Teoria das Estruturas - Aula 17
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- Maria Luiza Estrela
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1 Teoria das Estruturas - Aula 17 Análise Matricial de Treliças via Método da Rigidez Fundamentos da Análise Matricial; Matriz de Rigidez Elementar de Barra de Treliça; Matrizes de Transformação de Deslocamentos e Forças; Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais; Montagem das Matrizes e Vetores Globais e Determinação dos Deslocamentos e Esforços; Prof. Juliano J. Scremin 1
2 Aula 17 - Seção 1: Fundamentos da Análise Matricial
3 Análise Matricial - Introdução A análise matricial pode ser feita empregando os dois métodos já vistos para cálculo de estruturas hiperestáticas, a saber: Método das Forças - A definição do sistema principal depende da escolha dos hiperestáticos o que pode incorrer em sistemas lineares inadequados; - Exige abordagens diferentes para estruturas isostáticas e hiperestáticas; - Deslocamentos não são obtidos diretamente; Método dos Deslocamentos - Sistema principal único definido em função das propriedades geométricas e do material da estrutura; - Permite analisar estruturas isostáticas e hiperestáticas indistintamente; - Deslocamentos são obtidos diretamente assim como as forças; 3
4 Análise Matricial + Método dos Deslocamentos A aplicação da análise matricial associada ao método dos deslocamentos (método da rigidez) requer : 1. Subdivisão da estrutura em elementos discretos (barras, vigas, pilares) ;. Identificação dos pontos extremos destes elementos com nós ; 3. Definição de sistemas locais de coordenadas para cada elemento estrutural discretizado; 4. Definição de um sistema de coordenadas global para toda a estrutural e respectivas correlações com os sistemas locais de cada elemento. 4
5 Identificação de Elementos e Nós O primeiro passo para aplicação matricial do método da rigidez é identificar os elementos estruturais e seus respectivos nós. o Elementos Estruturais o Nós numeração dentro de quadros numeração dentro de círculos 5
6 Sistema Local e Sistema Global de Coordenadas Dado que cargas e deslocamentos são quantidades vetoriais é necessário estabelecer sistemas de coordenadas para representação destes. o Coordenadas Locais x e y o Coordenadas Globais x e y
7 Indeterminação Cinemática (1) Os graus de liberdade não restringidos são as variáveis primárias do método dos deslocamentos (rigidez). Em uma treliça cada nó possui graus de liberdade (translações na vertical e horizontal) sendo estes numerados conforme indicação na figura. Na treliça esboçada os seguintes graus de liberdade podem ser identificados: Graus de liberdade não restringidos: 1 ao 5 Graus de liberdade restringidos: 6 ao 8
8 Indeterminação Cinemática () Por padrão os graus de liberdade não restringidos são identificados com os primeiros números (números menores) e os graus de liberdade restringidos com os últimos números (maiores números). A razão para isso será elucidada mais adiante porém tem relação com a possibilidade de particionar a matriz de rigidez da estrutura identificando de forma mais direta onde se encontram os graus de liberdade restringidos, os quais se destinam ao cálculo das reações de apoio. Graus de liberdade não restringidos: 1 ao 5 Graus de liberdade restringidos: 6 ao 8
9 Aula 17 - Seção : Matriz de Rigidez Elementar de uma Barra de Treliça 9
10 Matriz de Rigidez Elementar(1) Um elemento de treliça pode sofrer deslocamentos relativos somente ao longo de seu eixo longitudinal ( eixo x ). Por tanto somente são possíveis dois deslocamentos independentes, a saber, os deslocamentos nos extremos do elemento. 10
11 Matriz de Rigidez Elementar () Quando um deslocamento positivo dd NN é imposto na extremidade NN do elemento de treliça, são desenvolvidas forças em cada extremidade. Note-se que qqq FF é negativo por agir como reação e em sentido contrário ao sentido positivo do eixo local x. qqq NN = AAAA LL dd NN qqq FF = AAAA LL dd NN 11
12 Matriz de Rigidez Elementar (3) De igual maneira, quando um deslocamento positivo dd FF é imposto na extremidade FF do elemento de treliça, também são desenvolvidas forças nas extremidades. Note-se porém, que estas possuem sinais contrários as anteriores. qqq NN = AAAA LL dd FF qqq FF = AAAA LL dd FF 1
13 Matriz de Rigidez Elementar (4) Por superposição de efeitos tem-se: qq NN = qq NN + qqq NN = AAAA LL dd NN AAAA LL dd FF qq FF = qq FF + qqq FF = AAAA LL dd NN + AAAA LL dd FF 13
14 Matriz de Rigidez Elementar (5) Dispondo matricialmente: qq NN = AAAA LL dd NN AAAA LL dd FF qq FF = AAAA LL dd NN + AAAA LL dd FF qq NN qqff = AAAA LL AAAA LL AAAA LL AAAA LL dd NN dd FF qq NN qqff = AAAA LL dd NN dd FF qq = kk dd 14
15 Aula 17 - Seção 3: Matrizes de Transformação de Deslocamentos e Forças 15
16 Matriz de Transformação (1) Uma treliça é composta de muitos elementos (barras de treliça). Assim sendo, agora será definido um método para transformar o vetor de forças {qq} e o vetor de deslocamentos {dd}, definidos conforme o sistema local de coordenadas (xx, yyy), em suas respectivas coordenadas no sistema global (xx, yy) 16
17 Matriz de Transformação () Os menores ângulos entre o sentidos positivos do sistema de eixos (xx, yy) e o eixo positivo xx do sistema local (xx, yy ) serão denominados θθ xx e θθ yy. Os cossenos destes ângulos serão: λλ xx = ccccccθθ xx λλ yy = ccccccθθ yy λλ xx = ccccccθθ xx = xx FF xx NN LL = xx FF xx NN xx FF xx NN + yy FF yy NN λλ yy = ccccccθθ yy = yy FF yy NN LL = yy FF yy NN xx FF xx NN + yy FF yy NN 17
18 Matriz de Transformação de Deslocamentos (1) Em coordenadas globais cada elemento estrutural possui graus e liberdade ou seja: nó N DD NNxx e DD NNyy nó F DD FFxx e DD FFyy Considerando cada um destes deslocamentos globais separadamente tem-se que: dd NN = DD NNxx ccccccθθ xx + DD NNyy ccccccθθ yy dd FF = DD FFxx ccccccθθ xx + DD FFyy ccccccθθ yy 18
19 Matriz de Transformação de Deslocamentos () Ressaltando: Coordenadas Globais: nó N DD NNxx e DD NNyy nó F DD FFxx e DD FFyy Coordenadas Locais: nó N dd NN nó F dd FF Lembrando que: λλ xx = ccccccθθ xx ; λλ yy = ccccccθθ yy dd NN = DD NNxx λλ xx + DD NNyy λλ yy dd FF = DD FFxx λλ xx + DD FFyy λλ yy 19
20 Matriz de Transformação de Deslocamentos (3) Escrevendo em forma matricial: dd NN = DD NNxx λλ xx + DD NNyy λλ yy dd FF = DD FFxx λλ xx + DD FFyy λλ yy dd : vetor de deslocamentos em coordenadas locais DD : vetor de deslocamentos em coordenadas globais dd NN dd FF = λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy DD NNxx DD NNNN DD FFxx DD FFFF TT : matriz de transformação de coordenadas globais em coordenadas locais dd = TT DD 0
21 Matriz de Transformação de Forças (1) Considerando a aplicação de uma força qq NN no nó N do elemento de barra tem-se: QQ NNNN = qq NN ccccccθθ xx = qq NN λλ xx QQ NNNN = qq NN ccccccθθ yy = qq NN λλ yy Aplicando uma força qq FF no nó F do elemento de barra tem-se: QQ FFFF = qq FF ccccccθθ xx = qq FF λλ xx QQ FFFF = qq FF ccccccθθ yy = qq FF λλ yy 1
22 Matriz de Transformação de Forças () Escrevendo a decomposição das forças no sistema de eixos global partindo do sistema de eixos local: QQ NNNN = qq NN λλ xx QQ NNNN = qq NN λλ yy QQ FFFF = qq FF λλ xx QQ FFFF = qq FF λλ yy QQ NNNN QQ NNNN QQ FFFF QQ FFFF = λλ xx 0 λλ yy 0 0 λλ xx 0 λλ yy qq NN qqff QQ = TT TT qq qq : vetor de cargas em coordenadas locais QQ : vetor de cargas em coordenadas globais TT : matriz de transformação de coordenadas locais em coordenadas globais
23 Matriz de Transformação de Forças (3) Vale salientar que a matriz de transformação de forças é o transposto da matrizes de transformação de deslocamentos. Matriz de Transformação de Deslocamentos Matriz de Transformação de Forças λλ yy TT = λλ xx λλ xx λλ yy TT TT = λλ xx 0 λλ yy 0 0 λλ xx 0 λλ yy 3
24 Aula 17 - Seção 4: Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais 4
25 Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (1) Vamos agora combinar os resultados das seções anteriores e determinar a matriz de rigidez para um elemento correlacionando os esforços globais QQ e os deslocamentos globais DD partindo dos esforços locais qq e dos deslocamentos locais dd ; QQ = TT TT qq qq = TT QQ dd = TT DD dd = TT DD qq = kk dd qq = kk dd TT QQ = kk TT DD QQ = TT TT kk TT DD 5
26 Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais () Seguindo com a manipulação define-se: QQ = TT TT kk TT DD kk : matriz de rigidez em coordenadas locais kk : matriz de rigidez em coordenadas globais QQ = kk DD kk = TT TT kk TT Ou seja: kk = TT TT kk TT [kk] = λλ xx 0 λλ yy 0 0 λλ xx 0 λλ yy AAAA LL λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy 6
![Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (3) Por fim, em termos dos cossenos diretores tem-se que: NN xx NN yy FF xx FF yy [kk] = AAAA LL λλ xx λλ](/docs-images/96/128251939/images/27-2.jpg "yy λλ xx λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ λλ xx xx λλ yy λλ λλ xx xx λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx NN xx NN yy FF xx FF yy")
27 Matriz de Rigidez Elementar em Coordenadas Globais (3) Por fim, em termos dos cossenos diretores tem-se que: NN xx NN yy FF xx FF yy [kk] = AAAA LL λλ xx λλ yy λλ xx λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ λλ xx xx λλ yy λλ λλ xx xx λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx NN xx NN yy FF xx FF yy 7
28 Aula 17 - Seção 5: Montagem das Matrizes e Vetores Globais e Determinação dos Deslocamentos e Esforços 8
29 Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (1) Dado que todas as matrizes elementares das barras componentes da treliça tenham sido formadas, o passo seguinte é a montagem (ou espalhamento) destas de modo a conformar a matriz de rigidez global de toda a estrutura [KK]. Este processo depende de uma cuidadosa identificação dos elementos em cada matriz elementar por meio dos quatro números que nomeiam os graus de liberdade envolvidos, ou seja, NN xx, NN yy, FF xx e FF yy NN xx NN yy FF xx FF yy [kk] = AAAA LL λλ xx λλ yy λλ xx λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ λλ xx xx λλ yy λλ λλ xx xx λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx λλ yy λλ yy λλ xx NN xx NN yy FF xx FF yy 9
30 Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) () Para compreender o processo de montagem tome-se como exemplo a estrutura abaixo onde todas as barras possuem AE constante: 4 m kn 3 m 30
31 Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (3) Para a barra [1] os cossenos são: λλ xx = λλ yy = = 1 = 0 4 m Substituindo os cossenos na expressão do slide 4: 3 m [kk] = AAEE /3 0 1/ /3 0 1/
32 Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (4) Para a barra [] os cossenos são: λλ xx = λλ yy = = 3 5 = m Substituindo os cossenos na expressão do slide 4: m [kk] = AAEE 9/15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/15 9/15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/
33 Matriz de Rigidez Global (da Estrutura) (5) No processo de montagem da matriz global da estrutura vale salientar que como o nó é comum às duas barras, os graus de liberdade (1) e () aparecem em ambas as matrizes elementares Matriz Elementar da Barra [1] [kk] = AAEE 1/3 0 1/ /3 0 1/ Matriz Elementar da Barra [] [kk] = AAEE /15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/15 9/15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/
34 Espalhamento das Matrizes Elementares (1) AAEE Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [] /3 0 1/ /3 0 1/ AAEE /15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/15 9/15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/ AAEE Matriz Global da Estrutura
35 Espalhamento das Matrizes Elementares () AAEE Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [] /3 0 1/ /3 0 1/ AAEE /15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/15 9/15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/ AAEE Matriz Global da Estrutura /3 0 1/ /3 0 1/
36 Espalhamento das Matrizes Elementares (3) AAEE Matriz Elementar da Barra [1] Matriz Elementar da Barra [] /3 0 1/ /3 0 1/ AAEE /15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/15 9/15 1/15 9/15 1/15 1/15 16/15 1/15 16/ Sombreamento Matriz Global da Estrutura AAEE /3 + 9/ /15 1/3 0 9/15 1/ / / /15 16/15 1/3 0 1/ /15 1/ /15 1/15 1/15 16/ /15 16/
37 Matriz de Rigidez Global Final Graus de Liberdades Restringidos AAEE /375 1/15 1/3 0 9/15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 1/3 0 1/ /15 1/ /15 1/15 1/15 16/ /15 16/ m 3 m 37
38 Vetor de Carga Global Dado que a matriz de rigidez global está composta resta agora a composição do vetor de cargas global {QQ}. No caso de uma treliça, os carregamentos são sempre cargas concentradas aplicadas nos nós o que facilita a criação do vetor de cargas global que resume-se a identificadas de a qual grau de liberdade corresponde cada carga. 4 m QQ = 0 QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ kn 3 m Graus de Liberdades Restringidos 38
39 Sistema de Equações da Análise Matricial (1) Montando um sistema de equações com o vetor de carga global {QQ} e a matriz de rigidez global [KK] resta como variável o vetor de deslocamentos nodais globais {DD}. 0 QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ 6 = AAEE 15/375 1/15 1/3 0 9/15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 1/3 0 1/ /15 1/ /15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 DD 1 DD QQ = KK DD 39
40 Sistema de Equações da Análise Matricial () Entretanto a solução do sistema é impossível da maneira como ele se apresenta pois no vetor de carga apresentam-se como incógnitas as reações de apoio QQ 3, QQ 4, QQ 5 e QQ 6 correlatas aos graus de liberdade restringidos (cujos deslocamentos são conhecidos e valem 0 zero ) Portanto, o sistema deve ser resumido aos graus de liberdade não restringidos. 0 QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ 6 = AAEE 15/375 1/15 1/3 0 9/15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 1/3 0 1/ /15 1/ /15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 DD 1 DD Graus de Liberdades Restringidos Graus de Liberdades Não Restringidos 40
41 Sistema de Equações da Análise Matricial (3) Dada a numeração adequada nomeando os graus de liberdade não restringidos com os números menores e os graus restringidos com os números maiores é possível fazer um recorte no sistema de equações conforme abaixo: 0 QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ 6 = AAEE 15/375 1/15 1/3 0 9/15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 1/3 0 1/ /15 1/ /15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 DD 1 DD QQ kk QQ uu = KK 11 KK 1 KK 1 KK DD uu DD kk 41
42 Sistema de Equações da Análise Matricial (4) 0 QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ 6 = AAEE 15/375 1/15 1/3 0 9/15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 1/3 0 1/ /15 1/ /15 1/15 1/15 16/ /15 16/15 DD 1 DD QQ kk QQ uu = KK 11 KK 1 KK 1 KK DD uu DD kk {QQ kk } : cargas externas conhecidas {DD kk } : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos) {QQ uu } : cargas externas (reações de aposio) desconhecidas {DD uu } : deslocamentos desconhecidos 4
43 Cálculo dos Deslocamentos (1) QQ kk QQ uu = KK 11 KK 1 KK 1 KK DD uu DD kk {QQ kk } : cargas externas conhecidas {DD kk } : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos) {QQ uu } : cargas externas (reações de apoio) desconhecidas {DD uu } : deslocamentos desconhecidos {QQ kk } = [KK 11 ]{DD uu } + [KK 1 ]{DD kk } Como DD kk = {0} {QQ kk } = [KK 11 ]{DD uu } 43
44 Cálculo dos Deslocamentos () {QQ kk } = [KK 11 ]{DD uu } = AAEE DD 1 DD Resolvendo o sistema linear tem-se que: DD 1 = 4,5 AAAA DD = 19 AAAA 44
45 Cálculo das Reações de Apoios (1) QQ kk QQ uu = KK 11 KK 1 KK 1 KK DD uu DD kk {QQ kk } : cargas externas conhecidas {DD kk } : deslocamentos conhecidos (no caso em particular nulos) {QQ uu } : cargas externas (reações de apoio) desconhecidas {DD uu } : deslocamentos desconhecidos {QQ uu } = [KK 1 ]{DD uu } + [KK ]{DD kk } Como DD kk = {0} {QQ uu } = [KK 1 ]{DD uu } 45
46 Cálculo das Reações de Apoios () {QQ uu } = [KK 1 ]{DD uu } QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ 6 = AAEE DD 1 DD DD 1 = 4,5 AAAA DD = 19 AAAA Multiplicando as matrizes acima tem-se: QQ 3 QQ 4 QQ 5 QQ 6 = 1,5 0 1,5 kkkk 46
47 Cálculo dos Esforços Internos nas Barras (1) Uma vez conhecidas as reações de apoio resta agora o problema de calcular os esforços internos. Para tanto é necessário relembrar as equações abaixo: qq = kk dd dd = TT DD qq = kk TT DD {qq} : vetor de cargas nodais elementares ( locais de cada barra ) {DD} : vetor de deslocamentos globais [TT] : matriz de transformação de coord. globais para coord. locais [kk] : matriz de rigidez elementar 47
48 Cálculo dos Esforços Internos nas Barras () Expandindo a equação abaixo: qq = kk TT DD qq NN qq FF = AAAA LL Como qq NN = qq FF dada a condição de equilíbrio, somente uma das forças precisa ser calculada, que no caso será qq FF : λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy DD NNxx DD NNyy DD FFxx DD FFyy qq FF = AAAA LL λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy DD NNyy DD FFxx DD NNxx DD FFyy 48
49 Cálculo dos Esforços Internos nas Barras (3) Aplicando a expressão anterior para as duas barras da estrutura: qq FF = AAAA LL λλ xx λλ yy λλ xx λλ yy DD NNyy DD FFxx DD NNxx DD FFyy Esforço Interno da Barra [1] qq [1] = AAAA AAAA 4, = 1,5 kkkk Esforço Interno da Barra [] qq [] = AAAA , AAAA =,5 kkkk 49
50 FIM 50
51 Exercício 17.1 Determinar o esforço axial em cada uma das barras indicadas na montagem abaixo. Para todas as barras: E = 00 GPa A = 1000 mm² 0,9 m 0,9 m 0 kn 1, m 1,8 m 51
52 Exercício 17. Determinar o esforço axial na barra [] da estrutura abaixo quando o nó (1) sofre um deslocamento vertical descendo 5 mm. Todas as barras possuem o mesmo EA = 8x10 3 kn. 5
53 Exercício 17.3 Determinar o esforço axial na barra [] se a sua temperatura for aumentada em 55 C. Para todas as barras: E = 00 Gpa; A = 1000 mm²; α = 11,7x10-6 /ºC; kn 4 m 4 m 3 m 53
![e o esforço interno na barra [] da treliça indicada abaixo](/docs-images/96/128251939/images/54-1.jpg "empregando a análise matricial via método dos deslocamentos.")
54 Exercício 17.4 Calcular os deslocamentos D1 até D5, as reações de apoio e o esforço interno na barra [] da treliça indicada abaixo empregando a análise matricial via método dos deslocamentos. Todas as barras possuem o mesmo EA. 4 kn kn 54
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