conjuntos fuzzy. projeto de doutoramento de Arthur Pires Julião orientador: Pedro A. Tonelli, Coorientador: Laécio C. Barros

Transcrição

1 Comparação de fluxos no espaço E n, de conjuntos fuzzy. projeto de doutoramento de Arthur Pires Julião orientador: Pedro A. Tonelli, Coorientador: Laécio C. Barros

2 I. Introdução Em vários artigos nas décadas de 197 e 198, O. Kaleva e S. Seikkala introduziram o conceito de equação diferencial fuzzy e seu respectivo problema de Cauchy, propondo um conceito de solução. As propridades de fluxos de tais soluções não são muito boas uma vez que sua evolução no tempo faz a incerteza aumentar prejudicando os conceitos de recorrência e estabilidade. Uma outra abordagem para as equações diferenciais fuzzy começou a ser utilizada na década de 199 e, neste caso, foi possível estudar propriedades dos fluxos gerados, inclusive as propriedades assintóticas. Este método foi desenvolvido por Hullermeier e Diamond. Basicamente, as diferenças entre as duas abordagens consistem no fato de que no caso de Kaleva e Seikkala, é usado a derivada de Hukuhara extendida para processos a valores fuzzy e a correspondente integral de Aumann generalizada para conjuntos fuzzy, enquanto que na segunda abordagem as equações diferenciais fuzzy são vistas como uma família de inclusões diferenciais. O conceito de solução neste segundo método é mais refinado e, como foi dito acima, tem propriedades de assintoticidade. Algumas comparações das soluções para os dois casos foram feitas. (veja[3].) Um refinamento da solução de Kaleva e Seikkala é possível com um melhoramento na definição da derivada de processo fuzzy. Este trabalho foi feito em [9], e com isto as soluções têm propriedades melhores. O objetivo desta tese é retomar o trabalho de comparação entre os dois tipos de solução, mas com esse melhoramento no conceito de solução de Kaleva- Seikalla. Vários exemplos estudados pelo prof Laécio C. Barros sugerem que, em muitos casos, os dois conceitos de solução coincidem, sendo este o principal resultado a ser buscado. II. Equações diferenciais fuzzy e soluções Para a devida colocação do problema, vamos dar algumas notações e resultados. O espaço de Hausdorff das partes compactas não vazias de R n será denotado por H(R n ). Este é um espaço métrico completo com a métrica de Hausdorff para conjuntos. Q c (R n ) é o subespaço de H(R n ) dos subconjuntos convexos. O conjunto E n é o espaço de todas as funções u : R n [, 1] que são semicontínuas superiormente, e tais que, para todo α [, 1], os níveis [u] α Q c (R n ). 1

3 Cada uma destas funções é denominada de um subconjunto fuzzy convexo de R n. Este também é um espaço métrico completo (veja [1]) com a métrica dada por: D(u, v) := sup h([u] α, [v] α ) α 1 As propriedades deste espaço métrico podem ser vistas nas referências [6, 2]. Consideremos agora uma aplicação X : R n E n. Vamos chamar esta aplicação de um campo vetorial fuzzy (pode ser entendida como um campo vetorial com incertezas) e vamos dar dois conceitos de solução ou fluxo para estes campos. Em primeiro lugar lembramos que este campo X pode ter o seu domínio extendido para E n usando a extensão de Zadeh ou seja definimos ˆX : E n E n como: ˆX(u)(x) := y R n X(y)(x) u(y). (1) Definimos então a solução de Kaleva e Seikkala (KS-solução) (ver [8, 11]) como um processo fuzzy x k : [, T ] E n (2) que satisfaz a equação: x k (t) = u + (A) t ˆX(x k (s))ds (3) onde (A) t denota a integral de Aumann generalizada para o espaço fuzzy. Se H t (x k (t)) denota a derivada de Hukuhara então esta solução satisfaz H t (x k (t)) = ˆX(x k (t)) (4) veja [8, 2] Para definir a solução segundo Hullermeier-Diamond (HD-solução) (ver [7, 5]), consideremos em primeiro lugar a família de inclusões diferenciáveis gerada por X: ẋ α [X(x α )] α para α [, 1]. (5) Para cada uma destas inclusões podemos definir o conjunto dos pontos acessíveis em tempo t a partir de x como A α (x, t). 2

4 Definimos a HD-solução como um processo x h : [, T ] E n que satisfaz [x h (t)] α = A α ([u ] α, t). (6) Ou seja, cada nível da solução de Hullermeier-Diamond corresponde ao conjunto de acessibilidade em tempo t das inclusões diferenciais (5). De uma forma genérica, temos que x h (t) x k (t), veja, por exemplo, [3]. Veja outras propriedades desta solução em [1]. No artigo [4] os autores Bede e Gal consideram uma nova derivada para processos fuzzy que eles chamam de derivada generalizada forte. A definição usa a diferença de Hukuhara. Os autores mostram uma fórmula de Newton- Leibniz para integral de um processo fuzzy derivado e definem uma solução do campo X como um processo x b : [, T ] E n que satisfaz x b (t) = u ˆ+(NL) t X(x b (s))ds (7) onde (NL) t f(s)ds é a integral de Newton-Leibniz de f, ou seja, (NL) t f(s)ds = F (t) F () onde F é tal que a derivada generalizada forte de F é f; e ˆ+ é a extensão de Zadeh da soma de vetores. O objetivo deste projeto é a comparação dos processos de solução: x k, x h e x b quando eles existirem. A principal conjectura é que x h = x b corroborada por alguns exemplos apresentados pelo professor Laécio C. Barros, e comunicados pessoalmente. A metodologia para a concretização do projeto é a leitura de artigos e realização de seminários semanais com o prof. Laécio C. Barros, além do estudo de exemplos. O cronograma ideal seria a concretização deste projeto em dois anos. 3

5 Referências Bibliográficas [1] R. Agarwal, D. O Reagan, and V. Lakshmikantham. Viability theory and fuzzy differential equations. Fuzzy Sets and Systems, 151:563 58, 25. [2] L. C. Barros. Sobre Sistemas Dinâmicos Fuzzy. PhD thesis, Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Estadual de Campinas, Campinas, São Paulo, [3] L. C. Barros and P. A. Tonelli. Fuzzy perturbation of vector fields. In Prooceedings of IX IFSA, pages , 22. [4] B. Bede and S. Gal. Generalizations of the differentiability of fuzzynumber-valued functions with applications of fuzzy differential equations. Fuzzy Sets and Systems, 151: , 25. [5] P. Diamond. Time dependent differential inclusions, cocycle attractors and fuzzy differential equations. IEEE transac. on Fuzzy Systems, 7:734 74, [6] P. Diamond and P. Kloeden. Metric Spaces of Fuzzy Sets. World Scientific Pub., [7] E. Hullermeier. An approach to modelling and simulation of uncertain dynamical systems. Int. J. Uncertainty, Fuzziness, Knowledge-bases Syst., 5: , [8] O. Kaleva. The cauchy problem for fuzzy differential equations. Fuzzy Sets and Systems, 35: , 199. [9] M. Puri and D. Ralescu. Differentials of fuzzy functions. J. Math. Anal. Appl., 91: ,

6 [1] M. Puri and D. Ralescu. Fuzzy random variables. J. Math. Anal. Appl., 114:49 422, [11] S. Seikkala. On the fuzzy initial value problem. Fuzzy Sets and Systems, 24:39 33,