MÉTODO DAS FORÇAS EXAME 12 / MAIO / 2014

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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL LCENCATURA EM ENGENHARA CVL TEORA DE ESTRUTURAS MÉTODO DAS FORÇAS EXAME 12 / MAO / mm ESTRUTURA CONTÍNUA HPERESTÁTCA SABEL ALVM TELES

2 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES EXERCÍCO EXAME 12/MAO/2014 Considere a estrutura representada na Figura 1, submetida às acções aí representadas e que incluem as variações de temperatura da barra AB e o deslocamento de 1 mm do apoio B. Dados: Características do material constituinte das barras: E 20 GPa; α 1,2x -5 / C Secção transversal das barras: (bx) (0,30 x 0,50) m 2 1mm Figura 1 a) Das configurações A, B, C e D abaixo representadas, indique justificando convenientemente, quais poderão constituir sistema base para a estrutura da Figura 1; CONFGURAÇÃO A CONFGURAÇÃO B CONFGURAÇÃO C CONFGURAÇÃO D b) Determine as reacções nos apoios da estrutura da Figura 1 e desene os diagramas de esforço axial (N), esforço transverso (V) e momento flector (M) na barra CD; c) Determine o deslocamento orizontal do ponto C. versão 0 1/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática

3 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES Alínea a) RESOLUÇÃO A estrutura da Figura 1 tem 4 ligações ao exterior: 3 reações no encastramento D e 1 reação vertical no apoio simples em B. Podem ser escritas 3 equações de equilíbrio (equações fundamentais de estática). Temos então 4 incógnitas e 3 equações, pelo que a estrutura é iperestática de grau 1. As estruturas das configurações A, B e C podem constituir sistema-base da estrutura da Figura 1, pois são estruturas isostáticas. Configuração A: 4 incógnitas (3 reações do encastramento e uma reação no apoio simples) 4 equações (3 equações de equilíbrio para toda a estrutura e uma equação de momentos na rótula de um dos corpos) Configurações B e C: 3 incógnitas (correspondentes às reações dos apoios) 3 equações (equações fundamentais da estática) A estrutura da configuração D é uma estrutura ipoestática, logo não pode constituir sistema-base. Alínea b) Vamos adoptar para sistema base (S 0) a configuração C. A estrutura da Figura 1 (S) vai ser decomposta no sistema S 0 e no sistema S 1. S S0 + X1 x S1 X 1 incógnita iperestática, correspondente à reação vertical no apoio B. S 1mm S S X x 1 kn versão 0 2/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática

4 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES Cálculo da estrutura S0 VD MD HD Fx Fy MD HD kn VD 30 kn 150 knm 150 knm 30 Sistema base S 0 - Diagrama de esforços axiais (kn) Sistema base S 0 - Diagrama de momentos flectores (knm) versão 0 3/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática

5 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES Cálculo da estrutura S1 VD MD HD Fx Fy MD HD VD 1 kn 5 knm 1 kn 1kN 5kNm -1 Sistema S 1 - Diagrama de esforços axiais (kn) 5 5 Sistema S 1 - Diagrama de momentos flectores (knm) versão 0 4/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática

6 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES Determinação da incógnita iperestática MÉTODO DAS FORÇAS (desprezando a deformabilidade por esforço transverso) S N T T 1.N0 M 1.M0 inf sup N.N M.M ΣF dz dz N..T dz M. dz 1 1 dz 1 1 ext 1 R + dz.x EA + E 1 α méd + 1 α + + EA E 1 De outra forma: δ + δ11. X 1 sendo: δ N1.N0 M1.M T 0 inf Tsup S1 dz + dz N1.. Tméddz M1. dz F EA + Σ E α + α ext R.N M.M δ N 1 1 dz dz EA E 3 6 0,30 0,50 4 E kpa m EA 20 0,30 0,50 3 kpa m T méd o C Tinf Tsup 20 ( ) 0,50 60 N1.N0 dz EA 1 ( 1) 30 2, M1 M0 dz E ,5 2-2 ( ( 2) ) + ( ) 6,45 N1. α. Tméddz Tinf Tsup M1. α dz δ N1.N0 M1.M Tinf T 0 sup S1 dz + dz N1.. Tméddz M1. dz F EA + α + α Σ E ext R , ,001 6,5525 versão 0 5/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática

7 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES N1.N1 M1.M1-3 δ11 dz dz 1 2,5 1 ( ,5) 1,6675 EA + E δ + δ11. X , ,6675. X1 X1 39,295 VB 39,295 kn VB 39,295 knm S0 S1 H + D (HD) X1.(HD) S0 S1 VD (VD) + X1.(VD) S0 S (MD) + X1.(MD) 1 VB 39,295 knm H D ,295 VD , ,295 VB 39,295 kn HD kn VD 9,295 kn 46,475 knm 9,295 kn 46,475 knm 39,295 kn N 9,295 kn D V kn M 46,475 knm 46,475 knm N 9,295 kn C V kn M 21,475 knm -9,295 kn 21,475 knm N V M versão 0 6/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática

8 TEORA DE ESTRUTURAS DEPARTAMENTO DE ENGENHARA CVL SABEL ALVM TELES Alínea c) S SSTEMA REAL S SSTEMA VRTUAL 9,295 kn 46,475 knm 2,5 knm 1kN 1 kn δ C 39,295 kn S Esforço axial (kn) S Esforço axial (kn) 46,475-2,5 9, ,525 21,475 S Momento fletor (knm) S Momento fletor (knm) TEOREMA DOS TRABALHOS VRTUAS (desprezando a contribuição do esforço transverso): 1xδ C + Σ ( R assent. apoio ) N N dz + M M dz + N. α. Tm.dz + EA E Tinf Tsup M. α dz Σ ( R assent. apoio ) N N dz.. T.dz 0 EA N α m Tinf Tsup M. α dz δ C M M dz E ( 2,5) 2,5 (21, ,475) -3 1,907 m 1,907 mm versão 0 7/7 Mét. Forças Est. contínua iperestática