Bifurcações de Sistemas Dinâmicos Planares e Aplicações em Sistemas de Potência

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1 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 1 Bifurcações de Sistemas Dinâmicos Planares e Aplicações em Sistemas de Potência 1. Introdução O estudo global das curvas definidas pela Equação Diferencial Planar x = P( x, y) y = Q( x, y) (1) inicia-se com a memória de H. Poincaré Sur les courbes définies par une équation differéntielle, publicada em Inaugurou-se com este trabalho uma linha de pensamento e de contribuições conhecida como Teoria Qualitativa das Equações Diferenciais, um ramo do que hoje chamamos de Sistemas Dinâmicos. Após 120 anos de existência, enriqueceu com novos problemas e gerou várias ramificações de importância atual inegável. Dentro do estudo da Teoria Qualitativa destacam-se os assuntos estabilidade estrutural e bifurcações. Este último tem alcançado notáveis aplicações nas mais diversas áreas do conhecimento. Uma delas é a aplicação da bifurcação denominada sela-nó no estudo da análise de colapso de tensão [1], [7], [8] e [9]. A instabilidade de tensão em um sistema elétrico surge em virtude da demanda de carga não poder ser atendida pela geração e/ou transmissão [6]. É de fundamental importância para uma operação segura de um sistema elétrico a determinação do limite máximo de carregamento do sistema, ou simplesmente ponto de máximo carregamento, a partir do qual aparece a instabilidade de tensão. Vários métodos para a obtenção deste ponto de máximo carregamento têm sido sugeridos na literatura. Dentre eles pode-se destacar o método da continuação [4], que utiliza o vetor tangente como previsor.

2 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 2 Para analisarmos, do ponto de vista matemático, esta técnica do vetor tangente no método da continuação, faz-se necessário o estudo das Equações Diferenciais Planares (1). Como uma primeira ferramenta, necessitamos do estudo da estabilidade estrutural r dos sistemas (1), ou equivalentemente, dos campos de vetores X = ( P, Q), de classe C, numa região planar M com fronteira suave. Trata-se de caracterizar aqueles sistemas cujos retratos de fase em M não se alteram qualitativamente por pequenas perturbações de suas componentes, as funções P e Q. r A compreensão do conjunto dos sistemas de classe C estruturalmente estáveis, sua caracterização em termos de elementos essenciais do sistema (singularidades, órbitas periódicas e separatrizes), sua abertura e densidade no espaço de todos os sistemas de classe r C, constitui o ponto de partida para o estudo das mudanças estruturais (bifurcações) nos retratos de fase de sistemas x = P( x, y, ) y = Q( x, y, ) (1 ) que dependem de parâmetros. De fato, estas mudanças acontecem somente para valores, chamados de valores de bifurcação, para os quais o sistema encontra o complementar dos sistemas estruturalmente estáveis. Para sermos um pouco mais precisos, consideremos [ a, b]. Um valor chama-se valor de bifurcação de (1 ) se em toda vizinhança V ( de em [ a, b] existirem valores tais que (1 ) não é topologicamente equivalente a (1 ), ou seja, não 1 0 existe homeomorfismo h : M M que aplique arcos de trajetórias de (1 ) sobre arcos de trajetórias de (1 ), preservando a orientação dos mesmos. tipo (1 ). 1 0 ) [ a,b] A seguir são apresentados alguns exemplos típicos de bifurcações para famílias do 2 Exemplo 1. Sela-nó. X = ( x +, y) = 0. Uma sela e um nó ( < 0 ) colapsam entre si em, formando uma sela-nó; estes pontos cancelam-se para > 0.

3 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 3 Figura 1. Sela-nó Exemplo 2. Foco composto. X = ( y x[ + x + y ], x y[ + x + y ]). Um foco instável e um ciclo estável ( < 0) colapsam entre si em = 0, formando um foco atrator fraco; para > 0 o foco atrator torna-se hiperbólico. Figura 2. Foco composto Exemplo 3. Ciclo semi-estável. exemplo, X X = [( x + y ) 1] x y ( x + y ) R X, onde X tem um ciclo semi-estável, como por [ 1] y + =, x, e R é uma rotação de ângulo. Um ciclo atrator e um ciclo instável ( > 0 ) colapsam em = 0, formando um ciclo semi-estável; ambos os ciclos colapsam para < 0. Exemplo 4. Conexão de selas. X R X, onde X tem uma ligação de selas e R é uma rotação, como no exemplo anterior. Temos dois casos a considerar. =

4 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência Selas diferentes. Duas separatrizes de selas diferentes ( e p ) para < 0, colapsam em = 0, formando uma conexão entre as selas p e ; para > 0 as separatrizes 1 desconectam-se. p 1 p 2 2 Figura 3. Ciclo semi-estável Figura 4a. Conexão de selas diferentes 4.2. Selas iguais ou laço. Se as selas coincidem formando um laço atrator de X, quando as separatrizes de selas se desconectam para > 0, aparece um ciclo atrator. Figura 4b. Conexão de laço

5 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 5 Exemplo 5. Laço de sela-nó. Se no exemplo 1 a separatriz dos setores hiperbólicos da sela-nó penetra na região nodal da mesma então, quando γ. > 0, aparece um ciclo atrator Figura 5. Laço de sela-nó Exemplo 6. Conexão de selas emergente da eliminação de um ciclo semi-estável. Se no exemplo 3 há separatrizes que espiralam por ambos os lados do ciclo semi-estável ( = 0 ), após a eliminação deste ciclo aparecem, para uma seqüência infinita ), com 0, ligações entre as selas interiores e exteriores, de comprimentos crescentes. ( n n Figura 6. Conexão de selas a partir de ciclo semi-estável Exemplo 7. Conexão de selas a partir da eliminação de um laço de sela. Se no laço de sela do exemplo 4.2 há separatrizes de selas cujo conjunto limite é o laço, então quando o laço é quebrado ( < 0), aparecem infinitos tais que os campos correspondentes apresentam ligações das selas interiores ao laço, conectando-se com as separatrizes estáveis da sela. n

6 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 6 Figura 7. Conexão de selas a partir do laço de sela Os sete exemplos acima formam uma classe bastante interessante, são exemplos de bifurcações estruturalmente estáveis, ou seja, os retratos de fase não se alteram por pequenas perturbações da família (1 ). E mais, não há outros casos em que isto ocorra. Situações interessantes onde aparecem Equações Diferenciais Planares (1) são os modelos matemáticos de circuitos elétricos, descritos por x = y f ( x) y = x (2) 1 onde f é uma função real de variável real, de classe C. O sistema (2) é chamado na literatura de equações de Lienard. A análise qualitativa de (2) é bastante interessante e rica. Uma particular forma de (2) é dada por x = y y = x 3 ( x x) (3) onde f ( x) = x 3 x. O sistema (3) é conhecido como equações de Van der Pol. A análise qualitativa de (3) permite mostrar que existe uma solução periódica não trivial de (3) e toda solução que não seja um ponto de equilíbrio tende a esta solução periódica. Em outras palavras, o sistema oscila.

7 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 7 Uma situação ainda mais interessante ocorre quando tomamos, em vez de uma única função f como em (3), uma família a um parâmetro destas funções, dada por f ( x) = x 3 x, com [ 1, 1], obtendo a seguinte forma de (1 ) x = y y = x 3 ( x x) ( 3 ) Pode-se mostrar que para origem, a qual é portanto um poço. Para uma órbita fechada atratora. O valor todas as soluções tendem assintoticamente à 0 < 1, a origem passa a ser uma fonte e surge é um valor de bifurcação para o sistema (3 ) e a bifurcação apresentada é chamada de bifurcação de Hopf ou foco composto, descrita no exemplo 2 acima. 2. Objetivos 1 0 = 0 Estudar a estabilidade estrutural e as bifurcações estruturalmente estáveis (as listadas acima) em sistemas dinâmicos planares, com especial destaque para as bifurcações sela-nó e Hopf. n em R. sistemas em Estudar a bifurcação sela-nó em sistemas planares e sua generalização para sistemas Estudar a bifurcação de Hopf para sistemas planares e sua generalização para n R equações de Van der Pol.. Estudar modelos que apresentam bifurcações de Hopf, tais como as Aplicar o estudo da bifurcação sela-nó na demonstração da seguinte conjectura, a qual aparece naturalmente no estudo da sela-nó em sistemas de potência: A curva suave formada pelos autovalores das matrizes Jacobianas do sistema planar a um parâmetro tem contato quadrático com a reta determinada pelo valor de bifurcação. Aplicar o estudo da bifurcação de Hopf no entendimento do seguinte problema de sistemas de potência: Formular e entender, do ponto de vista da Matemática, o problema da determinação do ponto de colapso de tensão utilizando a bifurcação de Hopf.

8 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 8 3. Justificativas Cada vez mais se faz necessário o intercâmbio entre ciência e tecnologia. Por um lado, a ciência pode fornecer um arsenal teórico muito grande a ser utilizado pela tecnologia, e, por outro lado, esta revigora a ciência, oferecendo, por exemplo, problemas desafiadores que, em muitas das vezes, exigem não apenas a utilização de técnicas já conhecidas mas também o desenvolvimento de técnicas novas ampliando assim o arsenal teórico existente. Este Projeto se insere exatamente nesse contexto. Partimos inicialmente para o estudo de técnicas já estabelecidas para o entendimento da estabilidade estrutural e bifurcações em sistemas dinâmicos planares, com destaque para as bifurcações sela-nó e Hopf. Depois vislumbramos a aplicação desse material na demonstração de uma conjectura (citada acima) que aparece no estudo da bifurcação sela-nó, no contexto da análise do colapso de tensão em sistemas de potência. Pretendemos ainda realizar a aplicação do material estudado na formulação e entendimento, do ponto de vista da Matemática, do problema da determinação do ponto de colapso de tensão em sistemas de potência utilizando a bifurcação de Hopf. Destacamos aqui que a citada conjectura surgiu dos estudos realizados no desenvolvimento de Projeto atual de Iniciação Científica, o qual agora estamos pedindo renovação. Quanto ao problema citado, destacamos que ele não é ainda completamente entendido do ponto de vista matemático. Cabe ainda destacar que este Projeto de renovação de bolsa de Iniciação Científica faz-se necessário para que possamos continuar os estudos iniciados em Bifurcações de Sistemas Dinâmicos Planares e Aplicações. O Projeto atual está sendo cumprido e os resultados estão além dos esperados. O desempenho apresentado pelo aluno Gerson é exemplar. Tem realizado as tarefas combinadas, apresentou alguns resultados parciais do Projeto no 3 o ENECA. Submetemos um pequeno artigo [11] para a revista Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico. Atualmente estamos terminando a elaboração de um outro artigo em colaboração com o professor A. C. Zambroni de Souza [12].

9 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 9 4. Atividades 4.1. Estudo das bifurcações estruturalmente estáveis em sistemas dinâmicos do tipo (1 ). Essas bifurcações são as que estão listadas nos exemplos acima. Em particular, um estudo detalhado da bifurcação sela-nó e da bifurcação de Hopf; 4.2. Aplicação dos estudos da bifurcação sela-nó na demonstração da conjectura acima; 4.3. Aplicação do material estudado sobre a bifurcação de Hopf em modelos aplicados, com especial destaque aos modelos de circuitos elétricos; 4.4. Aplicação do material estudado sobre a bifurcação de Hopf na resolução do problema proposto acima; 4.5. Elaboração de dois relatórios, um no final do primeiro semestre de execução do Projeto e outro no final do Projeto; 4.6. Elaboração de uma monografia a respeito dos assuntos desenvolvidos neste Projeto. 5. Metodologia A atividade 4.1 será desenvolvida através de estudo dirigido tendo como base as referências bibliográficas [2], [3] e [5], listadas na parte final deste Projeto. Semanalmente será apresentado um seminário cobrindo o material estudado no período. A atividade 4.2 será desenvolvida através de discussões a respeito do material estudado em 4.1. Reuniões semanais para isto serão feitas. As atividades 4.3 e 4.4 também serão desenvolvidas através de estudo dirigido, com apresentação de seminários semanais, baseados nas referências bibliográficas [1], [4], [6], [7], [8], [9] e [10]. As atividades 4.5 e 4.6 conterão essencialmente o que foi feito em todo este Projeto. Em especial a monografia deverá ser redigida de modo a conter a conjectura e o problema a ser atacado, o contexto em que eles se inserem e as contribuições dadas por este Projeto.

10 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência Cronograma das atividades Ativ. Mês Referências Bibliográficas [1] Dobson, I., Observations on the geometry of saddle node bifurcation and voltage collapse in electrical power systems, IEEE Transactions on Circuits and Systems I: Fundamental Theory and Applications, 39 (3) (1992), [2] Hale, J. K. e Koçak, H., Dynamics and bifurcations, Text in Applied Mathematics 11, Springer Verlag, (1991). [3] Hubbard, J. H. e West, B. H., Differential equations, a dynamical systems approach, Text in Applied Mathematics 18, Springer Verlag, (1995). [4] Lopes, B. I. L., Uma proposta de análise quase-dinâmica de colapso de tensão, Dissertação de Mestrado, EFEI, (2001). [5] Sotomayor, J., Curvas definidas por equações diferenciais no plano, 13 o Colóquio Brasileiro de Matemática, Rio de Janeiro, (1981). [6] de Souza, A. C. Z., Estabilidade de tensão, Apostila de Curso, CESE, Itajubá, (1999). [7] de Souza, A. C. Z., Discussion on some voltage collapse indices, Electric Power Systems Research, 53 (2000), [8] de Souza, A. C. Z., Bifurcation theory as a tool to understand some voltage collapse indices, preprint. [9] de Souza, A. C. Z., Identifying a vanishing eigenvalue in voltage collapse analysis with limits consideration, preprint.

11 Bifurcações de sistemas dinâmicos planares e aplicações em sistemas de potência 11 [10] Smale, S. e Hirsch, M., Differential equations, dynamical systems and linear algebra, Academic Press INC., (1974). [11] Mello, L. F. e Yoshinari Jr, G. H., Algumas considerações teóricas a respeito do vetor tangente no estudo de colapso de tensão, Pesquisa e Desenvolvimento Tecnológico (submetido). [12] Mello, L. F., de Souza, A. C. Z., Yoshinari Jr, G. H. e Schneider, C. V., Saddle-node bifurcation in a general form and its applications in power systems, preprint.