FICHAS DE EXERCÍCIOS
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- Giovanni da Cunha Carlos
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1 I EPRTMENTO E ENGENHRI IVIL LIENITUR EM ENGENHRI IVIL TEORI E ESTRUTURS FIHS E EXERÍIOS FIH 1 - REVISÕES TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS FIH 2 - ESTRUTURS RTIULS ISOSTÁTIS FIH 3 - ESTRUTURS ONTÍNUS ISOSTÁTIS FIH 4 - ESTRUTURS MISTS ISOSTÁTIS FIH 5 - ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS FIH 6 - ESTRUTURS ONTÍNUS HIPERESTÁTIS FIH 7 - ESTRUTURS MISTS HIPERSTÁTIS MÉTOO OS ESLOMENTOS FIH 8 - ESTRUTURS RTIULS PLNS FIH 9 - ESTRUTURS ONTÍNUS ISEL LVIM TELES
2 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS REVISÕES 1 1- alcule as reacções e os esforços nas barras da estrutura representada na figura. E F 30 kn 10 kn 40 kn 20 kn EPRTMENTO E ENGENHRI IVIL 2- alcule as reacções e os esforços nas barras da estrutura representada na figura. 25 kn m kn 15 kn 2.5 m 30 kn 10 kn 1.5 m 1.5 m 3- alcule as reacções da estrutura representada na figura. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) caracterizando todos os pontos notáveis. 25 kn/m 100 kn m 2 Ficha 1 1 / 2 Isabel lvim Teles
3 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS REVISÕES 1 4- alcule as reacções da estrutura representada na figura. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) caracterizando todos os pontos notáveis. 10 kn/m m 1.5 m 2.5 m 2.0 m 1 5- alcule as reacções da estrutura representada na figura. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) caracterizando todos os pontos notáveis. 15 kn/m 20 kn 3.5 m 2.5 m 6- alcule as reacções da estrutura representada na figura. etermine os esforços nas barras bi-articuladas. Trace os diagramas de esforços (esforço axial, esforço transverso e momento flector) da barra EFG caracterizando todos os pontos notáveis. 12 kn/m 60 kn 50 E F G 20 knm kn 2.0 m 2.0 m 2.0 m Ficha 1 2 / 2 Isabel lvim Teles
4 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 2 ESTRUTURS RTIULS ISOSTÁTIS 1- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras têm secção quadrada com 2cm de lado e o seu material constituinte é aço com E = 200 GPa e α = 10-5 /. a) etermine o deslocamento do nó ; b) etermine o deslocamento do nó ; c) etermine a rotação da barra ; 40 kn F 20 kn d) etermine a rotação da barra E relativamente à barra E (variação do ângulo E); e) etermine a variação da distância entre o nó e o nó F; f) etermine a variação da distância entre o nó e o nó ; g) etermine a variação da distância entre o nó e a barra E. 60 kn 30 kn E 100 kn 2- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras são em aço com E = 200 GPa e α = 1,2x10-5 /. s barras, e E são constituídas por um perfil T90. s restantes barras são constituídas por duas cantoneiras L90x7 soldadas. Para além do assentamento vertical de 3 mm do apoio da direita e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida aos seguintes incrementos de temperatura: arras, e E: ΔT = +30 Restantes barras: ΔT = +10 Perfil T90 área = 17,1 cm 2 antoneiras L90x7 área = 2 x 12,2 cm 2 25 kn a) etermine o deslocamento do nó ; b) etermine o deslocamento do nó ; c) etermine a rotação da barra ; d) etermine a rotação relativa das barras e (variação do ângulo ); e) etermine a variação da distância entre o nó e o nó ; 10 kn 20 kn 25 kn E 3 mm f) etermine a variação da distância entre o nó e a barra. Ficha 2 1 / 2 Isabel lvim Teles
5 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 2 ESTRUTURS RTIULS ISOSTÁTIS 3- Uma estrutura articulada plana foi fixada à parede e tecto de uma câmara frigorífica. evido a um erro, a fixação do nó sofreu um desvio de 5 mm em relação ao pretendido (ver figura). entro da câmara frigorífica as barras ficam submetidas a uma variação de temperatura de mm 2.25 m 1.25 m 1.00 m 2.00 m E ço constituinte das barras: E = 210 GPa α = 1,5x10-5 / arra E Perfil circular: Ø = 80mm Restantes barras Perfil tubular: Ø = 80 mm esp = 8 mm a) etermine o deslocamento do nó ; b) etermine o deslocamento do nó ; c) etermine a força vertical a aplicar em para que a barra E fique horizontal. Ficha 2 2 / 2 Isabel lvim Teles
6 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS ESTRUTURS ONTÍNUS ISOSTÁTIS 3 1- onsidere a viga representada na figura. 20 kn 10 kn 35 kn 2.5 m 1.5 m Material etão: E = 20 GPa; ν = 0,2; α = 1,5x10-5 / Secção tranversal: 0,30 m x 0,30m a) etermine o deslocamento do ponto ; b) etermine a rotação no ponto ; c) etermine o deslocamento vertical do ponto (despreze a contribuição do esforço transverso); d) etermine a rotação no ponto (despreze a contribuição do esforço transverso); e) onsidere que para além das cargas representadas na figura, a viga foi submetida a uma variação uniforme de temperatura de 20. etermine o deslocamento horizontal do ponto ; f) onsidere que para além das cargas representadas na figura, a viga foi submetida a uma variação de temperatura de 30 na face superior e de 10 na face inferior. etermine o deslocamento vertical do ponto. 2- onsidere a viga representada na figura. /m Material etão: E = 30 GPa; α = 1,2x10-5 / 1.5 m 5.0 m Secção tranversal (b x h) 0,30 m x 0,40m Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine o deslocamento do ponto ; b) etermine a rotação no ponto ; c) etermine a rotação no ponto ; d) etermine a flecha a meio vão; e) onsidere que para além das cargas representadas na figura, a viga foi submetida a uma variação de temperatura de -10 na face superior e de +40 na face inferior. etermine o deslocamento vertical do ponto e a sua rotação; f) onsiderando as acções da alínea anterior, determine a flecha a meio vão. Ficha 3 1 / 2 Isabel lvim Teles
7 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS ESTRUTURS ONTÍNUS ISOSTÁTIS 3 3- onsidere a estrutura representada na figura constituída por um material com as seguintes características: E = 25 GPa; ν = 0,2; α = 1,4x10-5 / 25 kn 10 knm 40 kn T = a) etermine o deslocamento e rotação do ponto ; 2.0 m T = +20 T = +20 b) etermine o deslocamento e rotação do ponto ; c) etermine o deslocamento e rotação do ponto a meia altura do pilar ; onsidere a estrutura de betão (E=30 GPa; α=1,2x10-5 / ) constituída por dois pilares e uma viga com secções rectangulares conforme representado na figura. Para além do carregamento, a estrutura está submetida à seguinte variação de temperatura: -10 no exterior e +25 no interior. O apoio sofreu um assentamento de 5 mm. T = -10 /m 10 kn 2.0 m T = kn 1.5 m 1.5 m 5mm 5.0 m Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine o deslocamento do apoio ; b) etermine a rotação no ponto ; c) etermine que força horizontal deverá ser aplicada em para que o ponto não sofra qualquer deslocamento horizontal. Ficha 3 2 / 2 Isabel lvim Teles
8 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS ESTRUTURS MISTS ISOSTÁTIS 4 1- onsidere a estrutura representada na figura. 20 kn/m E arras e E 60 kn 15 kn F G 2.0 m Secção: 0,25m x 0,30m etão: E = 30 GPa Restantes barras 3mm 80 kn 2.0 m 2.0 m Perfil tubular: Ø = 60 mm esp = 5 mm ço: E = 200 GPa Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine a rotação relativa das secções à direita e à esquerda da rótula ; b) etermine o deslocamento relativo dos pontos e E. 2- onsidere a estrutura representada na figura. 10 kn/m 30 kn arra 0.40 Secção: ver desenho etão: E = 29 GPa 2.0 m Restantes barras E F Perfil tubular: 100 mm x 100 mm esp = 5 mm 8 kn ço: E = 206 GPa 1.5 m 1.5 m Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine o deslocamento do ponto ; b) etermine a rotação do ponto ; c) etermine a variação do ângulo formado pelas barras F e F. Ficha 4 1 / 1 Isabel lvim Teles
9 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 5 ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS 1- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras são constituídas por perfis cuja secção transversal apresenta uma área de 10 cm 2. Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a uma variação uniforme de temperatura de +15. Material constituinte das barras: ço E = 200 GPa α = 1,5 x 10-5 / a) etermine as reacções nos apoios; 200 kn b) etermine os esforços instalados em todas as barras; c) etermine o deslocamento do nó ; d) etermine a rotação da barra ; e) etermine a variação do ângulo. 1,5 mm 120 kn 2 mm 2- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras têm secção quadrada com 4cm de lado e o seu material constituinte é aço com E = 200 GPa e α = 1,5x10-5 /. Para além do assentamento vertical de 1,5mm do apoio e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a uma variação uniforme de temperatura de -10. a) etermine as reacções nos apoios; b) etermine os esforços instalados em todas as barras; c) etermine o deslocamento do nó E; d) etermine o deslocamento do apoio ; e) etermine a rotação da barra. 200 kn 1,5 mm 100 kn E 1 Ficha 5 1 / 6 Isabel lvim Teles
10 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 5 ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS 3- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Para além dos assentamentos dos apoios e das forças aplicadas nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a variações de temperatura conforme indicado na tabela anexa. Material constituinte das barras: ço E = 210 GPa α = 1,2 x 10-5 / a) etermine as reacções nos apoios; b) etermine os esforços instalados em todas as barras; c) etermine o deslocamento do nó ; d) etermine a força horizontal a aplicar em para que este nó não sofra deslocamento horizontal; e) etermine a força perpendicular à barra a aplicar em para que este nó não sofra deslocamento vertical; f) etermine a rotação da barra ; g) etermine a variação do ângulo. 100 kn 2 mm 3 mm 1 1,5 mm 3.5 m RRS ÁRE VRIÇÃO E TEMPERTUR 10 cm cm cm 2 - Ficha 5 2 / 6 Isabel lvim Teles
11 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 5 ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS 4- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras são constituídas por perfis cuja secção transversal apresenta uma área de 8 cm 2. Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a uma variação uniforme de temperatura de +15. Material constituinte das barras: ço E = 200 GPa α = 1,2 x 10-5 / a) etermine os esforços instalados em todas as barras; a) etermine os esforços instalados em todas as barras o deslocamento do nó ; b) etermine o deslocamento do nó ; c) etermine a posição do apoio após deformação; d) etermine a rotação da barra ; e) etermine a variação do ângulo E; f) etermine a força horizontal a aplicar em para que o nó não sofra deslocamento vertical. 200 kn 1,5 mm kn 2 mm E 40 kn Ficha 5 3 / 6 Isabel lvim Teles
12 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 5 ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS 5- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Para além dos assentamentos dos apoios e das forças aplicadas nos nós indicadas, a estrutura está ainda submetida a variações de temperatura conforme indicado na tabela anexa. Material constituinte das barras: ço E = 210 GPa α = 1,5 x 10-5 / º a) etermine os esforços instalados em todas as barras; b) etermine a força vertical a aplicar em para que a barra fique descarregada; c) etermine o deslocamento do nó ; d) etermine a força horizontal (F h) e a força vertical (F v) a aplicar simultaneamente em para anular o deslocamento do nó ; e) etermine o deslocamento do nó ; f) etermine a rotação da barra ; g) etermine a variação do ângulo. 200 kn 1 mm 100 kn 3 mm 60 kn 1,5 mm 3.5 m RRS ÁRE VRIÇÃO E TEMPERTUR 10 cm cm cm 2 - Ficha 5 4 / 6 Isabel lvim Teles
13 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 5 ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS 6- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras apresentam uma relação L/(E) de 2x10-5 m/kn e são constituídas por um material que tem um coeficiente de dilatação térmica α = 1x10-5 /. Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, as barras, e da estrutura estão submetidas a uma variação uniforme de temperatura de -10. a) etermine as reacções nos apoios e os esforços instalados em todas as barras; b) etermine o deslocamento vertical do nó E; c) etermine a posição do apoio após deformação; d) etermine a rotação da barra ; e) etermine a rotação da barra F. 60 kn E F 30 kn T = -10 T = -10 T = mm 1 mm Ficha 5 5 / 6 Isabel lvim Teles
14 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 5 ESTRUTURS RTIULS HIPERESTÁTIS 7- onsidere a estrutura articulada plana representada na figura. Todas as barras são constituídas por perfis cuja secção transversal apresenta uma área de 10 cm 2. Para além dos deslocamentos dos apoios e das forças nos nós indicadas, algumas barras estão submetidas a variações uniformes de temperatura: barras e F: T = -5 barras e E: T = +10 aracterísticas do material constituinte das barras: E = 200 GPa α = 1,5 x 10-5 / a) etermine as reacções nos apoios e os esforços instalados em todas as barras; b) etermine o deslocamento do nó E; c) etermine a rotação da barra E; d) etermine qual deveria ser o assentamento vertical do apoio para que a barra se mantivesse horizontal após deformação; 1 1 mm T = -5 1,5 mm T = +10 T = +10 E 60 kn T = kn F 100 kn Ficha 5 6 / 6 Isabel lvim Teles
15 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS 6 ESTRUTURS ONTÍNUS HIPERESTÁTIS 1- onsidere a viga representada na figura. T = - 2 0,5 mm 1 mm 1 90 kn T = 10 2x10 rad 1,5 mm Material etão: E = 20 GPa; α = 1,2 x 10-5 / Secção tranversal (b x h) 0,25 m x 0,36 m 1.5 m Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine as reacções nos apoios e trace os diagramas de esforços da viga; b) etermine o deslocamento vertical da secção ; c) etermine a rotação da viga no apoio. 2- onsidere a estrutura de betão (E=29 GPa; α=10-5 / ) constituída por dois pilares e uma viga com secções rectangulares conforme representado na figura. Para além do carregamento, a estrutura está submetida à seguinte variação de temperatura: +20 no exterior e +10 no interior. O apoio sofreu um assentamento de 2 mm e uma rotação de 0,001 rad conforme indicado na figura. T = kn 30 kn kn/m T = +10 0,001 rad E 2 mm Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine as reacções e trace os diagramas de esforços da estrutura; b) etermine o deslocamento horizontal da secção. Ficha 6 1 / 1 Isabel lvim Teles
16 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS TEOREM OS TRLHOS VIRTUIS ESTRUTURS MISTS HIPERESTÁTIS 7 1- onsidere a estrutura representada na figura. s barras e estão submetidas às variações de temperatura indicadas na figura. T = kn T = G 30 kn E F 80 kn 2 mm 2.4 m 2.4 m arras e Secção (bxh) = 0,20m x 0,30m etão: E = 30 GPa; α = 10-5 / Restantes barras Área = 10 cm 2 ço: E = 210 GPa Responda às alíneas seguintes desprezando a contribuição do esforço transverso. a) etermine as reacções e trace os diagramas de esforços da estrutura; b) etermine o deslocamento do ponto. Ficha 7 1 / 1 Isabel lvim Teles
17 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS MÉTOO OS ESLOMENTOS ESTRUTURS RTIULS PLNS 8 1- onsidere a estrutura representada na figura. 1 mm d 1 a 100 kn Material ço: E = 210 GPa Secção tranversal arras a; b; c: área = 10 cm 2 Restantes barras: área = 5 cm 2 2 f 3 c e b 35 kn 4 g 5 60 kn 3 mm Responda às alíneas aplicando o Método dos eslocamentos. a) etermine os deslocamentos dos nós da estrutura; b) etermine as reacções nos apoios; c) etermine os esforços nas barras. Ficha 8 1 / 2 Isabel lvim Teles
18 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS MÉTOO OS ESLOMENTOS ESTRUTURS RTIULS PLNS 8 2- onsidere uma estrutura articulada, constituída por 6 barras e 4 nós. Informação adicional: E = 3x10 5 kn arra 1 : K 1 Local = T 1 = -T 3 arra 2 : 2 2 = = 1 K Local KGlobal KLocal arra 3: α = 90 ; L 3 = 3 m ontribuição de cada uma das barras na matriz de rigidez da estrututa: ESTRUT [ K G ] = (1)+(4)+(5) (1)+(4)+(5) (1) (1) (5) (5) (4) (4) 2 (1)+(4)+(5) (1)+(4)+(5) (1) (1) (5) (5) (4) (4) 3 (1) (1) (1)+(2)+(6) (1)+(2)+(6) (2) (2) (6) (6) 4 (1) (1) (1)+(2)+(6) (1)+(2)+(6) (2) (2) (6) (6) 5 (5) (5) (2) (2) (2)+(5)+(3) (2)+(5)+(3) (3) (3) 6 (5) (5) (2) (2) (2)+(5)+(3) (2)+(5)+(3) (3) (3) 7 (4) (4) (6) (6) (3) (3) (3)+(4)+(6) (3)+(4)+(6) 8 (4) (4) (6) (6) (3) (3) (3)+(4)+(6) (3)+(4)+(6) a) esenhe e cote a estrutura; b) Sabendo que se podem individualizar as partições da matriz de rigidez da forma abaixo indicada, represente os apoios da estrutura; ESTRUT [ K ] = G K LL K LF K FL K FF c) onsidere um assentamento de apoio de 1mm na direcção do grau de liberdade Δ 5 e as seguintes forças concentradas: irecção do grau de liberdade Δ 1: F= irecção do grau de liberdade Δ 4: F= -1 etermine os deslocamentos dos nós da estrutura; d) etermine as reacções no apoio duplo, usando apenas o número necessário de equações. Ficha 8 2 / 2 Isabel lvim Teles
19 Licenciatura em Engenharia ivil TEORI E ESTRUTURS MÉTOO OS ESLOMENTOS ESTRUTURS ONTÍNUS 9 1- onsidere a estrutura representada na figura, realizada em betão com E = 30 GPa e com as secções aí indicadas. 7 kn mm 20 kn Responda às alíneas aplicando o Método dos eslocamentos. a) etermine os deslocamentos dos nós da estrutura; 5 kn/m m 4 10 kn 3 m b) etermine as reacções nos apoios; c) Trace os diagramas de esforços da estrutura m 2 m 4 m 2- onsidere a estrutura representada na figura, realizada em betão com E = 25 GPa e em que todas as barras têm secção 0,30m x 0,40m. 3 m 2 m 0,002 rad 40 kn 20 knm 30 knm Responda às alíneas aplicando o Método dos eslocamentos kn 2 m a) etermine os deslocamentos dos nós da estrutura; b) etermine as reacções nos apoios; kn 1 m c) Trace os diagramas de esforços da estrutura. 3 3 m 10 kn/m 4 6 m Ficha 9 1 / 1 Isabel lvim Teles
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