Problemas de fronteira livre nas EDP elípticas: uma tentativa fuzzy

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1 Problemas de fronteira livre nas EDP elípticas: uma tentativa fuzzy III Workshop de Teoria de Conjuntos Fuzzy e Incerteza Generalizada Aplicada à Otimização FAMAT - UFU Ana Maria Amarillo Bertone Universidade Federal de Uberlândia Faculdade de Matemática 17 e 18 de julho de 2012

2 Esta Palestra... Trata-se de uma continuação de estudo de inequações variacionais aplicadas à EDP elípticas, neste estágio, uma tentativa fuzzy.

3 Convergência de tópicos

4 Convergência de tópicos Problemas de fronteira livre

5 Convergência de tópicos Problemas de fronteira livre Problemas de obstáculo

6 Convergência de tópicos Problemas de fronteira livre Problemas de obstáculo Ambos os problemas podem ser reduzidos a equações diferenciais parciais (EDP) com não-linearidades descontínuas

7 Convergência de tópicos Problemas de fronteira livre Problemas de obstáculo Ambos os problemas podem ser reduzidos a equações diferenciais parciais (EDP) com não-linearidades descontínuas Inúmeras aplicações à física, engenharia, economia, astronomia, entre outros

8 Convergência de tópicos Problemas de fronteira livre Problemas de obstáculo Ambos os problemas podem ser reduzidos a equações diferenciais parciais (EDP) com não-linearidades descontínuas Inúmeras aplicações à física, engenharia, economia, astronomia, entre outros Convergência de Tópicos tão diversos como Inequações variacionais, Análise não suave, Técnicas de Otimização (em dimensão innita)

9 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização...

10 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções

11 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções surgimento dos Princípios Variacionais"

12 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções surgimento dos Princípios Variacionais" noções de perturbação, aproximação e diferenciabilidade generalizada.

13 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções surgimento dos Princípios Variacionais" noções de perturbação, aproximação e diferenciabilidade generalizada. K.C. Chang [1, 2, 3] métodos variacionais para funcionais não diferenciáveis

14 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções surgimento dos Princípios Variacionais" noções de perturbação, aproximação e diferenciabilidade generalizada. K.C. Chang [1, 2, 3] métodos variacionais para funcionais não diferenciáveis Derivada generalizada de Clarke [4] e Princípio Variacional de Ekeland [6]

15 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções surgimento dos Princípios Variacionais" noções de perturbação, aproximação e diferenciabilidade generalizada. K.C. Chang [1, 2, 3] métodos variacionais para funcionais não diferenciáveis Derivada generalizada de Clarke [4] e Princípio Variacional de Ekeland [6] Kourogenis e Papageorgiou [7], Ricceri [8]

16 Desde Fermat e seu primeiro problema de minimização... minimização de funcionais em espaços de funções surgimento dos Princípios Variacionais" noções de perturbação, aproximação e diferenciabilidade generalizada. K.C. Chang [1, 2, 3] métodos variacionais para funcionais não diferenciáveis Derivada generalizada de Clarke [4] e Princípio Variacional de Ekeland [6] Kourogenis e Papageorgiou [7], Ricceri [8] G. Dai, W. T. Wang,L. L.Feng [5]

17 das técnicas variacionais em ação: Sobrejetividade da Derivada Suponha que f : R R é diferenciável e verica Então {f (x), x R} = R f (x) lim = +. x x

18 das técnicas variacionais em ação: Sobrejetividade da Derivada Suponha que f : R R é diferenciável e verica Então {f (x), x R} = R f (x) lim = +. x x Condições essenciais para esta armação

19 das técnicas variacionais em ação: Sobrejetividade da Derivada Suponha que f : R R é diferenciável e verica Então {f (x), x R} = R f (x) lim = +. x x Condições essenciais para esta armação Compacidade (garantia do mínimo global)

20 das técnicas variacionais em ação: Sobrejetividade da Derivada Suponha que f : R R é diferenciável e verica Então {f (x), x R} = R f (x) lim = +. x x Condições essenciais para esta armação Compacidade (garantia do mínimo global) Diferenciabilidade

21 Evolução Nos anos 70 essas condições foram substituidas por outras mais fracas: Semicontinuidade inferior dando origem aos Princípios Variacionais e Conceitos mais gerais de diferenciabilidade.

22 Evolução Nos anos 70 essas condições foram substituidas por outras mais fracas: Semicontinuidade inferior dando origem aos Princípios Variacionais e Conceitos mais gerais de diferenciabilidade. Extensão do resultado que vimos em dimensão nita: Teorema: X um espaço de Banach reexivo e Φ : X R wsci, satisfazendo Φ(x) lim x x = +. Então x X F Φ(x) = X.

23 Um problema não tão simples... Existência de pelo menos duas soluções não negativas para o problema quasilinear p u = H(u a)u p 1 + λz(x) em R N, p u p-laplaciano, H função de Heaviside, p exponente crítico de Sobolev, z uma função positiva.

24 Solução u é solução no sentido que f (t) = H(t a)t p 1. p u(x) λz(x) f (u(x)) a.e in R N, { {f (s)}, se s a f (s) = [f(a),f(a+)], se s = a,

25 Solução u é solução no sentido que f (t) = H(t a)t p 1. p u(x) λz(x) f (u(x)) a.e in R N, { {f (s)}, se s a f (s) = [f(a),f(a+)], se s = a, Característica importante Medida de Lebegue({x R N, u(x) = a}) = 0 solução forte", ou seja p u(x) = H(u(x) a)u(x) p 1 + λz(u(x)), q.t.p.

26 Soluções=pontos críticos de I λ,a (u) = 1 p u p F (u)dx λ z(x)udx. (1) R N R N F (u) = u 0 f (t)dt e D1,p = C 0 (RN ), φ p = R N φ(x) p dx.

27 Soluções=pontos críticos de I λ,a (u) = 1 p u p F (u)dx λ z(x)udx. (1) R N R N F (u) = u 0 f (t)dt e D1,p = C 0 (RN ), φ p = R N φ(x) p dx. Uma solução: mínimo do funcional 0 I λ,a (u) a diferencial generalizada no sentido de Clarke no ponto u.

28 Soluções=pontos críticos de I λ,a (u) = 1 p u p F (u)dx λ z(x)udx. (1) R N R N F (u) = u 0 f (t)dt e D1,p = C 0 (RN ), φ p = R N φ(x) p dx. Uma solução: mínimo do funcional 0 I λ,a (u) a diferencial generalizada no sentido de Clarke no ponto u. Outra solução: outro princípio variacional - Passo da Montanha

29 Formular um problema de fronteira livre - EDP com não linearidade descontínua (como o exposto) para λ parâmetro fuzzy. Conhecendo existência de solução usar Princípio da Extensão de Zadeh (PEZ)?

30 Formular um problema de fronteira livre - EDP com não linearidade descontínua (como o exposto) para λ parâmetro fuzzy. Conhecendo existência de solução usar Princípio da Extensão de Zadeh (PEZ)? Formular o problema para U fuzzy - associar um problema de desigualdade variacional / minimização fuzzy - Princípios de Dualidade / técnicas fuzzy de otimização?

31 Formular um problema de fronteira livre - EDP com não linearidade descontínua (como o exposto) para λ parâmetro fuzzy. Conhecendo existência de solução usar Princípio da Extensão de Zadeh (PEZ)? Formular o problema para U fuzzy - associar um problema de desigualdade variacional / minimização fuzzy - Princípios de Dualidade / técnicas fuzzy de otimização? Métodos numéricos fuzzy? (tem resultados ao respeito usando PEZ, mas problemas sem fronteira livre).

32 algumas bibliograas ao respeito... V. Lakshmikantham, R. Mohapatra, Theory of fuzzy dierential equations and inclusions

33 algumas bibliograas ao respeito... V. Lakshmikantham, R. Mohapatra, Theory of fuzzy dierential equations and inclusions H.C.Wu Wolfe Duality for Interval-Valued Optimization

34 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981)

35 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978)

36 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978) K.C. Chang, The obstacle problem and partial dierential equations with discontinuous nonlinearities Comm. Pure Appl. Math (1978)

37 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978) K.C. Chang, The obstacle problem and partial dierential equations with discontinuous nonlinearities Comm. Pure Appl. Math (1978) F.H. Clarke,Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York (1983).

38 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978) K.C. Chang, The obstacle problem and partial dierential equations with discontinuous nonlinearities Comm. Pure Appl. Math (1978) F.H. Clarke,Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York (1983). G. Dai, W. T. Wang,L. L.Feng Nonsmooth version of dual Fountain theorem and its application to a dierential inclusion problem, Acta Math Sci Ser A Chin Ed 32( 2012). 1, 18-28

39 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978) K.C. Chang, The obstacle problem and partial dierential equations with discontinuous nonlinearities Comm. Pure Appl. Math (1978) F.H. Clarke,Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York (1983). G. Dai, W. T. Wang,L. L.Feng Nonsmooth version of dual Fountain theorem and its application to a dierential inclusion problem, Acta Math Sci Ser A Chin Ed 32( 2012). 1, I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. App. 47 (1974)

40 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978) K.C. Chang, The obstacle problem and partial dierential equations with discontinuous nonlinearities Comm. Pure Appl. Math (1978) F.H. Clarke,Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York (1983). G. Dai, W. T. Wang,L. L.Feng Nonsmooth version of dual Fountain theorem and its application to a dierential inclusion problem, Acta Math Sci Ser A Chin Ed 32( 2012). 1, I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. App. 47 (1974) N.C. Kourogenis, N.S. Papageorgiou Nonsmooth crical point theory and nonlinear elliptic equation at resonance, KODAI Math J. 23, (2000).

41 K.C. Chang, Variational methods for non-dierentiable functionals and their applications to partial differential equations, J. Math. Anal. App. 80 (1981) K.C. Chang, On the multiple solutions of the elliptic differential equations with discontinuous nonlinear terms Sci. Sinica 21 (1978) K.C. Chang, The obstacle problem and partial dierential equations with discontinuous nonlinearities Comm. Pure Appl. Math (1978) F.H. Clarke,Optimization and Nonsmooth Analysis, Wiley, New York (1983). G. Dai, W. T. Wang,L. L.Feng Nonsmooth version of dual Fountain theorem and its application to a dierential inclusion problem, Acta Math Sci Ser A Chin Ed 32( 2012). 1, I. Ekeland, On the variational principle, J. Math. Anal. App. 47 (1974) N.C. Kourogenis, N.S. Papageorgiou Nonsmooth crical point theory and nonlinear elliptic equation at resonance, KODAI Math J. 23, (2000). B. Ricceri, A general variational principle and some of its applications, J Comput Appl Math. 113, (2000).