Módulo 4 - Princípio dos trabalhos virtuais. Método do esforço unitário. Deslocamentos em vigas com e sem articulações. Exemplos.

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1 ódulo 4 - Princípio dos trabalhos virtuais. étodo do esforço unitário. Deslocamentos em vigas com e sem articulações. Eemplos. O Princípio dos Trabalhos Virtuais (P.T.V.), para os corpos sólidos deformáveis (no nosso caso, estruturas), pode ser escrito: W W * * e i * W e é o trabalho virtual eterno, e * Wi é o trabalho virtual interno. Recordamos que o trabalho W é o resultado do produto de esforço por deslocamento. O trabalho virtual eterno é produzido pelos esforços eternos aplicados à estrutura quando nela consideramos deslocamentos virtuais de suas seções (esforço eterno da estrutura na seção deslocamento virtual atribuído à seção). Esses deslocamentos virtuais, atribuídos às seções da estrutura, devem ser pequenos, respeitar a continuidade da estrutura e as restrições de deslocamentos impostas por seus apoios. O trabalho virtual interno é produto da multiplicação dos esforços internos da estrutura pelas deformações virtuais, onde estas deformações virtuais são aquelas que correspondem aos deslocamentos virtuais das seções. Nosso interesse no Princípio dos Trabalhos Virtuais é determinar um deslocamento de uma dada seção de uma estrutura, quando esta estrutura é submetida a um carregamento (neste curso, carregamento é conjunto de esforços eternos aplicados à estrutura) ao qual chamamos caso real de carregamento, sendo os esforços internos solicitantes na estrutura nesse caso real de carregamento indicados por N,, T. O esforço eterno a ser condiderado no cálculo do trabalho virtual eterno * We é um esforço unitário adimensional, aplicado como único esforço de carregamento da estrutura (caso barra de carregamento), na seção em que se quer o deslocamento e na direção em que se pede determinálo. Os esforços internos de força normal, momento fletor e torção usados no cálculo do trabalho virtual * interno W i, indicados por N,, T, são os esforços internos da estrutura para esse carregamento de esforço unitário isolado (esforços internos solicitantes da estrutura no caso barra de carregamento carregamento de força unitária). * Os deslocamentos virtuais no cáculo do trabalho virtual eterno W e, e as deformações virtuais no * cáculo do trabalho virtual interno W i, para esta estrutura com carregamento de esforço unitário isolado (caso barra de carregamento), são os deslocamentos e deformações da estrutura na situação de carregamento para a qual queremos determinar o deslocamento (caso real de carregamento, esforços internos solicitantes N,, T). * * Da epressão do P.T.V., W e W i, resulta que o deslocamento que se deseja obter para a seção da estrutura, no caso real de carregamento, deslocamento este indicado por u, é dado por: NN TT u d d d E GI t O cálculo das integrais é feito para cada trecho de diagrama em separado, ao longo da estrutura, somando-se os resultados para os trechos. Pode-se utilizar, nesse cálculo da integral em um trecho, o seguinte resultado, atribuído a Vereschagin, que fornece o resultado da integral do produto de duas funções, onde a segunda função é uma função do primeiro grau em ou uma função constante: Integral do produto de duas funções em um trecho (intervalo) área, no trecho, do gráfico (diagrama) da primeira função, multiplicado pelo valor da segunda função na posição do C.G. do gráfico (no trecho) da primeira função.

2 Vamos integrar, utilizando Vereschagin, o produto das funções de momento fletor e para um mesmo trecho da estrutura, sendo a função de momento fletor correspondente à estrutura sujeita ao seu carregamento (caso real de carregamento) e a função no trecho para a estrutura sujeita ao carregamento isolado de esforço unitário adimensional (caso barra de carregamento). Seja, por eemplo, a função de momento fletor uma função de primeiro grau em (reta inclinada), onde o eio é o eio da barra, com seus valores variando de a 0 no início do trecho até um valor igual a b no final do trecho. função de momento fletor, por sua vez, é a função do primeiro grau em que varia de um valor 0 no início do trecho até um valor no final do trecho, como se vê na integral abaio representada: b a 0 0 d Para obtermos o valor da integral, começamos determinando a área do gráfico da primeira função, de momento fletor, que é a área do triângulo de base igual a e altura igual a b. Isso feito, localizamos o C.G. (centro de gravidade) da função de. Correspondendo o gráfico de a um triângulo retângulo, o seu C.G. está a uma distância igual a um terço da base do lado de comprimento b do triângulo, que é a sua altura. Transferimos, então, a posição do C.G. da função de, assim determinada, para o gráfico da função de..b a 0 b 0 d Área. O valor da função de na posição correspondente ao C.G. da função de, que indicaremos por, pode ser determinado a partir da semelhança do triângulo hachurado acima com o triângulo maior, correspondente ao gráfico da função de. ssim, a altura do triângulo hachurado, igual a, está para a base do triângulo hachurado, igual a dois terços de, assim como a altura do triângulo maior (gráfico da função de no trecho) está para a sua base, igual a. Finalmente, temos:. d Área.b

3 De forma análoga, obtemos as integrais para os produtos de funções a seguir: Função de com valor inicial a 0 e valor final b, função de com valor inicial e valor final 0:.b a 0 b d 0.b Função de com valor inicial a 0 e valor final b, função de constante, com valor inicial igual ao valor final :.b a 0 b d.b Função de constante com valor inicial a igual ao valor final b, função de com valor inicial 0 e valor final :.a a b 0 d.a

4 Função de constante com valor inicial a igual ao valor final b, função de com valor inicial e valor final 0:.a a b 0 d.a Função de constante com valor inicial a igual ao valor final b, função de constante, com valor inicial igual ao valor final :.a a b d.a Outros eemplos de integração:.a b 0 d.a

5 a b 0.a 0 d.a a b 0.a.a d Obs. Vimos, acima, casos em que as funções e estão do mesmo lado da barra. Caso as funções tejam em lados opostos da barra, por eemplo, tracionando em cima da barra e tarcionando embaio, estas funções deverão ter sinais opostos. Por eemplo, será positivo e negativo, de onde será negativo. integração de Vereschagin permite, também, determinar epressões para o cálculo das integrais nos trechos, que são uma alternativa na resolução dos eercícios: a b d a. b a (área da parábola) d

6 Eercícios resolvidos - Determinar o deslocamento angular da seção transversal da etremidade livre da barra prismática. constante 4 tf m m m Solução Determinamos as reações de apoio e o diagrama de momento fletor para a estrutura, como vimos no curso de EE - Estática nas Estruturas. 4 tf tf.m H 0 m V 8 tf m m V 4 tf 8 (tf.m) Observamos que a força normal N e a torção T são nulas nesta estrutura, assim como será nas demais estruturas deste módulo 4 e do módulo 5. Embora tenhamos força cortante V na estrutura, que produz deslocamento, o seu efeito sempre pode ser desprezado. Portanto, a epressão do deslocamento se reduz a: u. d Sendo o produto constante na barrra:.d. u d.d

7 Caso barra de carregamento e momento fletor : Vamos definir o esforço unitário adimensional, que deverá, no caso barra de carregamento, ser aplicado sozinho na estrutura: - Queremos o deslocamento da etremidade livre (etremidade sem ligação a apoio ou barra) aplicamos o esforço unitário na etremidade livre. - Queremos o deslocamento angular da seção o esforço unitário a ser aplicado na etremidade livre é um momento unitário.,5 H 0 V 0,5 m m m m V 0,5 m (adimensional),5 Novamente, as reações V, V e, e os momentos fletores, foram obtidos da maneira que vimos no curso de EE. Observamos que, sendo o esforço unitário aplicado à estrutura um momento adimensional, os momentos fletores são adimensionais, e também o momento de reação na seção,. Para que os produtos das reações na barra pelos braços de alavanca, que estão epressos em metros, resultem momentos adimensionais, a unidade das reações deve ser m -. Cálculo de.d :.8 m 8 m 8 m.8 m

8 .,5 m m,5,5 º trecho º trecho º trecho.8.8.,5, kn.m Área Área Área Observamos que, no cálculo das áreas multiplicamos momentos em quilonewtons vezes metro (kn.m) por comprimentos em metros. Então, a unidade destas áreas é kn.m². ultiplicamos as áreas por que, neste eemplo é adimensional. Portanto, a unidade dos resultados das integrais é kn.m². Finalmente, temos o deslocamento angular procurado: u.d, rd (radianos), com sentido anti-horário. Notar que, na epressão acima, ao substituirmos o valor do módulo E para efetuar o cálculo, este deve ser epresso em kn/m² e o momento de inércia I em m 4, uma vez que utilizamos KN e metro como unidades na determinação do valor da integral. Observamos ainda que, como o resultado final obtido tem sinal positivo, o sentido do deslocamento é o mesmo que foi adotado para o esforço unitário adimensional: anti-horário.

9 - Determinar o deslocamento vertical da seção da etremidade livre da barra prismática. constante tf.m 9 tf.m tf/m m m Solução Determinamos reações de apoio e diagrama de momento fletor conforme vimos no curso de EE. tf.m 9 tf.m tf/m V tf m H 0 V tf m 4 (tf.m) 5 Deslocamento u Sendo o produto constante na barrra, a epressão do deslocamento será:.d. u d.d Caso barra de carregamento e momento fletor : Vamos definir o esforço unitário adimensional, que deverá, no caso barra de carregamento, ser aplicado sozinho na estrutura: - Queremos o deslocamento da etremidade livre (etremidade sem ligação a apoio ou barra) aplicamos o esforço unitário na etremidade livre. - Queremos a translação vertical da seção o esforço unitário a ser aplicado na etremidade é uma força unitária vertical.

10 H 0 V 0,6667 m V,667 m (m) Novamente, as reações V, V e H, e os momentos fletores, foram obtidos da maneira que vimos no curso de EE. Observamos que, sendo o esforço unitário aplicado à estrutura uma força adimensional, as forças de reação também serão adimensionais, e os momentos fletores terão metro como unidade, pois serão o resultado do produto de forças adimensionais por braços de alavanca em metros (adimensional metro metro). Cálculo de.d : 4 m m m 5 m 4. m m - (-). m m - (-)

11 4 Área m.4 º º (-) (-) tf.m Área m Área q tf/m m Fórmula m 0 q.. d - (fórmula) Importante: Nas epressões acima, é negativo quando os momentos e estão em lados diferentes da barra, por eemplo, embaio (tracionando o lado de baio da barra) e em cima (tracionando o lado de cima da barra). O deslocamento pedido é, portanto:.d -8 u m O fato do deslocamento ter resultado negativo quer dizer que o sentido do deslocamento é contrário ao sentido adotado para o esforço unitário no caso barra de carregamento. Portanto, o delocamento é: 8 u m ( ), para cima, sendo que o módulo de elasticidade E deve ser epresso em 4 tonelada-força por metro quadrado (tf/m ) e o momento de inércia I em metros à quarta (m ).

12 Eercícios propostos - Determinar o deslocamento vertical do apoio da barra prismática. constante 0 kn.m 4m Resposta: 60 u mpara baio, com E em kn/m², I em m Determinar o deslocamento vertical da etremidade livre da estrutura. constante 0 kn/m 4m Resposta: 0 u mpara baio, com E em kn/m², I em m Determinar o deslocamento angular da seção transversal do apoio. constante 0 kn m m Resposta: 0 u rd no sentido anti-horário, E em kn/m², I em m 4

13 6 - Determinar a defleão angular da seção transversal do apoio móvel da barra prismática. constante 4 tf 4 tf.m m m Resposta: 6 u rd no sentido anti-horário, E em tf/m², I em m Determinar o deslocamento vertical da articulação da estrutura. constante 0 kn.m m m Resposta: 90 u m para baio, E em kn/m², I em m Determinar o deslocamento vertical da seção da etremidade livre da barra prismática. constante tf/m 4 tf.m m m Resposta:,5 u m para baio, E em tf/m², I em m 4