LOM Teoria da Elasticidade Aplicada

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1 Departamento de Engenharia de Materiais (DEMAR) Escola de Engenharia de orena (EE) Universidade de São Paulo (USP) OM3 - Teoria da Elasticidade Aplicada Parte 4 - Análise Numérica de Tensões e Deformações (MEF Carga Axial) Prof. Dr. João Paulo Pascon orena - 8

2 4.4. Elementos Finitos de Barra sob Carga Axial Em problemas estruturais mais gerais como, por exemplo, aqueles com descontinuidade de carregamento, torna-se necessária a divisão do domínio do problema em subdomínios (ou sub-regiões). Em tais casos, a resolução manual pelo PTV considerando campos de deslocamentos descritos por polinômios genéricos fica muito trabalhosa. No MEF, a escolha da aproximação para o campo de deslocamento é feita de modo que a relação entre os diferentes subdomínios (ou elementos) seja automaticamente definida, o que possibilita fácil implementação computacional. O princípio de equilíbrio utilizado no MEF também se baseia no PTV. Neste item, veremos dois elementos finitos de barra sob carga axial: D e treliça plana Elemento D No caso de barras unidimensionais submetidas a cargas axiais, podemos definir um elemento finito de dois nós com aproximação linear para o campo de deslocamento axial: u x u x u x, x (4.7) onde u e u são os deslocamentos axiais dos nós (ou das extremidades); as funções ϕ e ϕ são chamadas de funções de forma; e é o comprimento inicial do elemento. Os parâmetros u e u também são chamados de deslocamentos nodais ou graus de liberdade. Todas as demais variáveis mecânicas podem ser obtidas a partir de tais parâmetros. A partir da expressão (4.7) e das condições u u e u u, as funções de forma resultam nas seguintes expressões (válidas apenas para os elementos uniaxiais de aproximação linear):

3 x x (4.8.) x x (4.8.) Conforme o item 4.3, a aplicação do PTV consiste no cálculo da energia de deformação interna e do trabalho externo. Considerando a aproximação linear (4.7), a lei de Hooke uniaxial e a compatibilidade entre deformação e deslocamento, calculamos a energia interna de cada elemento finito: Ue dv dx da dx u u E EA du EA dx A (4.9) Pode-se notar que os campos de deformação e de tensão são constantes ao longo desse elemento. Quando temos mais de um elemento finito, a energia de deformação interna total da estrutura é obtida pela simples adição da energia interna (4.9) de cada elemento. O trabalho das forças externas considerando uma malha com vários elementos finitos é dado pelo produto entre as forças axiais aplicadas e seus respectivos deslocamentos nodais: T Pu P u P u... P u (4.) ext 3 3 N N onde N é o número total de nós da estrutura. De acordo com o PTV, a estrutura está em equilíbrio se, e somente se, a variação da energia potencial total ( Ue Text ) for nula para qualquer deslocamento virtual compatível e admissível aplicado à estrutura, ou seja:. Considerando que a energia total depende dos deslocamentos nodais (ou graus de liberdade): u u u... un u u u u 3 3 N (4.) Para garantir a igualdade acima considerando quaisquer variações virtuais dos deslocamentos nodais, devemos impor que a derivada da energia total em relação a qualquer deslocamento

4 nodal seja nula. Assim, ficamos com um sistema linear de equações N x N (N incógnitas nodais para N equações de equilíbrio) Exemplo ilustrativo Vamos aplicar o MEF para a barra da Figura 4.. O primeiro passo consiste em definir geometricamente a malha de elementos (ou a discretização). Como temos dois segmentos de barra sob esforço normal (axial) e já sabemos da teoria elementar que o deslocamento axial das seções A, B e C define a geometria final da barra, iremos utilizar a malha mais simples possível para este caso: dois elementos finitos (segmentos AB e BC) e três nós (A, B e C). Ao invés de letras, vamos utilizar números para os nós (, e 3), conforme o desenho à direita. Figura 4.. Exemplo de barra D sob carga axial. Outra informação necessária para a definição geométrica da malha é a relação entre as numerações local e global de cada nó. A Tabela 4. mostra a relação adotada para o problema da Figura 4.. Essa tabela deve especificar quais são os nós ( e ) de cada elemento 3

5 de acordo com a numeração global. Conforme a aproximação (4.7), o deslocamento axial varia linearmente de u a u no domínio do elemento (trecho BC), e de u a u 3 no domínio do elemento (trecho AB). Tabela 4.. Numerações local e global de cada nó para a barra da Figura 4.. Elemento Nó (Global) Nó (Global) 3 Considerando o mesmo módulo de Young para os dois elementos, calculamos a energia de deformação interna total a partir de (4.9): U U U E A u u A u u Elem Elem e e e 3 (4.) Para o cálculo do trabalho das forças externas, devemos lembrar que temos apenas uma carga axial aplicada ao nó 3 (ponto A): Text P u (4.3) 3 3 O produto acima só é positivo se tanto a força P 3 = 8 quanto o deslocamento nodal u 3 tiverem o mesmo sentido. Dessa forma, estamos considerando que o eixo vertical correspondente ao deslocamento axial aponta para baixo. Caso tivéssemos adotado a convenção para cima, deveríamos colocar o sinal negativo em (4.3). Outro detalhe é que, embora haja uma força ou reação de apoio no nó (ponto C), esse nó está restrito e, assim, u =, o que resulta na anulação do produto Pu. A análise pelo MEF consiste em encontrar os deslocamentos nodais. Para isso, no contexto do PTV, devemos anular as derivadas que aparecem em (4.): u EA u u (4.4.) 4

6 EA EA u u u u u 3 u EA u 3 u P 3 3 (4.4.) (4.4.3) O sistema linear de equações acima pode ser reescrito na forma matricial: EA u EA EA EA EA u u 3 P 3 8 EA EA EA (4.5) A matriz que aparece em (4.5) é chamada de matriz de rigidez, já que representa a rigidez da estrutura aos deslocamentos nodais. Por exemplo, desconsiderando a força externa de 8 kips e o apoio em C, para provocar um deslocamento unitário no ponto (u = ), são necessárias duas forças: uma igual a EA / aplicada no nó ao longo do mesmo sentido de u e outra de mesmo módulo, mas aplicada no nó com sentido contrário. O primeiro vetor que aparece em (4.5) é chamado de vetor de parâmetros nodais ou vetor de graus de liberdade. Ele contém os deslocamentos nodais de todos os nós da estrutura. Já o segundo vetor é o vetor de forças externas, que contém todas as cargas externas aplicadas à estrutura. O sistema (4.5) pode ser reescrito numa forma mais compacta: ext K u f ou fint f ext (4.6) onde f int é o vetor de forças internas, que também é o produto entre a matriz de rigidez (K) e o vetor de graus de liberdade (u). O sistema de equações (4.5) não possui solução única, pois o determinante da matriz de rigidez é zero. Para encontrarmos uma solução única, devemos impor as condições de contorno que, neste caso, são representadas por u =. Um artifício numérico bastante comum para obtermos a solução única de um problema pelo MEF é executar o seguinte 5

7 procedimento: se o grau de liberdade de número J é restrito, então zeramos a linha J e a coluna J, e inserimos o número na diagonal. Aplicando tal procedimento ao problema da Figura 4.: u EA EA EA u u 3 8 EA EA (4.7) Isso é feito para que o programa obtenha, juntamente com u e u 3, a solução nula para o grau de liberdade u : u u K f (4.8) P3 u ext EA u 3 P3 P3 EA EA A solução numérica obtida acima é idêntica à solução analítica do problema. Utilizando o módulo de Young do aço (E= 9 kips/in²), obtemos u =,437 in. e u 3 =,93 in. (ambos para baixo). Resolvido o problema, ao multiplicarmos a matriz de rigidez inicial (que aparece em 4.5) pelo vetor solução (que contém os parâmetros nodais obtidos), obtemos o seguinte vetor: EA EA 8 EA EA EA EA, 437, 93 8 EA EA (4.9) 6

8 O primeiro valor do vetor à direita (-8) corresponde à reação de apoio no nó (que é de 8 kips para cima). Podemos generalizar o cálculo das reações de apoio da seguinte forma: se o grau de liberdade de número J está restrito, ao multiplicarmos a matriz de rigidez inicial (antes da modificação de acordo com as condições de contorno) pelo vetor solução, a componente J do vetor resultante corresponde à reação de apoio referente ao grau de liberdade J Montagem da matriz de rigidez global Já que o sistema de equações a ser resolvido é linear, podemos obter as componentes da matriz de rigidez com a seguinte expressão genérica: K ij (4.9) u u i j onde os índices i e j variam de até o número de graus de liberdade. Com a equação acima, pode-se notar que tanto a matriz de rigidez local quanto à global são matrizes simétricas. Para obtenção do sistema de equações de uma forma generalizada (isto é, válida para qualquer malha de elementos), o método usual consiste na determinação prévia das matrizes de rigidez locais (K ), seguida da montagem da matriz global (K). No contexto de cada elemento finito, temos o seguinte sistema local: EA EA u f EA EA u f (4.3) onde u e u se referem à numeração local dos nós (e não à global). Para somarmos a contribuição de cada elemento à matriz de rigidez global, devemos obter a matriz de rigidez local (de cada elemento) em termos globais. A partir da relação entre 7

9 as numerações local e global da Tabela 4., poderíamos dizer que a matriz de rigidez do primeiro elemento em termos globais (ou seja, em relação aos deslocamentos u, u e u 3 ) é a seguinte: EA EA EA EA (4.3) Já a matriz do segundo elemento em termos globais é: EA EA EA EA (4.3) No caso da Figura 4., os graus de liberdade locais u e u do elemento correspondem aos graus de liberdade globais u e u. Já os graus de liberdade locais do elemento correspondem aos graus de liberdade globais u e u 3. Assim sendo, após determinar as matrizes de rigidez para todos os elementos finitos, as mesmas devem ser espalhadas em termos globais e somadas para se obter a matriz de rigidez global da estrutura. Pode-se notar que a soma das matrizes presentes em (4.3) e (4.3) correspondem à matriz global em (4.5). Portanto, a metodologia geral do MEF para solução de um problema estrutural consiste nas seguintes etapas:. eitura da geometria da malha (coordenadas dos nós, numerações local e global). eitura das propriedades do material (módulo de Young, coeficiente de Poisson etc.) 3. eitura das cargas nodais aplicadas 8

10 4. Cálculo das matrizes de rigidez local (de cada elemento) 5. Espalhamento das matrizes locais em relação ao sistema global 6. Montagem do sistema global 7. Modificação do sistema (imposição das condições de contorno) 8. Solução do sistema 9. Cálculo das reações de apoio Cargas distribuídas No caso de cargas axiais distribuídas ao longo do comprimento do elemento finito, devemos obter as chamadas cargas nodais equivalentes. Para isso, devemos determinar a parcela de trabalho referente ao carregamento distribuído p(x). Aplicando o PTV, derivamos essa parcela em relação aos parâmetros nodais: T ext Text p x x dx T u ext p xu xdx u T ext u p x x dx (4.33) No caso de carga uniforme, notamos que as duas componentes do vetor acima são iguais a p/. Assim sendo, no caso de carga uniformemente distribuída, basta substituirmos o carregamento distribuído por duas cargas equivalentes idênticas aplicadas nas extremidades (com o mesmo sentido) Treliça plana 9

11 Ainda no contexto de carga axial, temos o elemento finito de treliça plana, mostrado na Figura 4.. Nesse caso, cada elemento finito possui quatro graus de liberdade: os dois deslocamentos planos do nó (u e u ) e os dois deslocamentos planos do nó (u e u ). Figura 4.. Elemento Finito de Treliça Plana. Assim como no caso D, a aproximação adotada para o campo de deslocamentos planos também é linear: x* u x* u x* u (4.34.) x* u x* u x* u (4.34.) onde x* é o eixo longitudinal local do elemento. As funções de forma acima são as mesmas definidas em (4.8). O cálculo da deformação normal longitudinal do elemento é feito considerando a compatibilidade aproximada entre os deslocamentos dos nós e a variação de comprimento (conforme a teoria elementar de carga axial da mecânica dos sólidos): u u cos u u sen (4.35)

12 onde o ângulo α, mostrado na Figura 4., deve ser positivo quando tem o sentido anti-horário. Podemos notar que a deformação normal na barra de treliça também é uniforme ao longo de seu comprimento. Utilizando a lei de Hooke uniaxial e a expressão (4.35), a energia de deformação interna em função dos parâmetros nodais resulta em: u u cos u u sen EA U e (4.36) O trabalho das forças externas para uma treliça plana é dado pela soma dos produtos entre as forças nodais aplicadas e seus respectivos deslocamentos: N N N N Text P u P u P u P u... P u P u (4.37) onde N é o número total de nós da estrutura treliçada. A partir de (4.36), é possível mostrar que a matriz de rigidez local do elemento de treliça da Figura 4. é: cos sencos cos sencos EA sencos sen sen cos sen K (4.38) cos sencos cos sencos sencos sen sencos sen Com as expressões acima, as etapas da metodologia do MEF descritas no final do item podem ser aplicadas para o elemento finito de treliça plana.