de equações diferenciais

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1 Método de otimização para resolução de equações diferenciais José Mario Martínez Fedor Pisnitchenko Sandra Augusta Santos Matemática Aplicada - IMECC/UNICAMP, Campinas, SP, Brasil martinez@ime.unicamp.br, feodor@ime.unicamp.br, sandra@ime.unicamp.br RESUMO 1 Introdução Na ciência existe uma vasta classe de problemas que envolvem a solução de um sistema de equações diferenciais utilizando as condições inicias e de contorno obtidas aproximadamente, através de medições, por exemplo. Normalmente o problema a ser resolvido é um sistema de equações (ordinárias ou parciais) com a solução em alguns pontos do domínio. Na maioria dos casos essa solução contém erros, pois é obtida por meio de medições ou através da solução de um problema equivalente mais simples. O método tradicional para resolver esses problemas é, de alguma forma, obter as condições iniciais e de contorno para a discretização do problema e em seguida resolvêlo utilizando, por exemplo, diferenças finitas. Freqüentemente o contorno é obtido interpolando na fronteira a solução existente nos pontos ao redor da fronteira, ignorando os dados que estão no interior do domínio, longe da fronteira. Imediatamente surgem duas perguntas a respeito desses problemas. Primeira: qual é o impacto do erro no contorno na solução do problema? E a segunda: será possível aproveitar de alguma forma todos os dados (mesmo com erro) relacionados com o problema para aprimorar a solução? Um pequeno teste com a equação de Burgers [1] (apresentado detalhadamente no Seção 2) responde claramente às duas perguntas. Dados os valores na fronteira e tomando a solução Processo FAPESP: 03/ em alguns pontos no interior do domínio resolvemos numericamente a equação introduzindo uma pequena perturbação nos dados. A Figura 1 mostra a solução numérica utilizando apenas o contorno perturbado, e a Figura 2 mostra a solução obtida utilizando, além de contorno, 3 pontos no interior do domínio. Figura 1: Solução numérica da equação de Burgers utilizando apenas o contorno Nesse trabalho desenvolvemos o método para obter a solução numérica de equações diferenciais, utilizando as técnicas de otimização, aproveitando toda a informação conhecida no interior da região de integração. Na seqüencia, descrevemos o modelo numérico de interesse. Fazemos uma breve descrição do método de diferenças finitas para solução numérica convencional do modelo (utilizando as condições iniciais e de contorno). Depois construímos um problema de otimização para resolver o modelo utilizando todos os dados. A seguir utilizando os exem-

2 A seguir apresentamos a forma de resolver o problema (2) (através de um método de otimização) utilizando todos os dados observados. 2.1 Solução do modelo numérico Figura 2: Solução numérica da equação de Burgers utilizando 3 pontos interiores plos de modelos simples discutimos o método proposto. 2 O modelo numérico Definimos o problema de Cauchy-Dirichlet da seguinte forma D t (y) = f, y(0,x) = h(x), y(t,0) δs = y δs (t), (1) onde D t é o operador diferencial, f = f(t,y,y,...), h é a condição inicial, S é a região de integração, δs é contorno de S e y(t,0) S é o valor de y no contorno. Uma forma de resolver (1) numericamente é reescrever o modelo na forma discreta t (Y ) = F, Y (0,X) = H(X), Y (T,0) δ(s) = Y δ(s) (T), (2) onde t é o operador diferencial discreto, Y, H e Y δs são discretizações das funções dentro dos seus domínios. Na prática, quando queremos estudar algum fenômeno da natureza utilizando (2), as funções discretizadas H e Y δs são obtidas aproximadamente (por meio de observações ou através da solução de um problema equivalente mais simples numa malha mais grossa) e seus valores não coincidem exatamente com os valores de h e y δs nos pontos de discretização. Mas, freqüentemente, além de condição inicial e de contorno existem mais dados disponíveis ou que podem ser facilmente obtidos (chamaremos esses dados de dados observados) sobre o problema no interior de S ao longo do tempo. Normalmente para resolver o modelo (2) usa-se uma discretização apropriada (nesse trabalho consideramos as discretizações do método de diferenças finitas) e em cada passo de tempo j + 1 é obtido o valor de Y em t j+1 usando os valores de Y em t j,..., t j l, para algum l 0, e os valores de Y no contorno em t j+1. Mas dessa forma, a informação que está no interior do modelo não é utilizada. Para tentar aproveitar essa informação vamos analisar o problema a partir de um outro ponto de vista. Suponhamos que temos uma solução aproximada de (2) numa malha grossa, que chamamos de Y S. O objetivo é achar a Y na malha fina (de nosso interesse) que satisfaz o modelo (2) e que esteja o mais próxima possível da solução aproximada Y S. Podemos formular esse objetivo como um problema de minimização da seguinte forma Minimizar d(y, Ŷ S) s.a. t (Y ) F = 0, Y (0,X) H(X) = 0, (3) onde d(:,:) é a função distância e Ŷ S é a interpolação da solução aproximada na malha fina. Ou seja, queremos encontrar a solução Y tal que a sua distância à solução aproximada seja a mínima possível. 2.2 Discretização por diferenças finitas O método de diferenças finitas [4], [5], [3] consiste em transformar as derivadas parciais em equações de diferenças sobre um pequeno intervalo. Tomando y como a função de x e t podemos dividir o plano x-t em uma malha com tamanho h na eixo x e k no eixo t, ilustrados na figura 2.2 O valor de y no ponto P = (x i,t j ) é dado por u(p) = u(x i,t j ) = u j i Para uma notação mais compacta das fórmulas de diferenças finitas [5] definimos

3 ǫx = xx, x(0) = 1, x(t) = 1. (10) Para obter a solução analítica integramos a equação dos dois lados ǫx dt = xx dt, Figura 3: Esquema de discretização os seguintes operadores: operador de deslocamento temporal Zu j i = uj+1 i, operador de deslocamento espacial Ku j i = uj i+1 e operador identidade Iu j i = uj i. E com isso definimos os operadores discretos espaciais como µ + = 1 2 (I + K), µ = 1 2 (K 1 + I), µ 0 = 1 2 (K 1 + K) (4) de onde ou seja, ǫx = x2 + c, 2 x ǫ x 2 + c = 1 2. Integrando novamente obtemos a solução de equação de Burgers na forma implícita ) c (1+exp (t+c 2 ) c ǫ, se c 0, 1 exp x = (t+c 2 ) c ǫ ( ctan (t+c2 ) ) c 2ǫ, se c > 0. O gráfico da figura 4 mostra a solução analítica da equação (10) para a condição de contorno x(0) = 1, x(1) = 1 e ǫ = δ + = 1 h (K I), δ = 1 h (I K 1 ), δ 0 = 1 2h (K K 1 ) (5) δ = 1 h 2(K 2I + K 1 ) (6) E os operadores discretos temporais como µ + = 1 2 (I + Z), µ = 1 2 (Z 1 + I), µ 0 = 1 2 (Z 1 + Z) δ + = 1 k (Z I), δ = 1 k (I Z 1 ), δ 0 = 1 2k (Z Z 1 ) (7) (8) δ = 1 k 2(Z 2I + Z 1 ) (9) 3 Análise do método de otimização 3.1 Equação de Burgers Analisaremos o método proposto na seção anterior. Como primeiro exemplo tomaremos a equação de Burgers [1] com um problema de contorno Figura 4: Solução exata da equação de Burgers Testes numéricos Para realizar os testes numéricos tomamos alguns pontos no intervalo [0, 1] (incluindo a fronteira) com uma pequena perturbação ( 5%). Utilizamos os dados perturbados apenas na fronteira para resolver o problema de contorno pelo método de shooting [2]. Aplicando a discretização de ponto médio (Runge- Kutta de ordem 2) com h = 0.01 obtemos a solução numérica mostrada na Figura 5 Como podemos ver, uma pequena perturbação na fronteira resultou em um erro bem grande na solução. Mas foram utilizados apenas dois pontos da solução perturbada. Vamos resolver agora o problema de otimização

4 solução final. Mas, se existe informação sobre o problema não somente no contorno, podemos utilizá-la para melhorar significativamente a solução final. 3.2 Equação de Rossby-Obukhov unidimensional Figura 5: Solução de eq. de Burgers, com perturbação na fronteira, utilizando método de shooting (3) utilizando informação sobre a solução em alguns pontos no interior do domínio. Reescrevemos o problema na seguinte forma: Minimizar 1 2 x V s.a. h(x) = 0, (11) onde V é a interpolação da solução perturbada na malha na qual queremos resolver a equação e h(x) = (h 1 (x),...,h m (x)) T = 0 é a discretização da equação (10). Aplicando a discretização de ponto médio, a mesma utilizada no método shooting, e tomando h = 0.01 resolvemos o problema de otimização para 3, 4 e 5 pontos da solução perturbada. Os resultados são representados na Figura 6 Figura 6: Solução da equação de Burgers pelo método de otimização para 3, 4, e 5 pontos Esse exemplo mostra que existem sistemas onde as pequenas perturbações ( 5%) na fronteira podem levar a um grande erro na Agora vamos analisar uma equação diferencial parcial resolvendo-a pelo método convencional de diferenças finitas e pelo método de otimização. Consideremos a equação de Rossby-Obukhov unidimensional dada por t ( 2 x 2ψ ψ l0 2 ) + β ψ x + U 3 x3ψ = 0, (12) onde ψ é uma função corrente, β = s 1 m 1 é uma constante, l 0 é o escalar de Obukhov dado por m e U é o vento zonal com a variação entre 0 e 30 m/s. A solução da equação (12) é periódica e é dada por N ψ(x,t) = A n sin[k(x ct)+φ n ], γ n [0,2π], n=1 (13) com c = U β + U/l2 0 k 2 + 1/l0 2, (14) k = 2πn L. (15) Aqui L é o tamanho da área de integração (tomamos igual a m). Para resolver numericamente a equação (12) definimos a seguinte discretização utilizando os operadores discretos definidos na seção 2.2 δ + (δ Ψ 1 l 2 0 Ψ) + βµ + δ 0 Ψ + Uµ + δ 0 δ Ψ = 0. (16) Testes numéricos Como já mencionamos acima a função ψ dada por (13) é periódica em L. Ou seja podemos resolver (12) em todo domínio L como um problema de valor inicial. Então para a realização dos testes consideremos dois problemas. 1) resolver (13) como problema de valor inicial em L, numa malha grossa. 2) resolver (13) como um problema de valor inicial e de contorno em [a,b] L, numa malha fina.

5 Utilizamos o seguinte procedimento para realizar os testes com a equação de Rossby- Obukhov: 1. Geramos os coeficientes A n e φ n para a solução exata (13). 2. Resolvemos o problema 1, usando a condição inicial com os coeficientes do passo anterior, obtendo os dados observados. 3. Fazemos interpolação linear de dados observados nos pontos (ψ(a,t i ),ψ(b,t i )), i = 1,...,m, onde m é o numero de passos no tempo, para obter o contorno para o problema 2. E interpolamos linearmente os dados observados em t 0, para obter a condição inicial. 4. Resolvemos o problema 2 utilizando a condição inicial e a de contorno obtidas no passo anterior. 5. Interpolamos os dados observados na malha fina em todos os níveis do tempo. 6. Resolvemos o problema 2 através do problema de otimização. Figura 7: Teste 1. Solução do problema 2 depois de 12 horas. Primeiro - diferenças finitas, segundo - otimização em cada nível de tempo, terceiro - otimização em todos os níveis de tempo malha grossa: h = 400 km e k = 2400 seg malha fina: h = 40 km e k = 200 seg tempo de integração é igual a 24 horas (432 passos no tempo). A solução para t = 24 horas é mostrada na Figura 8 A seguir expomos os resultados de dois testes feitos variando os parâmetros das malhas fina e grossa. A região de integração para problema 2 tem tamanho L/5. Para a solução exata foram gerados aleatoriamente 90 coeficientes A n e φ n. O método de otimização é resolvido de duas formas, primeira, aplicando o problema de minimização em cada nível de tempo, e segunda, aplicando o problema em todos os níveis de tempo. Para a solução exata foram gerados aleatoriamente 90 coeficientes A n e φ n. Teste 1 O primeiro teste foi realizado com os seguintes parâmetros: malha grossa: h = 120 km e k = 600 seg malha fina: h = 20 km e k = 100 seg tempo de integração é igual a 12 horas (432 passos no tempo). A solução para t = 12 horas é mostrada na Figura 7 Teste 2 O segundo teste foi realizado com os seguintes parâmetros: Figura 8: Teste 2. Solução do problema 2 depois de 24 horas. Primeiro - diferenças finitas, segundo - otimização em cada nível de tempo, terceiro - otimização em todos os níveis de tempo Os testes mostram a instabilidade do método de diferenças finitas em relação ao método de otimização. Quanto maior a distância entre os dados observados na malha fina, maior é o erro introduzido na fronteira e, conseqüentemente, maior é a perturbação introduzida na solução

6 por diferenças finitas ao longo do tempo. O mesmo acontece com o método de otimização aplicando a minimização em cada nível de tempo, em relação à minimização em todos os níveis. Mas no teste 1, tendo um número razoável de dados observados a primeira forma mostra-se bem estável, sendo muito mais barata computacionalmente. Ou seja, dependendo de quantidade de dados observados é muito mais vantajosos a utilização da primeira forma de problema de minimização, comparativamente à segunda forma. Referências [1] A. Bohé, The existence of supersensitive boundary-value problems, Methods and Applications of Analysis, 3 (1996) [2] H. B. Keller, Numerical Methods for Two- Point Boundary-Value Problems, Dover, [3] K. W. Morton and D. F. Mayers, Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge University Press, [4] R. D. Richtmyer and K. W. Morton, Difference Methods for Initial-Value Problems, John Wiley & Sons, New York, second edition, [5] L. N. Trefethen, Finite Difference and Spectral Methods for Ordinary and Partial Differential Equations, available at nick.trefethen/pdetext.html, 1996.