Polinômios homogêneos no estudo de fluidos

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1 Polinômios homogêneos no estudo de fluidos Saulo P. Oliveira Resumo Um polinômio px, y é homogêneo de grau k se ptx, ty t k px, y. Além disso, px, y é harmônico se p. Temos que uma função vetorial fx, y p x, y, p x, y t tal que p x, y e p x, y sejam harmônicos e homogêneos de grau k é uma função geratriz de soluções das equações de Stokes. Este trabalho também discute o uso destas funções na aproximação de problemas de valores de contorno envolvendo as equações de Stokes, que servem como um modelo para o escoamento de fluidos. Introdução As equações de Stokes são um dos sistemas de equações diferenciais lineares mais significativos no estudo da mecânica dos fluidos. Estas equações modelam o escoamento de fluidos lentos em regime permanente ou seja, cuja variação no tempo é desprezível. Este trabalho revê uma classe de soluções polinomiais das equações de Stokes proposta por Choe []. Estas soluções são geradas por polinômios homogêneos, cujas propriedades são revistas na próxima seção. Vamos construir tais soluções na Seção 3. Finalmente, veremos como aplicar os polinômios envolvidos no desenvolvimento de métodos numéricos estáveis para a solução das equações de Stokes Seção 4. O restante desta seção é destinado a estabelecer as notações empregadas neste trabalho e introduzir as equações de Stokes. Vamos escrever variáveis e funções escalares em itálico x, y, p, φ, sendo os vetores e campos vetoriais escritos em itálico e negrito u, v, φ, a menos que suas componentes sejam escritas explicitamente v v, v t. Representamos também o par ordenado x, y por x. Sejam p px, y e u u x, y, u x, y t. Definimos os seguintes operadores diferenciais: p p x x, y + p x, y u u x x, y + u x, y Departamento de Geofísica Nuclear, CPGG-UFBA, Campus Universitário da Federação, Salvador-BA, saulopo@cpgg.ufba.br. Bolsista do programa PRODOC-CAPES.

2 p p x, y x p x, y u x x, y + u x, y u u x x, y + u x, y Dizemos que a função p é harmônica se p. As funções u e p satisfazem as equações de Stokes se µ u + p f u. No contexto de mecânica dos fluidos, as incógnitas u e p representam a velocidade e a pressão do fluido, respectivamente. Temos que µ é o coeficiente de viscosidade e f representa as forças externas. Polinômios homogêneos Um polinômio px, y é homogêneo de grau m se px, y α i x i y m i. i Por exemplo, os polinômios homogêneos de grau tais que α i é sempre são: px, y px, y y + x px, y y + xy + x Note que os binômios de Newton também são polinômios homogêneos: px, y y + x y + xy + x m px, y y + x m x i y m i i Temos que p satisfaz as seguintes propriedades: i ptx, ty t m px, y ii x px, y mpx, y iii cada componente de p é homogêneo de grau m iv Se p a x, y e p b x, y são homogêneos de grau m e px, y p a, p b t, então p é homogêneo de grau m. i

3 A propriedade i é uma definição alternativa de um polinômio homogêneo. Para verificá-la, note que tx i ty m i t i x i t m i y m i t i+m i x i y m i t m x i y m i, logo, ptx, ty α i tx i ty m i α i t m x i y m i t m px, y. i i Vejamos a propriedade ii. Como e analogamente, temos que x xi y m i x y xi y m i x i x i y m i ix i y m i, m ix i y m i, x px, y x p p x, y + y x, y x α i ix i y m i + α i m ix i y m i i i i α i i + m ix i y m i mpx, y Observe que p x x, y é um polinômio homogêneo de grau m, pois p x, y α x y m + α i x i y m i x x i iα i x i y m i i m j j + α j+ x j y m j j α j x j y m j, onde m m e α j j + α j+. A conclusão é análoga para p x, y, o que confirma a propriedade iii. Os mesmos argumentos levam à propriedade iv. 3

4 3 Função geratriz de soluções de Stokes O resultado a seguir é baseado no Lema. de Choe [], originalmente verificado em IR n. Uma consequência deste lema é que qualquer polinômio harmônico e homogêneo de grau pode ser usado para gerar soluções das equações de Stokes quando f. Lema: Seja φx, y um campo vetorial cujas componentes φ i x, y são polinômios harmônicos e homogêneos de grau m. Então, o par ux, y φx, y m x + y φx, y, px, y µ φx, y 3 satisfaz as equações homogêneas de Stokes, ou seja: µ u + p, u. Demonstração: Seja q φ. Temos que u q Como φ i, i, são funções harmônicas, q x m x + y q + x + y q. φ x + φ x φ + φ. + φ x + φ Da propriedade iv, q é homogêneo de grau m. A propriedade ii implica que u q x q q m q. m m Defina v q, que é homogêneo de grau m de acordo com a propriedade iii. Assim, µ u + p µ µ φ + m x + y v µv µ m xv + x + y v µv µ m 4v + x v + x v + x + y v µv µ m 4v + 4m v + x + y v µv µ x + y m v. 4

5 Como v φ x x x + φ + φ x x + φ + x φ + x φ x φ + φ, φ x x + φ φ x + φ temos que µ u + p, completando a prova. 3. Exemplos Assuma que µ e defina os seguintes polinômios harmônicos e homogêneos: φ x, y y y 8 3 x, φ x, y x x 8 3 y, φ 3 x, y xy. 4 Podemos agora definir a função geratriz φ por meio de diversas combinações de φ i : Exemplo 3. : Se φ φ, φ t, então u y 3 6 x 3 e p xy. Exemplo Exemplo 3. : Se φ φ 3, t, então u 3.3 : Se φ, φ 3 t, então u xy x + y / x + y / xy e p y. e p x. Exemplo 3.4 : Se φ φ, φ t, então u φ e p. 5

6 4 Aplicação Vamos usar os polinômios obtidos na seção anterior para estabilizar um método de elementos finitos para a solução numérica do problema de Stokes. Vamos inicialmente estabelecer duas formulações do problema de Stokes e a aproximação por elementos finitos. Seja Ω IR um conjunto aberto e limitado com fronteira suave Γ. O problema de Stokes que vamos considerar é o problema de valores contorno definido pelas equações de Stokes e por condições de contorno homogêneas sobre a velocidade: µ u + p f em Ω, u em Ω, u em Γ. A formulação variacional do problema 5, conforme descrita em [], é a seguinte: encontrar u V H Ω e p Q p L Ω ; Ω p dω } tais que au, v + bp, v F v v V, 6 bq, u q Q, au, v u : v dω, F v f v dω, bq, v q v dω, Ω Ω Ω sendo os espaços de funções H Ω e L Ω definidos conforme [, 6]. Dados dois subespaços V h V e Q h Q de dimensão finita, podemos aproximar u e p pela solução u h, p h V h Q h do seguinte problema: auh, v h + bp h, v h F v h v h V h, bq h, u h q h Q h 7 Esta forma de aproximação é conhecida como método de Galerkin. Um exemplo é o método de elementos finitos com aproximação bilinear por partes da velocidade e da pressão. Este método assume uma partição do domínio Ω em quadriláteros Ω e, e n el Figura. Associamos a cada quadrilátero ou elemento uma transformação bilinear F e : Ω e ˆK, onde ˆK [, ] [, ]. O espaços V h e Q h são definidos por } V h Q h v v v q C Ω ; ; v i C Ω, v i Γ e v i Ω e F e Ω q dω e q i Ω e F e a + bx + cy + dxy } a + bx + cy + dxy

7 Ω e Figura : Partição de um domínio em quadriláteros. Seja v,..., v m } uma base para V h e q,..., q n } uma base para Q h. Substituindo u h x, y p h x, y u j v j x, y, j n p j q j x, y, j em 7, obtemos o seguinte sistema linear: [ A B t B ] U P b v h x, y v i x, y i m, q h x, y q i x, y i n,, U u. u m, P p. p n, onde A ij av i, v j, B ij bq i, v j, b j F v j. Pode-se mostrar que a matriz A é positiva definida isto é, x t Ax > x IR m, de modo que o sistema linear terá uma única solução se e somente se o posto da matriz B for igual a m [5]. Esta condição, quando imposta a qualquer partição do domínio Ω, corresponde à condição de Babuška-Brezzi: inf sup q h Q h \ v h V h \ b h v h, q h v h q h β >. O par V h Q h definido acima não satisfaz a condição de Babuška-Brezzi, assim como alguns outros pares de espaços polinomiais com o mesmo grau de aproximação na velocidade e na pressão []. Porém, se considerarmos φ i x, y i 3 definidos em 4 e redefinirmos o espaço V h como sendo V h V h nel e V e, V e v : Ω e IR ; v ˆv F e, ˆv α φ φ + α α 3 φ 3 }, 7

8 então o par V h Q h passa a satisfazer a condição de Babuška-Brezzi vide [3, 7]. A importância da estabilização promovida em é evidenciada se considerarmos a aproximação da solução do problema de cavidade pelo método de elementos finitos considerando os pares V h Q h definidos por:. MEF: equações 8 e 9;. MEF: equações e 9. Consideramos no problema de cavidade f, µ, Ω ], [, e as condições de contorno indicadas na Figura. Este problema modela o escoamento laminar de um fluido em uma cavidade quadrada cuja extremidade superior encontra-se em movimento uniforme [4]. A partição de Ω é feita em quadrados iguais. Figura : Condições de contorno do problema de cavidade. Embora tanto MEF quanto MEF produzam uma boa aproximação da velocidade Figura 3, apenas MEF consegue aproximar bem a pressão Figura Figura 3: Aproximações da velocidade: MEF equerda MEF direita. 8

9 x Referências Figura 4: Aproximações da pressão: MEF equerda MEF direita. [] F. Brezzi and M. Fortin. Mixed and hybrid finite element methods. Springer-Verlag, New York, 99. [] H. J. Choe. On the fundamental solutions to Stokes equations. Journal of Differential Equations, 53:33 337, 999. [3] L. P. Franca, S. P. Oliveira, and M. Sarkis. Continuous Q-Q Stokes elements stabilized with non-conforming null edge average velocity functions. Numerische Mathematik, submetido. [4] U. Ghia, K. N. Ghia, and C. T. Shin. High-Re solutions for incompressible flow using the the Navier-Stokes equations and a multigrid method. Journal of Computational Physics, 48:387 4, 98. [5] M. D. Gunzburger. The inf-sup condition in mixed finite element methods with application to the stokes system. In D. Estep and S. Tavener, editors, Collected Lectures on the Preservation of Stability Under Discretization, pages 93. SIAM, Philadelphia, PA,. [6] I.-S. Liu and M. Rincon. Introdução ao Método de Elementos Finitos: Análise e Aplicação. Editora IM-UFRJ, Rio de Janeiro,. [7] S. P. Oliveira. Discontinuous Enrichment Methods for Computational Fluid Dynamics. PhD thesis, University of Colorado at Denver,. 9