LOM Teoria da Elasticidade Aplicada

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1 Departamento de Engenaria de Materiais (DEMAR) Escola de Engenaria de Lorena (EEL) Universidade de São Paulo (USP) LOM310 - Teoria da Elasticidade Aplicada Parte 4 - Análise Numérica de Tensões e Deformações (MDF e PTV) Prof. Dr. João Paulo Pascon Lorena - 018

2 4. Análise Numérica de Tensões e Deformações A solução analítica (ou exata) de problemas mais complexos da mecânica dos sólidos se torna muito trabalosa ou mesmo impossível de ser obtida. Para contornar esse problema, pesquisadores e engeneiros têm recorrido a métodos numéricos (ou aproximados), entre os quais se destacam o Método das Diferenças Finitas (MDF) e o Método dos Elementos Finitos (MEF). Nesta disciplina, abordaremos o MDF de forma sucinta e o MEF de forma mais detalada e aprofundada, já que os elementos finitos são mais comuns na engenaria. Com os conceitos apresentados aqui, será possível entender, por exemplo, a metodologia de cálculo utilizada em um programa de elementos finitos. Ademais, a capacidade de interpretar os resultados numéricos obtidos é de suma importância para o engeneiro Diferenças Finitas O Método das Diferenças Finitas (MDF) é um método de resolução numérica de equações diferenciais baseado na aproximação de derivadas por diferenças finitas. Nesta disciplina, será abordada apenas a solução via MDF de um problema unidimensional envolvendo segunda derivada: du f x,u dx, a x b (4.1) onde a e b são os limites do intervalo de x no qual a equação acima é definida. Porém, o MDF pode ser aplicado a problemas planos e 3D envolvendo derivadas de ordem superior. O MDF consiste na transformação do problema contínuo (4.1) em um problema discreto usando fórmulas de diferenças finitas tomadas sobre uma mala adequada. No caso unidimensional, entende-se por mala como sendo uma representação discreta do domínio 1

3 [a,b]. Para simplificarmos a análise, vamos utilizar uma mala uniforme, na qual o domínio é dividido em N partes iguais de tamano, ou seja: b a N. Dessa forma, ao invés de buscar a função u x que resolve de forma exata a equação (4.1), o objetivo aqui é determinar numericamente valores dessa função em pontos específicos. Partindo da série de Taylor, podemos calcular a primeira derivada da função três formas diferentes: onde u' x u' x u' x u x u x o (diferenças progressivas) (4..1) u x u x o (diferenças regressivas) (4..) u x u x o (diferenças centradas) (4..3) u x de o representa os termos de ordem superior, os quais são desprezados já que se tornam muito pequenos quando tende a zero. Utilizando o termo quadrático da série de Taylor, sabemos que: u x u x u' x u'' x (4.3.1) u x u x u' x u'' x (4.3.) Somando as duas equações acima, obtemos o seguinte resultado: u'' x u x u x u x (4.4) 1 N Considerando a mala ou o conjunto discreto x,x,...,x expressões (4.1) e (4.4) da seguinte forma:, podemos combinar as u x u x u x i i i i i f x,u x (4.5)

4 onde i varia de a N 1. A equação acima pode ser reescrita em termos dos valores incógnitos da função u x nos pontos da mala: u u u i1 i i1 i i f x,u (4.6) Podemos notar em (4.6) que existem N incógnitas (u1, u,..., un) para N equações, o que caracteriza um sistema subdeterminado. Para obter um sistema determinado, devemos empregar as condições de contorno: u u u 1 a u b (4.7.1) (4.7.) Agora, temos N incógnitas para N equações. 4.. Introdução ao Método dos Elementos Finitos Um dos métodos mais usuais para determinar soluções aproximadas de problemas envolvendo equações diferenciais é o Método dos Elementos Finitos (MEF). Assim como no caso do MDF, a técnica empregada no MEF envolve a discretização do meio contínuo em um número finito de partes (ou subdomínios). Porém, o MEF possui um caráter mais generalizado do que o MDF, já que diferentes problemas podem ser resolvidos numericamente com o mesmo algoritmo (a aplicação das condições de contorno e a solução do sistema de equações são realizadas seguindo o mesmo procedimento). O MEF é provavelmente o método mais utilizado por programas de simulação computacional na engenaria. Desenvolvido na década de 1940, o MEF ganou espaço na engenaria graças à evolução dos computadores em termos de capacidade de memória e velocidade de processamento. Inúmeras formulações numéricas envolvendo o MEF têm sido pesquisadas, empregadas e testadas ao longo das últimas décadas. Nesta disciplina, serão 3

5 abordados conceitos essenciais (como mala, nó e elemento), o Princípio dos Trabalos Virtuais (que é a base para determinação do sistema de equações de equilíbrio) e as formulações dos principais elementos finitos (barra de treliça, viga, pórtico, capa plana e sólido tridimensional) Princípio dos Trabalos Virtuais No contexto dos métodos numéricos, um dos princípios de equilíbrio mais utilizados na engenaria é o Princípio dos Trabalos Virtuais (PTV) Problema unidimensional Vamos considerar o problema de uma barra prismática com comprimento igual a L e área de seção transversal igual a A, submetida a um carregamento axial contínuo p x, onde 0 x L é a coordenada ao longo do eixo. Partindo das equações da teoria da elasticidade, pode-se demonstrar que o campo de deslocamentos axiais diferenciais: u' x u'' x x u x satisfaz as seguintes equações N x x, 0 x L (4.8.1) E EA p x, 0 x L (4.8.) EA onde x é a deformação normal longitudinal; x é a tensão normal longitudinal; E é o módulo de Young do material; e Nx é a função que descreve o esforço normal interno ao longo do eixo x. 4

6 A equação local (4.8.) é classificada, no âmbito dos métodos numéricos, de forma forte. Isso porque ela impõe a condição de que a segunda derivada de u x seja definida. A solução analítica é obtida encontrando a função campo de deslocamentos axiais u x que satisfaça a equação diferencial (4.8) no intervalo 0 x L e as condições de contorno do problema. Além da forte, existem mais duas formas: a variacional e a fraca. A variacional é obtida utilizando o método dos resíduos ponderados: p x r x wxdv u'' x w x dv EA 0 (4.9) onde dv representa um elemento de volume no domínio inicial Ω da barra; r x é a função resíduo, definida a partir de (4.8.); e w x é a função ponderadora, que deve ser omogênea nas condições de contorno essenciais, isto é, w 0 nos pontos em que o deslocamento axial é restrito (ou previamente conecido). A função ponderadora adotada é definida no item A solução exata é obtida quando encontramos a função u x que satisfaça rx 0 ao longo de todo o intervalo. Já a solução aproximada é obtida sem impor tal condição e empregando uma aproximação para a função u x. Aplicando a regra de integração por partes ao longo do eixo x à expressão (4.9), pode-se demonstrar a seguinte expressão: p x u' LwL u' 0 w0da u' w' xdv wxdv 0 EA (4.10) onde da representa um elemento infinitesimal de área no contorno superficial (extremidades da barra). A expressão acima é classificada de forma fraca, já que a necessidade de definição da segunda derivada de u x foi removida. Com as definições em (4.8.1), podemos escrever uma versão alternativa para a forma fraca (4.10): L N L w L N 0 w 0 x w' x dv p x w x dx 0 (4.11) 0 5

7 4.3.. Deslocamentos virtuais Para empregar o PTV, deve-se definir o conceito de deslocamento virtual δu, que é um deslocamento infinitesimal ipotético (ou fictício) cujo campo satisfaça as condições de contorno do problema. Se a função ponderadora w x for o campo de deslocamentos virtuais u x, então: L N L w L N 0 w 0 x x dv p x u x dx 0 (4.1) onde d u / dx é o campo de deformação virtual. Lembrando do conceito físico de trabalo (que é o produto entre força e deslocamento), definimos a partir de (4.1) os trabalos virtuais interno e externo: 0 TV int TV (4.13.1) ext TVint x x dv (4.13.) 0 0 L TVext N L u L N u p x u x dx (4.13.3) 0 Em seguida, definimos uma grandeza escalar cuja primeira variação corresponde às expressões (4.13). Essa grandeza é a energia potencial total Π, que é a diferença entre os trabalos reais interno e externo. Com isso, a expressão (4.13.1) pode ser reescrita em termos de variação virtual da energia total: TV TV 0 (4.14) int ext O PTV estabelece que o corpo se encontra em equilíbrio se, e somente se, a variação virtual da energia potencial total (ou a variação de energia total provocada por um deslocamento virtual) for nula. Combinando as expressões (4.13) e (4.14), concluímos que: 6

8 dv N Lu L N 0u 0 pxu xdx (4.15) O PTV é um princípio de equilíbrio generalizado, já que não é necessário definir a função ponderadora (apenas a aproximação para o campo de deslocamentos deve ser empregada). L Interpretação física A primeira integral que aparece em (4.15) camada anteriormente de trabalo real interno é, na verdade, a energia de deformação interna no material (Ue). O termo que está sendo integrado no volume é a densidade de energia de deformação ou energia de deformação específica (uesp). Num ensaio de tração uniaxial, a área abaixo da curva tensão-deformação corresponde à energia de deformação específica. O segundo termo de (4.15) corresponde ao trabalo das forças externas concentradas aplicadas nas extremidades da barra. Já o terceiro termo representa o trabalo do carregamento axial distribuído ao longo de toda a barra. Para problemas planos e 3D, a equação (4.15) deve ser reescrita da seguinte forma: 1 σ : ε dv ds dv t u b u (4.16) onde as matrizes σ e ε são os campos de tensão e de deformação (D ou 3D); t é o vetor de tensão total que atua no elemento de área ds pertencente ao contorno superficial ; u é o campo de deslocamentos (D ou 3D); e b é o campo de forças volumétricas que atua em todo o volume do domínio. A expressão (4.16) pode ser demonstrada aplicando o mesmo procedimento descrito nos itens e 4.3. às equações da elasticidade (plana ou 3D). 7