Método dos Elementos Finitos

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1 SEÇÃO DE ENSINO DE ENGENHARIA DE FORTIFICAÇÃO E CONSTRUÇÃO Método dos Elementos Finitos Introdução Prof: Moniz de Aragão

2 Definições Procedimento geral de discretização de problemas da mecânica do contínuo colocado por expressões definidas matematicamente. (Zienkiewicz, 967/03) Permite a análise do comportamento de qualquer sistema físico regido por equações diferenciais ou integrais, como da mecânica dos sólidos deformáveis, da condução do calor e de massa, e do eletromagnetismo, por exemplo. (Soriano, 009) Conjunto de técnicas numéricas de aproximação que permite que o problema da integração das equações diferenciais seja substituído por um sistema de equações algébricas. (Mello e Castanheira, 00)

3 Ref: Zienkiewicz, 03

4 Diferença prática para o Método das Diferenças Finitas Ref.: Huebner et al, 00

5 Funcional É uma grandeza escalar, função de funções, que assume um valor particular dependente da função nele utilizada. Pode ser escrita sob a forma de uma equação integral definida, contendo uma certa função genérica, como por exemplo:

6 Funcionais (continuação) As funções devem ser contínuas pelo menos até a ordem (m-), isto é, funções de classe C m-, para que existam as derivadas até a ordem m e a integral da equação acima possa ser calculada. Além disto, estas funções devem atender às condições geométricas de contorno. Tais funções são ditas admissíveis e constituem o espaço do domínio do funcional. Diz-se que o funcional é um operador que mapeia as funções admissíveis no espaço dos números reais. O Cálculo Variacional estabelece que, entre todas as funções admissíveis, a que estacionariza o funcional (fornecendo um valor mínimo ou máximo) é a solução do problema regido por este funcional.

7 Funcionais (continuação) O Problema da Braquistócrona (tempo mais curto) Bernoulli, 697 Uma partícula, partindo do repouso, cai do ponto ao ponto, escorregando sem atrito sobre a curva -. Queremos determinar qual é a curva que corresponde ao mínimo tempo de queda:

8 O Problema da Braquistócrona (continuação)

9 O Problema da Braquistócrona (continuação) Tem-se a extremizar um funcional com uma variável independente (x), uma função (y) e sua derivada primeira.

10 Variação de um Funcional O operador variação O valor assumido por um funcional I depende do caminho escolhido entre os pontos e (ou seja, da função escolhida). Admitamos a existência de um caminho que extremiza I com relação aos outros caminhos vizinhos: y ~ x yx y

11 Variação de um Funcional Variação de um Funcional x yx x y ~ função derivável arbitrariamente escolhida y y' y ~ y y ~ ' y' ' Então o caminho variado coincide com o extremizante em x e x 0 x 0 x

12 Variação de um Funcional

13 Métodos Variacionais de Aproximação Método de Rayleigh-Ritz: O funcional se converte então em uma função dos coeficientes a i I x a,a,..., a y ~ n n é mais fácil escolher funções admissíveis que conduzem a bons resultados, do que estacionarizar o funcional e resolver analiticamente as equações diferenciais correspondentes. I n I a y ~ x a 0 n i i i 0, i... n a i

14 Métodos de Aproximação Método de Galerkin: Utiliza diretamente a equação diferencial que descreve matematicamente o problema a ser analisado, não requerendo a existência de um funcional: L y f onde L é um operador (diferencial) e a função y satisfaz certas condições de contorno. Ao fazer uso de funções aproximadoras, a solução encontrada apresenta resíduos em relação à solução exata: condição de ortogonalidade entre as funções: V L y ~ f dv 0 i y ~ n i a i L y ~ f Resolvendo-se cada uma das equações descritas, obtém-se um sistema de n equações, com n incógnitas. i

15 Método de Galerkin - Exemplo Determinar u(x) tal que: d u u dx x 0 com as condições de contorno: u u 0 0 Funções aproximadoras: u ~ u~ n x x a senkx k i x x a senx a senx (para n = ) satisfeitas as condições de contorno: u ~ ~ u 0 0

16 Método de Galerkin - Exemplo Cálculo do resíduo: d u d R u dx dx x x a senx a sen x x a senx a sen x x a senx x a senx a sen x R a sen 4 Equação dos resíduos ponderados no método de Galerkin: 0 R x N xdx 0 ~ k 0 0 R R xsenx dx 0 xsenx dx 0 x x 0, senx 0, sen x u 3 a a 3 a a 0 a 0, a 0,007864

17 Método de Galerkin - Exemplo Outras funções aproximadoras: N k k x x u~ x x a x x a x x Também satisfeitas as condições de contorno: u ~ ~ u R x N xdx 0 k 0 0 R R x x xdx 0 x x xdx 0 a a u~ x x x x x x

18 Ref.: Ribeiro, F. L. B., 03, Introdução ao Método dos Elementos Finitos, Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ Introdução do Método dos Elementos Finitos Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL O Método dos Elementos Finitos (MEF), assim como o método de Galerkin, resolve por aproximação problemas regidos por equações diferenciais ou integrais. São utilizadas aproximações do tipo: uˆ x n j N x j u j onde N j são funções aproximadoras e u j são coeficientes constantes. Como é por definição uma solução aproximada, a equação não é exatamente satisfeita, gerando um resíduo R(x) no domínio.

19 Ref.: Ribeiro, F. L. B., 03, Introdução ao Método dos Elementos Finitos, Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ Introdução do Método dos Elementos Finitos Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL Como é por definição uma solução aproximada, a equação não é exatamente satisfeita, gerando um resíduo R(x) no domínio: A idéia central do MEF é ponderar este resíduo no domínio usando as funções de ponderação : onde N j são as mesmas funções de forma de constantes. e w j são coeficientes

20 Ref.: Ribeiro, F. L. B., 03, Introdução ao Método dos Elementos Finitos, Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ Introdução do Método dos Elementos Finitos Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL O domínio é discretizado (em elementos), resultando em uma malha com n pontos nodais. Uma aproximação característica do MEF tem a forma: onde N j é a função de interpolação global do nó j e u j representa os valores nodais da aproximação.

21 Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL 0 d dx uˆ wˆ dx 0 f wˆ dx

22 Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL wˆ u 0 forma fraca da equação dos resíduos ponderados Tanto û quanto ŵ devem apresentar continuidade C 0

23 Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL n ˆx N x wˆ x N x u j j u j n j j w j

24 Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL

25 Exemplo: PROBLEMA DE VALOR DE CONTORNO UNIDIMENSIONAL

26 Ref.: Ribeiro, F. L. B., 03, Introdução ao Método dos Elementos Finitos, Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ

27 Observações (continuação) Ref.: Ribeiro, F. L. B., 03, Introdução ao Método dos Elementos Finitos, Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ

28 Observações (continuação) Ref.: Ribeiro, F. L. B., 03, Introdução ao Método dos Elementos Finitos, Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ

29 Referências - Livros The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, 03, Zienkiewicz, O. C., Taylor, R. L., Zhu J.Z..Butterworth Heinemann Ed., 7th Edition, London. Elementos Finitos: Formulação e Aplicação na Estática e Dinâmica das Estruturas, 00, Soriano, H. L., Ed. Ciência Moderna, a Ed., Rio de Janeiro. Elementos Finitos: Formulação Residual de Galerkin, 00, Mello, F. M., Castanheira, P., Ed. Sílabo, a Ed., Lisboa. Introdução ao Método dos Elementos Finitos, 03, Fernando L. B. Ribeiro. Notas de Aula, Programa de Engenharia Civil - COPPE/UFRJ. Rio de Janeiro. Método dos Elementos Finitos em Análise de Estruturas, 0, Vaz, L. E., Ed Campus Elsevier, ª Ed., Rio de Janeiro. Método dos Elementos Finitos: Primeiros Passos, 999, Assan, A. E., Editora da Unicamp, ª Edição, Campinas. The Finite Element Method for Engineers, 00, Huebner, K. H., Dewhirst, D. L., Smith, D. E., Byrom, T. G., Ed. Wiley, 4th Edition.

30 Referências - Links Department of Aerospace Engineering Sciences - University of Colorado Introduction to Finite Element Methods Berkeley FEAPpv - A Finite Element Analysis Program (Personal Version) Book views: l=pt-br#v=onepage&q&f=false l=pt-br#v=onepage&q&f=false