ESTÁTICA DAS ESTRUTURAS I PROF. IBERÊ 1 / 37 MÉTODO DOS ESFORÇOS
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- Cecília Estrada Quintão
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1 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 ÉTODO DOS ESFOÇOS Na resolução de estruturas hiperestáticas (aquelas que não podem ser resolvidas com as equações fundamentais da estática, a saber : somatória forças verticais igual a zero, somatória forças horizontais igual a zero, somatória momento fletor referente a um ponto igual a zero), nós podemos lançar mão do método dos esforços. Este processo de cálculo consiste na utilização de uma estrutura equivalente a que desejamos calcular, na qual substituímos um vínculo entre barras ou entre barra e apoio por um carregamento externo. ejamos alguns exemplos de modificação abaixo : A estrutura equivalente deve ser isostática, caso a estrutura continue hiperestática após a primeira modificação, executamos outra modificação e assim por diante até encontrar uma estrutura equivalente isostática. A estrutura equivalente deve ser desdobrada em: SOSTÁTCA BÁSCA corresponde a estrutura equivalente com os carregamentos externos da viga original. CASO () corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela primeira modificação. CASO () corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela segunda modificação. CASO (n) corresponde a estrutura equivalente com o carregamento originado pela enésima modificação. ale um comentário quanto a numeração da estrutura: deve-se procurar numerar os nós da estrutura de forma que o ponto coincida com a modificação, o ponto com a modificação e assim por diante, e, caso seja possível, desaconselha-se duas modificações no mesmo nó.
2 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 Para conseguirmos determinar as incógnitas que superam o número de equações fundamentais da Estática vamos usar equações de compatibilidade de deformação (seja esta deformação a flecha, o giro, ou o giro relativo). Ou seja, valendo a sobreposição de efeitos : - na modificação do apoio móvel do nó por uma força, temos que a soma da flecha devida ao carregamento externo original com a flecha devida a força será igual a zero (condição de apoio na estrutura original). δ δ δ δ δ - na modificação do engastamento do nó por um momento fletor e um apoio fixo, temos que a soma do giro devido ao carregamento externo original com o giro devido ao momento será igual a zero (condição de engastamento na estrutura original). - na modificação da ligação rígida entre barras no nó por uma articulação com momentos fletores relativos, diremos que a soma do giro relativo devido ao carregamento externo original com o giro relativo devido aos momentos fletores relativos será igual a zero (condição de ligação rígida - continuidade - na estrutura original). Os cálculos relativos a flecha, giro e giro relativo serão desenvolvidos com o Teorema de Castigliano e auxílio da Tabela de Kurt Beyer. Para tanto devemos construir os diagramas de momento fletor da sostática Básica e dos n Casos. Uma vez que o Teorema de Castigliano utiliza de um diagrama de momento gerado por um carregamento unitário, convém em cada Caso ( n ) colocarmos em evidência n tornando assim cada Caso ( n ) em um carregamento unitário multiplicado por n. Cria-se a equação de compatibilidade na seguinte forma : EAL CASO (). CASO (). CASO ()... n. CASO (n) Castigliano : o δ dx, o dx E, o dx E E Encontradas as deformações por Castigliano, montamos um sistema linear devido as equações de compatibilidade com a seguinte forma :
3 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7... n... n n n n n n n..... n nn..... n. n..... n. n n. n. n... n. nn Os valores encontrados nos fornecem os vínculos ou esforços internos aos quais se referem, tornando possível agora a resolução da estrutura original utilizando-se as equações fundamentais da estática, seguindo o cálculo das reações de apoio e a construção dos diagramas de esforços internos solicitantes da estrutura original, a saber N (esforço normal), (esforço cortante) e (momento fletor). EECÍCO : Na viga contínua esquematizada abaixo, calcular os diagramas de esforços internos solicitantes :,5 m, m kn kn kn / m, m, m E, constantes esolução : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso eal) :,5 m, m kn kn kn / m, m, m
4 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor :,5 m, m kn kn kn / m CASO (), m, m kn.m,5, kn.m,,. CASO (),,, m, m kn.m, Cálculo dos giros relativos, por Castigliano :. dx. s. k s. k s. k s. k... dx.. β 6 6 ( α ).( )
5 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 5 / 7., (,5).(,5). dx. s. k s. k... dx ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ) ,. E... 7 podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 55, kn.m. O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na proposição do caso (). Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes 55, 55..,5.., 5, 67kN esq 55, , 5kN dir F 7. F H H 7, 8kN
6 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 6 / 7,5 m, m kn kn kn / m H, m, m N 68,75 [kn],67 8,,67,5 8,75,5 [kn] 68, 55, [kn.m] 5,,5 EECÍCO : Na viga contínua esquematizada abaixo, calcular os diagramas de esforços internos solicitantes :, m kn kn / m kn / m.., m, m, m E constante
7 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 7 / 7 esolução : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso eal) :, m kn kn / m kn kn / m kn.m., m, m Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor :, m kn / m kn kn / m kn CASO (). kn.m, m, m kn.m,5 5,, kn.m,
8 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 8 / 7. CASO (),,, m, m kn.m, Cálculo dos giros relativos, por Castigliano :.... dx. dx. dx... dx... dx.. s. k s. k.. 6 s. k ( α ).. s. k 6., dx. dx. dx... dx... dx.. s. k s. k ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ) , 6. E.. 6. podemos assim afirmar que o momento fletor no apoio () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 8, kn.m. O sinal negativo indica que ele assume sentido contrário ao escolhido na proposição do caso (). Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes
9 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 9 / 7 8, 8,...., 5 7, 9kN esq 8, 8,... 9,96kN dir F.. 8, 75kN F H H, m kn kn / m kn / m H.., m, m, m N [kn] 7,9 66,,,7,7,65 6,7,5 8, 5,96 [kn], [kn.m] 8,6 6,
10 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 EECÍCO : Na viga contínua esquematizada abaixo, calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : kn / m 8 kn / m, m, m, m, m E, constantes esolução : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso eal) : kn / m 8 kn 8 kn / m 9 kn.m, m, m, m Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : kn / m 8 kn 8 kn / m CASO () 9 kn.m, m, m, m kn.m 8,,5,5 9, kn.m
11 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7. CASO (),, m, m, m kn.m,. CASO (),,, m, m, m kn.m,. CASO (),,, m, m, m kn.m Cálculo dos giros relativos,,,,,,,, e dos giros,,,, por Castigliano :,. s. k.8.. dx... dx... s. k. dx... dx
12 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7. s. k... dx... dx dx dx E E.. s. k s. k.8..,5.. dx... dx s. k s. k..... dx... dx.... dx... dx s. k s. k s. k s. k. dx... dx. 6.,5.., s. k s. k..... dx... dx.. 7. ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ). ( ). ( ) resolvendo o sistema por forma matricial :...,,67,67,,5.,5, , 8,5 6, 6,7,7, podemos assim afirmar que : o momento reativo no engaste () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 6,7 kn.m ; o momento fletor no apoio () assume o valor., kn.m, ou seja,
13 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 vale,7 kn.m ; o momento fletor no apoio () assume o valor., kn.m, ou seja, vale, kn.m. O sinal negativo indica que os momentos assumem sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos. Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes, 7,7 6,7... 5, 5kN esq,, 6,7 5, , 5 75, 6kN esq,, 8...,9kN dir, 7,7 8.7.,5,9.6. 5, 7kN dir F H H ; H kn / m 8 kn / m H H, m, m, m, m N [kn] 5,5,6 8,8 8,, m,9,65 5,9 [kn] 6,7,7 m,56 m,7,,95 9,67 9, [kn.m] 8,8
14 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 EECÍCO : Na viga hiperestática esquematizada abaixo, calcular os diagramas de esforços internos solicitantes : kn / m, m E, constantes esolução : a) utilizando a flecha do apoio () para montagem da equação de compatibilidade : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso eal) : kn / m δ, m Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : kn / m 6 CASO () δ kn.m, m. CASO () δ kn.m, m, kn Cálculo das flechas δ, δ por Castigliano :. s. k.6. δ. dx... dx.. 6
15 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 5 / 7 δ. s. k... dx... dx.. 6. ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ) δ δ. δ , E.. 6 podemos assim afirmar que a reação vertical no apoio () assume o valor., kn, ou seja, vale, kn. O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do caso (). Cálculo das eações de Apoio..., kn F. 5, kn F H H b) utilizando o giro do engaste () para montagem da equação de compatibilidade : Definição da viga equivalente e numeração da estrutura (Caso eal) : kn / m, Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : kn / m CASO, kn.m. CASO (), kn.m, kn.m
16 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 6 / 7 Cálculo dos giros, por Castigliano :. s. k... dx... dx... s. k... dx... dx ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ) ,. E... podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste () assume o valor., kn.m, ou seja, vale, kn.m. O sinal positivo indica que ela assume o mesmo sentido escolhido na proposição do caso (). Cálculo das eações de Apoio..., kn F. 5, kn F H H kn / m H Diagramas de Esforços nternos Solicitantes, N [kn] 5,,,5 m, [kn] Nota : O exercício foi resolvido de duas maneiras possíveis para demonstrar o método, no caso poderia ser utilizada a resolução a) ou b), que resultaram iguais como podemos comprovar no item de cálculo das reações.,5
17 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 7 / 7 EECÍCO 5 : Na estrutura esquematizada abaixo, calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : kn / m kn, m, m 6, m E, constantes esolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso eal) : kn / m kn, m, m E, constantes 6, m
18 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 8 / 7 Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : kn / m CASO (), m, m kn 76 kn kn H F H H 76 F , m 6 kn,,, [ kn.m ]
19 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 9 / 7. CASO (), m, m / 6 kn 6, m, / 6 kn H F H F ,, [ kn.m ], Cálculo dos giros,, por Castigliano :. s. k s. k s. k. dx... dx E... dx E. s. k.. dx. s. k
20 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ) , podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 6, kn.m. O sinal positivo indica que o momento assume o mesmo sentido ao escolhido na proposição dos casos. Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes ( 6 ) 6, 6,., kn ( ) H, 6,., kn ( 6 ) 76, 6,. 8, kn 8,, 8, N [ kn ], 8,,,,56 m [ kn ],
21 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 8, 8, 5,6,56 m [ kn.m ] 6, EECÍCO 6 : Na estrutura esquematizada abaixo, calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : 6 kn / m 8 kn, m, m E, constantes, m esolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso eal) :
22 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 6 kn / m 8 kn, m, m, m E, constantes Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : 6 kn / m CASO () 8 kn 5 kn 8 kn, m, m 8 H F H H 5 F 9 kn, m
23 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 7, 7, 7, [ kn.m ]. CASO (), / kn, m / kn, m, m H F H F.,,,, [ kn.m ]
24 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 Cálculo dos giros,, por Castigliano :. s. k s. k s. k. dx... dx E... dx E.. s. k.. dx. s. k ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ).. 6 7, podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 7, kn.m. O sinal negativo indica que o momento assume o sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos. Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes ( ) 9, 7,. 8, 5 kn ( ) H 8, 7,. 8, kn ( ) 5, 7,. 6,75 kn
25 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 5 / 7 8,5 6,75 6,75 8,5 N [ kn ] 8,5 8, 6,75,69 m 8, [ kn ] 5, 5, 5,6,69 m 7, [ kn.m ]
26 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 6 / 7 EECÍCO 7 : Na estrutura esquematizada abaixo, calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : kn / m,5 m,5 m 7 kn kn, m, m, m E, constantes esolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso eal) : kn / m,5 m 7 kn kn,5 m, m, m δ, m
27 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 7 / 7 Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica, Caso () e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : kn / m CASO (),5 m,5 m 7 kn δ, kn kn, m, m 7 F H H F. 7.,5... 5,6 5,6. 6,8 H 6,8 kn, m 5,6 kn,5,,,5 6,, [ kn.m ]
28 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 8 / 7. CASO () 5, m, kn δ, m, kn H F H H. F 5, 5, 5, 5, [ kn.m ]
29 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 9 / 7. CASO () 5, m δ / kn, m / kn, kn.m H F H F.,, [ kn.m ], Cálculo dos giros,,, e das flechas δ, δ, δ, por Castigliano : δ δ δ δ.. dx... dx s. i.. 6,5.,5.. 6 s. i s. k s. i 6 s. k (. k k ).( k k ).(. k k ) (.5,5).(,5 ).(.5 ) s. k s. k. dx... dx. s. k 9,
30 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 δ δ δ ,..5.5 E.. s. k s. k. dx... dx ,5. E.. s. i s. k s. k s. k. dx... dx.. 6 (. k k ) ,5..(.,5) E. 6.. dx.... 6,. 5.. E. s. k. dx. s. k ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ). ( ) δ δ. δ.. δ. 9, 8,,5..,5,5 6,.. 9, 8,.,5.,5,5. 6,.,88 9,7 podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 9,7 kn.m ; e a reação horizontal no apoio () assume o valor., kn, ou seja, vale,9 kn. O sinais negativos indicam que o momento e a reação horizontal assumem o sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos. Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes ( ) 6,8,88. 9,7.,6 kn ( ) H,,88. 9,7. 7,9 kn ( ) 5,6,88. 9,7.,9 kn
31 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7,6,6,6,9,6 N [ kn ],9,6,6,6 7,9,9,6,9,6, m,9 [ kn ] 7,9 5,55, 5,55,,86,9 8,8,57 m [ kn.m ] 9,7
32 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 EECÍCO 8 : Na estrutura esquematizada abaixo, calcular as reações de apoio e os diagramas de esforços internos solicitantes : kn / m, m kn 6, m., m E constante, m, m esolução : Definição da estrutura equivalente e numeração (Caso eal) : kn / m kn kn.m, m kn 6, m. δ, m, m
33 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7 Desmembramento da estrutura em Caso () sostática Básica, Caso () e Caso (), com seus respectivos gráficos de momento fletor : kn CASO () KN / m 6, m KN. δ kn.m kn 5 KN, m, m H F H H 5 F 7 KN, m, 8,,,, [ kn.m ]
34 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ / 7. CASO () 6, m. δ / kn, m, m H F H F., / kn, m,, [ kn.m ],
35 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 5 / 7. CASO () 6, m, kn,5 kn. δ,, m,5 kn, m, m H H F H,5 F..,5,5 6,, 6,, [ kn.m ] Cálculo dos giros,,, e das flechas δ, δ, δ, por Castigliano :... dx.... dx s. k s. i s. k...(. k k ) (. ). E. 6. s. k... dx... dx... ( s. k)....( 6..).. E..
36 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 6 / 7 δ δ δ s. k s. i δ... dx... dx (.6 ). E. 6. δ... dx.... s. k s. i.... dx s 6 ( k k ) ( k k ).(. i. k i. k i. k. i. k ).( k k ) δ.... dx.... ( 6 ).( ). (. ) si.. k s. k s dx.... i. k k k. k. 6 δ ( ) δ ( ). E. 6. s. i 6 ontagem sistema linear com equação de compatibilidade : ( ) ( ). ( ). ( ) δ.. δ. δ. δ ,,76 podemos assim afirmar que o momento reativo no engaste () assume o valor., kn.m, ou seja, vale 55, kn.m, sendo que o sinal negativo indica que o momento assume sentido contrário ao escolhido na proposição dos casos ; e a reação horizontal no apoio () assume o valor., kn, ou seja, vale,7 kn, o sinal positivo indica que a reação horizontal assume o sentido o escolhido na proposição dos casos.
37 ESTÁTCA DAS ESTUTUAS POF. BEÊ 7 / 7 Cálculo das eações de Apoio e Diagrama de Esforços nternos Solicitantes ( ) 7, 55,.,5,76.,5, 8 kn ( ) H, 55,.,76., 6, 8 kn ( ) 5, 55,., 5,76.,5 75,7 kn,8 6,8 6,8 75,7,8, 6,8 6,8,7 5,7 6,8 75,7, m,7,8 N [ kn ] 6,8 [ kn ], 5,,, 6,78,88, m 7, 55, [ kn.m ]
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