ESCOLA POLITÉCNICA DA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. PME3210 Mecânica dos Sólidos I Primeira Prova 07/04/2015. Resolução. 50 N(kN)

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Kléber Osório Tavares
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PME3210 Mecânica dos Sólidos I Primeira Prova 07/04/2015 Resolução 1ª Questão (4,0 pontos) barra prismática da figura tem comprimento L=2m. Ela está L/2 L/2 engastada em e livre em C.

1 PME3210 Mecânica dos Sólidos I Primeira Prova 07/04/2015 Resolução 1ª Questão (4,0 pontos) barra prismática da figura tem comprimento L=2m. Ela está L/2 L/2 engastada em e livre em C. seção transversal da barra é quadrada, com lado 10mm. O material da barra tem o comportamento bilinear apresentado no gráfico ao lado. No F ponto intermediário B da barra está aplicada a força F 1 =30kN F 1 B C 2 e na sua extremidade C está aplicada a força F 2 =50kN, com os sentidos indicados na figura. Pede-se: Curva Tensão-Deformação 1200 a) esboçar o gráfico da força normal na barra; b) calcular a máxima tensão normal na barra; c) calcular a mínima tensão normal na barra; d) calcular a máxima tensão de cisalhamento na barra; e) calcular o deslocamento horizontal em B; f) calcular o deslocamento horizontal em C; σ (MPa) 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 ε (%) a) N(kN) b) σ = N σ mmm = N mmm (10 2 ) σ mmm = 500MMM = c) Em uma barra sob tração pura, a tração mínima é sempre nula, esse valor ocorre em uma direção que está a 90 do eixo da barra. σ mmm = 0 d) máxima tensão de cisalhamento que ocorre em uma barra sob tração pura aparece em uma direção que está a 45 do eixo da barra e tem valor igual à metade da tensão axial. τ mmm = σ mmm 2 τ mmm = 250MMM e) força normal em que há mudança de módulo de elasticidade na curva tensãodeformação é: N lll = σ lll = (10 2 ) = 40kk

2 Então o material em B segue o primeiro trecho da curva tensão deformação, enquanto em BC, o segundo trecho é atingido. Seja E 1 o módulo de elasticidade do material no primeiro trecho da curva tensão-deformação. Então: E 1 = , = 200GGG E o deslocamento de B será, então, δ B = N 1L 1 = E (10 2 ) δ B = 1mm (1,0) Uma outra maneira de resolver o exercício é calcular a tensão normal axial que atua no trecho B: σ = (10 2 ) = 200GGG, em seguida procurar no gráfico tensão-deformação, qual é a deformação correspondente a essa tensão: ε = 0,1% e, por último, calcular qual é o deslocamento correspondente a essa deformação: δ B = L 2 ε = ,001 = 1mm. f) Seja E 2 o módulo de elasticidade do material no segundo trecho da curva tensãodeformação. Então: E 1 = ( ) 106 (1 0,2) = 100GGG δ C = δ B + δ BB δ BB = N llll 1 + (N 2 N lim )L 1 E 1 E 2 = (50 40) (10 3 ) (10 3 ) = 3mm δ B = 4mm (1,0) Uma outra forma de calcular δ BB é calcular a tensão normal que atua no trecho BC: σ = (10 2 ) = 500GGG,

3 em seguida procurar no gráfico tensão-deformação, qual é a deformação correspondente a essa tensão: ε = 0,3% e, por último, calcular qual é o deslocamento correspondente a essa deformação: δ B = L ε = ,003 = 3mm. 2

4 2ª Questão ( 2,5 pontos) barra prismática da figura tem comprimento L=3m. Ela está L/3 2L/3 engastada em e em C. seção transversal da barra tem área =200mm 2. No ponto B está aplicada uma força normal F=6kN conforme a figura. O material da barra é elástico linear com módulo de elasticidade E=200GPa. Pede-se: F B C a) esboçar o gráfico da força normal na barra; b) calcular as reações em e C; c) calcular o deslocamento do ponto B; a) R F B C R C N R -R C b) (i) equilíbrio: R + R C = F (ii) compatibilidade: δ + δ BB = 0 (iii) força X deslocamento: δ = R L e δ 3EE BB = 2R CL 3EE (iii) em (ii) R = 2R C em (i) R = 4kk e R C = 2kk (1,5) c) δ B = δ = mm δ B = 0,1mm

5 3ª Questão ( 3,5 pontos) barra cilíndrica da figura tem diâmetro d=20mm e tem L/2 L/2 comprimento L=6m. Ela está engastada em e livre em C. O seu material é elástico linear com módulo de cisalhamento G=60GPa. No trecho BC há aplicado um torque distribuído t= 20N.m/m. Pede-se: c B a) esboçar o gráfico do momento de torção na barra; t b) calcular a máxima tensão de cisalhamento na barra; c) calcular a máxima tensão normal na barra; d) calcular a rotação em B; e) calcular a rotação em C; f) se o material tem resistência à compressão σ u =80MPa, calcular o fator de segurança. a) Nota: usar a aproximação π =3. 60 T(Nm) b) τ mmm = TT I P Então a tensão de cisalhamento será máxima onde o momento de torção for máximo (60kN.m): I P = πd4 = = 1, m 4 τ mmm = , τ mmm = 40MMM c) σ mmm = τ mmm σ mmm = 40MMM d) No trecho B a torção é uniforme: φ B = TT GI P = , φ B = 0,2rr e) φ C = φ B + φ BB φ BB = φ BB = 0 tt dd L/2 GI P = t GI P x2 L = tl2 8GI P , φ BB = 0,1rr φ C = 0,3rr (1,0)

6 f) tensão de compressão máxima é igual à máxima tensão de cisalhamento e ocorre em um plano a 45 com o eixo do cilindro: σ c = 40MMM. Então: FF = σ u = 80 σ c 40 FF = 2

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