q + S satisfaz G(y) > 0, y B δ (O), y O (isto é, O é ponto de mínimo estrito de G em B δ (O). 8

9 (b) se Q = Q A é uma forma quadrática definida negativa, existe δ > 0 tal que B δ (O) Ω 0 e a função G = Q + S satisfaz G(y) < 0, y B δ (O), y O (isto é, O é ponto de máximo estrito de G em B δ (O). (c) se Q = Q A é uma forma quadrática indefinida, então para cada δ > 0 existem y δ+, y δ B δ (O) tais que a função G = Q + S satisfaz G(y δ+ ) > 0 e G(y δ ) < 0 (isto é, O é ponto de sela de G. Proposição 18 Seja A uma matriz real n n, simétrica, e considere as submatrizes [ a11 a A 1 = [a 11 ], A 2 = 12 a 21 a 22 ],..., A k = a 11 a 12 a 1k a 21 a 22 a 2k......,..., A n = A. a k1 a k2 a kk (a) Se det A k > 0, k = 1, 2,..., n, então Q A é definida positiva. (b) Se det A 1 < 0, det A 2 > 0,..., sgn det A k = ( 1) k,..., então Q A é definida negativa. (c) Se det A k > 0, k = 1, 2,..., s e det A s+1 < 0, então Q A é indefinida. Seja Ω 0 R n aberto. Se G : Ω 0 R é de classe C 2 e tem um ponto crítico y 0 (isto é, G(y 0 ) = O, ou seja, JG(y 0 ) = [0 0 0]), então podemos desenvolver G ao redor de y 0 usando seu polinômio de Taylor de 2 a ordem, obtendo G(y) = G(y 0 ) + JG(y 0 )(y y 0 ) + 1 2! (y y 0) t Hess G(y 0 )(y y 0 ) + R(y) = G(y 0 ) + 1 2! (y y 0) t Hess G(y 0 )(y y 0 ) + R(y) onde Hess G(y 0 ) é a matriz hessiana de G no ponto y 0 e lim y y 0 Corolário 10 Nas condições acima: R(y) y y 0 2 = 0. 9

10 (a) se Hess G(y 0 ) é definida positiva então y 0 é um ponto de mínimo local estrito de G, isto é, existe δ > 0 com B δ (y 0 ) Ω 0 tal que G(y) > G(y 0 ), y B δ (y 0 ), y y 0. (b) se Hess G(y 0 ) é definida negativa então y 0 é um ponto de máximo local estrito de G, isto é, existe δ > 0 com B δ (y 0 ) Ω 0 tal que G(y) < G(y 0 ), y B δ (y 0 ), y y 0. Este corolário pode ser usado para mostrar, sob certas circunstâncias, que uma candidata V serve como função auxiliar para mostrar estabilidade assintótica de um ponto de equilíbrio de (26), ou para mostrar instabilidade. 10