Bifurcações da região de estabilidade de sistemas dinâmicos autônomos não lineares: Bifurcação Sela-Nó do Tipo-1

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1 Bifurcações da região de estabilidade de sistemas dinâmicos autônomos não lineares: Bifurcação Sela-Nó do Tipo-1 Fabíolo Moraes Amaral Departamento de Ensino, IFBA Campus Eunápolis , Eunápolis, BA Luís F. C. Alberto Universidade de São Paulo - Escola de Eng. de São Carlos , São Carlos, SP lfcalberto@usp.br Palavras-chave: Região de estabilidade, Domínio de atração, Fronteira da região de estabilidade, Bifurcação sela-nó. Resumo: O comportamento da região de estabilidade de sistemas dinâmicos sujeitos a variação de parâmetros é estudado neste artigo. O comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira quando o sistema vai de encontro a uma bifurcação sela-nó do tipo-1 na fronteira da região de estabilidade é investigado. Uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um valor de bifurcação sela-nó do tipo-1 é apresentado neste artigo. 1 Introdução Caracterizações dinâmicas e topológicas da fronteira da região de estabilidade de sistemas dinâmicos autônomos não lineares podem ser encontradas, por exemplo em [2] e [6]. As caracterizações existentes da fronteira da região de estabilidade são fornecidas sob algumas suposições sobre o campo vetorial, incluindo a hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade e condições de transversalidade. Neste artigo, estamos interessados em estudar caracterizações da região de estabilidade e de sua fronteira quando o sistema está sujeito a variação de parâmetros. A análise do comportamento da região de estabilidade sob variações do parâmetro (bifurcações da região de estabilidade) encontra aplicações importantes, por exemplo, na análise de colapso de tensão de sistemas elétricos de potência [4]. Sob variação de parâmetros, bifurcações locais podem ocorrer na fronteira da região de estabilidade e a suposição de hiperbolicidade dos pontos de equilíbrio pode ser violada nos pontos de bifurcações. Logo, estudar a caracterização da fronteira da região de estabilidade em pontos de bifurcações é de fundamental importância para entender como a região de estabilidade se comporta sob variação de parâmetros. Este artigo é organizado da seguinte maneira. Na Seção 2, uma revisão da caracterização da fronteira da região de estabilidade de sistemas dinâmicos autonômos não lineares é apresentada, incluindo a robustez da caracterização da fronteira da região de estabilidade sob as condições de hiperbolicidade e transversalidade. A principal contribuição deste artigo é apresentada na Seção 3. Mais precisamente, uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um valor de bifurcação sela-nó do tipo-1 é desenvolvida. A Seção 4 é dedicada aos exemplos e a Seção 5 às conlusões. 42

2 2 Caracterização da fronteira da região de estabilidade Considere o sistema dinâmico autônomo não linear ẋ = f(x) (1) onde x R n e f : R n R n é um campo vetorial de classe C r com r 2. A solução de (1) começando em x no tempo t = 0 é denotada por ϕ(t, x). Um ponto x R n é um ponto de equilíbrio de (1) se f(x ) = 0. Um ponto de equilíbrio x de (1) é dito ser hiperbólico se nenhum autovalor da matriz Jacobiana D x f(x ) tem parte real igual a zero. Um ponto de equilíbrio hiperbólico x é um ponto de equilíbrio assintoticamente estável se todos os autovalores de Df(x ) tem parte real negativa; caso contrário é um ponto de equilíbrio instável. Um conjunto S R n é dito ser um conjunto invariante de (1) se toda trajetória de (1) começando em S permanece em S para todo t. A região de estabilidade de um ponto de equilíbrio assintoticamente estável x s de (1) é definida como A(x s ) = {x R n : ϕ(t, x) x s quando t }. A região de establidade A(x s ) é um conjunto invariante, aberto e difeomorfo ao R n [2]. O fecho A(x s ) é invariante e a fronteira da região de estabilidade A(x s ) é um conjunto fechado e invariante [2]. Uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade de uma ampla classe de sistemas dinâmicos foi apresentada em [2]. Considere o sistema não linear (1) satisfazendo as seguintes afirmações: (A1) Todos os pontos de equilíbrios em A(x s ) são hiperbólicos. (A2) As variedades estáveis e instáveis dos pontos de equilíbrio em A(x s ) satisfazem a condição de transversalidade. (A3) Toda trajetória em A(x s ) se aproxima de um ponto de equilíbrio quando t. As afirmações (A1) e (A2) são propriedades genéricas de sistemas dinâmicos na forma de (1). Em outras palavras, elas são satisfeitas para a maioria dos sistemas dinâmicos na forma de (1) e, na prática, elas não precisam ser verificadas. Ao contrário, a afirmação (A3) não é uma propriedade genérica e tem de ser verificada. A existência de uma função energia é uma condição suficiente para a satisfação da afirmação (A3). Para mais detalhes sobre este assunto, consultar [2]. Sob as afirmações (A1)-(A3), o teorema a seguir fornece uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade do sistema dinâmico não linear (1). Teorema 2.1 [2](Caracterização da fronteira da região de estabilidade) Seja x s um ponto de equilíbrio assintoticamente estável de (1) e A(x s ) sua região de estabilidade. Se as afirmações (A1)-(A3) são satisfeitas, então: A(x s ) = i W s (x i ) onde x i, i = 1, 2,... são os pontos de equilíbrio em A(x s ). O Teorema 2.1 mostra que a fronteira da região de estabilidade é a união das variedades estáveis de todos os pontos de equilíbrio na fronteira da região de estabilidade. Neste artigo, estamos interessados em estudar o comportamento da fronteira da região de estabilidade da seguinte classe de sistemas dinâmicos ẋ = f(x, λ) = f λ (x) (2) com x R n, f : R n R R n de classe C r, com r 2, dependendo de um parâmetro λ R. Dado um ponto de equilíbrio hiperbólico x λ do sistema (2) para λ = λ, o Teorema da Função Implícita garante que em uma vizinhança de x λ continua existindo um único ponto 43

3 de equilíbrio hiperbólico x λ do sistema perturbado (2) para todo λ próximo à λ. Em outras palavras, um ponto de equilíbrio hiperbólico persiste sob pequenas variações do parâmetro λ. Além disso, usando a continuidade dos autova-lores com relação aos parâmetros, podemos afirmar também que o tipo de estabilidade do ponto de equilíbrio perturbado x λ é o mesmo do ponto de equilíbrio x λ. Em particular, se x s λ é um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável do sistema (2) para λ = λ, então continua existindo, para valores de λ próximos a λ, um único ponto de equilíbrio assintoticamente estável perturbado x s λ próximo a x s λ. Consequentemente, faz sentido estudar o comportamento da região de estabilidade perturbada A λ (x s λ ). O próximo teorema estuda a robustez da caracterização da fronteira da região de estabilidade sob as afirmações (A1)-(A3). Teorema 2.2 [3](Robustez da Caracterização da Fronteira da Região de Estabilidade) Seja x s λ um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável de (2), para λ = λ e A λ (x s λ ) sua região de estabilidade. Se as afirmações (A1)-(A3) são satisfeitas para todo λ próximo a λ e x i λ, i = 1,..., k são os pontos de equilíbrio em A λ (x s λ ), então existe ǫ > 0 tal que, para todo λ (λ ǫ, λ + ǫ), os pontos de equilíbrio perturbados x i λ, i = 1,..., k estão também na fronteira da região de estabilidade de x s λ, e A λ (x s λ ) = i W s λ (xi λ ) onde x i λ, i = 1, 2,... são os pontos de equilíbrio perturbados em A λ(x s λ ). Em [1], foi apresentado uma caracterização da fronteira da região de estabilidade sob a variação de parâmetros para um caso particular de violação da afirmação (A1), isto é, quando um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-0 está na fronteira da região de estabilidade. Neste artigo, estudamos uma caracterização da fronteira da região de estabilidade sob a variação de parâmetros quando um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1 está na fronteira da região de estabilidade. Esta caracterização é o passo inicial para entedermos como a região de estabilidade se comporta no aparecimento de bifurcãções sela-nó do tipo-1 na fronteira da região de estabilidade. 3 Caracterização da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um valor de bifurcação sela-nó do tipo-1 Nesta seção, uma caracterização da fronteira da região de esabilidade na vizinhança de um valor de bifurcação sela-nó do tipo-1 é apresentada. Começamos a seção com alguns conceitos da teoria de bifurcação sela-nó. Definição 3.1 [5](Ponto de equilíbrio sela-nó) Um ponto de equilíbrio não hiperbólico x λ0 R n de (2), para um parâmetro fixo λ = λ 0, é chamado um ponto de equilíbrio sela-nó e (x λ0, λ 0 ) um ponto de bifurcação sela-nó se as seguintes afirmações são satisfeitas: (C1) D x f λ0 (x λ0 ) tem um único autovalor simples igual a 0 com v um autovetor à direita e w à esquerda. (C2) w(d λ f(x λ0, λ 0 )) 0. (C3) w(d 2 xf λ0 (x λ0 )(v, v)) 0. Um ponto de equilíbrio sela-nó ou um ponto de bifurcação sela-nó pode ser classificado em tipos de acordo com o número de autovalores de D x f λ0 (x λ0 ) com parte real positiva. Definição 3.2 (Tipo de bifurcação sela-nó) Um ponto de equilíbrio sela-nó x λ0 de (2), para um parâmetro λ = λ 0, é chamado um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-k e (x λ0, λ 0 ) um ponto de bifurcação do tipo-k se D x f λ0 (x λ0 ) tem k autovalores com parte real positiva e n k 1 com parte real negativa. 44

4 Observação 3.1 O parâmetro λ 0 da Definição 3.2 é chamado um valor de bifurcação sela-nó do tipo-k. O teorema a seguir descreve o comportamento dinâmico do sistema (2) próximo a um ponto de bifurcação sela-nó do tipo-1, sua demonstração pode ser encontrada em [5]. Teorema 3.1 [5] Seja (x λ0, λ 0 ) um ponto de bifurcação sela-nó do tipo-1 de (2). Então existe uma vizinhança U de x λ0 e δ > 0 tal que, dependendo dos sinais das expressões em (C2) e (C3), não existe ponto de equilíbrio em U quando λ (λ 0 δ, λ 0 )[λ (λ 0, λ 0 +δ)] e existem dois pontos de equilíbrio em U para cada λ (λ 0, λ 0 + δ)[λ (λ 0 δ, λ 0 )]. Os dois pontos de equilíbrio em U são hiperbólicos do tipo-1 e tipo-2, respectivamente. Além disso, a variedade estável do ponto de equilíbrio hiperbólico tipo-1 intercepta a variedade instável do ponto de equilíbrio hiperbólico tipo-2 ao longo de uma variedade unidimensional. Seja x s λ 0 um ponto de equilíbrio assintoticamente estável de (2) para um parâmetro fixo λ = λ 0, e considere a seguinte afirmação: (A1 ) Todos os pontos de equilíbrio em A λ0 (x s λ 0 ) são hiperbólicos ou pontos de equilíbrio selanó do tipo-1. A afirmação (A1 ) é mais fraca que (A1). Ela permite a presença de pontos de equilíbrio não-hiperbólicos sela-nó do tipo-1 na fronteira da região de estabilidade. O teorema a seguir estuda o comportamento da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1. Teorema 3.2 (Comportamento da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1): Seja (x λ0, λ 0 ) um ponto de bifurcação selanó do tipo-1 onde x λ0 pertence à fronteira da região de estabilidade A λ0 (x s λ 0 ) de um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável x s λ 0 de (2) para λ = λ 0. Se as afirmações (A1),(A2) e (A3) são satisfeitas em um intervalo aberto contendo λ 0, exceto no valor de bifurcação sela-nó do tipo-1 λ 0 onde as afirmações (A1 ),(A2) e (A3) são satisfeitas, e o número de pontos de equilíbrio do sistema (2) para λ = λ 0 é finito, então existe uma vizinhança U de x λ0 e β β > 0 tal que: (i) Existem somente dois pontos de equilíbrio hiperbólicos instáveis y λ 1 and y λ 2 em U para todo λ (λ 0 β, λ 0 ), do tipo-1 e tipo-2 respectivamente, e não existe ponto de equilíbrio em U para todo λ (λ 0, λ 0 + β ). (ii) y λ 1 A λ (x s λ ) e y λ 2 A λ(x s λ ) para todo λ (λ 0 β, λ 0 ). Demonstração: (i) A existência da vizinhança U e escalar β com as propriedades desejadas é uma consequência direta do Teorema 3.1. (ii) Desde que x λ0 A λ0 (x s λ 0 ) e as suposições (A1 ),(A2) e (A3) são satisfeitas para λ = λ 0, podemos afirmar que Wλ cu+ 0 (x λ0 ) A λ0 (x s λ 0 ). Além disso, esta interseção é transversal. Por outro lado, como A λ0 (x s λ 0 ) = Wλ s 0 (x s λ 0 ), temos que Wλ cu+ 0 (x λ0 ) Wλ s 0 (x s λ 0 ). Exlorando o fato que Wλ u(y λ 1) e W λ s(xs λ ) depende continuamente de λ podemos afirmar que existe ǫ 2 > 0 tal que Wλ u(y λ 1) W λ s(xs λ ) para todo λ (λ 0 ǫ 2, λ 0 ), ou seja, Wλ u(y λ 1) A λ(x s λ ) para todo λ (λ 0 ǫ 2, λ 0 ). Portanto, o Teorema 3-7 provado em [2] garante que y λ 1 A λ (x s λ ) para todo λ (λ 0 ǫ, λ 0 ) com β = min{ǫ 1, ǫ 2 }. Mostraremos agora que y λ 2 A λ (x s λ ). Pelo Teorema 3.1 a variedade estável do ponto de equilíbrio hiperbólico tipo-1 intercepta a variedade instável do ponto de equilíbrio hiperbólico tipo-2 ao longo de uma variedade unidimensional, ou seja, Wλ s(y λ 1) W λ u(y λ 2). Como y λ 1 A λ(x s λ ) para todo λ (λ 0 β, λ 0 ), novamente o Teorema 3-7 provado em [2] garante que Wλ s(y λ 1) A λ(x s λ ), logo W λ u(y λ 2) A λ(x s λ ), isto é, y λ 2 A λ (x s λ ) para todo λ (λ 0 β, λ 0 ) e o teorema está provado. 45

5 O teorema 3.2 afirma que, na ocorrência de uma bifurcação sela-nó do tipo-1 na fronteira da região de estabilidade, necessariamente os dois pontos de equilíbrio hiperbólicos que coalescem e desaparecem na bifurcação sela-nó pertencem à fronteira da região de estabilidade. Caso contrário, a suposição genérica de transversalidade seria violada. Como conseqüência deste fato, verifica-se que a fronteira não sofre mudanças drásticas com a ocorrência da bifurcação, embora a caracterização tenha se alterado. Neste aspecto, o comportamento da região de estabilidade e de sua fronteira sob a influência de variações de parâmetros nas vizinhanças de uma bifurcação sela-nó do tipo-1 se diferencia da bifurcação sela-nó do tipo-0. Na bifurcação sela-nó do tipo zero, mudanças drásticas da região de estabilidade e de sua fronteira são observadas [1]. O corolário a seguir oferece uma caracterização completa da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um valor de bifurcação sela-nó do tipo-1. Corolário 3.1 (Caracterização da fronteira da região de estabilidade na vizinhança de um parâmetro de bifurcação sela-nó do tipo zero): Sejam (x j λ 0, λ 0 ), j = 1,..., m pontos de bifurcações sela-nó do tipo-1 onde x j λ 0 pertence à fronteira da região de estabilidade A λ0 (x s λ 0 ) de um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável x s λ 0 de (2) para λ = λ 0. Se as afirmações (A1),(A2) e (A3) são satisfeitas em um intervalo aberto contendo λ 0, exceto no valor de bifrucação sela-nó do tipo-1 λ 0 onde as afirmações (A1 ),(A2) e (A3) são satisfeitas, e o número de pontos de equilíbrio do sistema (2) para λ = λ 0 é finito, então: (i) Para λ = λ 0 temos A λ0 (x s λ 0 ) = Wλ s 0 (zλ i 0 ) Wλ cs 0 (x j λ 0 ). i j onde z i λ 0, i = 1, 2,..., k são os pontos de equilíbrio hiperbólicos em A λ0 (x s λ 0 ) e x i λ 0, i = 1, 2,..., k são os pontos de equilíbrio sela-nó do tipo-1 em A λ0 (x s λ 0 ). (ii) Existe ǫ > 0 tal que, para todo λ (λ 0 ǫ, λ 0 ), A λ (x s λ ) = i W s λ (zi λ ) j W s λ (yj λ 1 ) j W s λ (yj λ 2 ) onde z i λ, i = 1, 2,..., k são os pontos de equilíbrio hiperbólicos perturbados em A λ(x s λ ), yj λ 1 e y j λ 2, j = 1,..., m são os pontos de equilíbrio hiperbólicos instáveis originados da bifurcação sela-nó do tipo-1, que também pertencem a A λ (x s λ ). (iii) Existe ǫ > 0 tal que, para todo λ (λ 0, λ 0 + ǫ), A λ (x s λ ) = i W s λ (zi λ ) onde z i λ, i = 1, 2,..., k são os pontos de equilíbrio hiperbólicos perturbados em A λ(x s λ ). 4 Exemplos Considere o sistema de equações diferencias ẋ = 1 λsen(x) 2sen(x y) ẏ = 1 3sen(y) 2sen(y x) ż = z onde (x;y; z) R 3 e λ R. O sistema (3) possui, para λ 0 = 2, 84, um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável x s λ 0 = (0,35; 0,34; 0) e um ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1 x λ0 = (1,42; 3,39; 0). O ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1 pertence à fronteira da região de estabilidade λ0 (0,35; 0,34; 0), ver Figura 1. Para λ = 2, 87, o sistema (3) possui um ponto de equilíbrio hiperbólico assintoticamente estável x s λ = (0,33; 32; 0), y λ1 = (1,14; 3,34; 0) um ponto de equilíbrio hiperbólico (3) 46

6 instável do tipo-1 e y λ 2 = (1,48; 3,43; 0) um ponto de equilíbrio hiperbólico instável do tipo-2. Os pontos de equilíbrio y λ 1 e y λ 2 são originados do ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1 em uma bifurcação sela-nó do tipo-1. Além disso, y λ 1 A λ (0,33; 32; 0) e y λ 2 A λ (0,33; 32; 0), de acordo com o Teorema 3.2, vide Figura 2. Figura 1: A superfície em vermelho é a fronteira região de estabilidade do ponto de equilíbrio assintóticamente estável x s λ 0 = (0,35;0,34;0) do sistema (2) para λ = λ 0 = 2,84. O ponto de equilíbrio sela-nó do tipo-1 x λ0 = (1,42;3,39;0) pertence à fronteira da região de estabilidade λ0 (0,35;0,34;0). Figura 2: A superfície em vermelho é a fronteira região de estabilidade do ponto de equilíbrio assintóticamente estável x s λ = (0,33;32;0) do sistema (2) para λ = 2,87. Os pontos de equilíbrio instáveis y λ 1 = (1,14;3,34;0) e y λ 2 = (1,48;3,43;0) originados da bifurcação sela-nó do tipo-1 pertencem à fronteira da região de estabilidade λ (0,33;32;0). 5 Conclusão Neste trabalho, estudamos o comportamento da região de estabilidade de sistemas dinâmicos autônomos não-lineares sob a variação de parâmetros. Em particular, estudamos uma caracterização da fronteira região de estabilidade na presença de pontos de equilíbrio sela-nó do tipo-1 na fronteira da região de estabilidade. Trabalho futuros nesta área incluem a análise de outros tipos de bifurcação na fronteira da região de estabilidade, tais como bifurcações de Hopf. Aplicações promissoras desses resultados incluem a análise de estabilidade de sistemas elétricos de potência e a teoria de redes neurais artificiais. Referências [1] Amaral, F. M., Alberto, L. F. C., Stability Region Bifurcations of Nonlinear Autonomous Dynamical Systems: Type-Zero Saddle-Node Bifurcations, International Journal of Robust and Nonlinear Control, Vol. 21, No. 6, ,

7 [2] Chiang, H. -D., Hirsch, M. W., Wu, F. F., Stability regions of nonlinear autonomous dynamical systems, IEEE Transactions on Automatic Control, Vol. 33, 16 27, [3] Chiang, H. -D., Chia-Chu, Theorical foundation of the BCU method for direct stability analysis of network-reduction power system models with small transfer conductances, IEEE Transactions on Circuits and Systems-I: Fundamental Theory and Applications, Vol. 42, , [4] Guedes, R. B. de Lima, Alberto, L. F. C., Bretas, N. G., Power System Low-Voltage Solutions Using an Auxiliary Gradient System for Voltage Collapse Purposes, IEEE Transactions on Power Systems, Vol. 20, , [5] Sotomayor, J., Generic bifurcations of dynamical systems, Dinamical Systems, , [6] Venkatasubramanian, V., Schattler, H., Zaborszky, J., A taxonomy of the dynamics of large differential-algebraic systems, Proceedings IEEE, Vol. 83, ,