ANÁLISE DE ESTRUTURAS I Ano lectivo de 2014/2015 2º Semestre

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1 Exercício - Método das Forças NÁLISE DE ESTRUTURS I no lectivo de 20/205 2º Semestre Problema (28 de Janeiro de 999) onsidere a estrutura representada na figura. a) Indique qual o grau de indeterminação estática da estrutura e um sistema-base para a sua análise pelo Método das Forças. b) Obtenha o operador de equilíbrio da solução complementar,, e o vector de esforços independentes da solução particular, X 0. c) alcule as contribuições das barras D e D para matriz de flexibilidade associada ao sistema-base, F *, e para o vector dos deslocamentos nas libertações para a solução particular, v 0. d) Represente graficamente o significado físico da contribuição da barra D para o vector v 0. e) Indique, em função das deformações independentes, o valor do deslocamento horizontal em D. θ L = -0º.00 m D α = 0-5 º - arras D: EI = EI 0, E = 5 EI 0 h = 0.30 m arra D: E = 5 EI m [Nota: θ L = -0º T L = -20º] Figura Problema 2 (5 de Novembro de 2000) onsidere a estrutura representada na figura 2. ssuma que todas as barras apresentam a mesma rigidez à flexão, EI. onsidere ainda que as barras D são axialmente indeformáveis (E = ) e que a barra D tem uma rigidez axial dada por E = 3 EI. ) Indique qual o grau de indeterminação estática da estrutura e um sistema-base para a sua análise pelo Método das Forças. 2) Obtenha o operador de equilíbrio da solução complementar,, e o vector de esforços independentes da solução particular, X 0. 3) alcule a contribuição da barra D para a matriz de flexibilidade do sistema-base, F *. Represente graficamente os termos de uma coluna (não nula) dessa contribuição.

2 3 2.0 m 5 kn/m 2 5 D 2.0 m 2.0 m 2.0 m 2.0 m Figura 2 Problema 3 (3 de Janeiro de 200) s barras da estrutura representada na figura 3 têm rigidez axial E = 5 EI (kn), sendo EI (knm 2 ) a rigidez de flexão da barra. 3,00 m EI constante (knm 2 ) 3,00 m 0 kn Figura 3 E = 5 EI (kn) a) Determine a equação do Método das Forças, para o carregamento indicado. b) Trace a deformada devida a uma das incógnitas hiperestáticas e defina aí os termos correspondentes da equação obtida na alínea anterior. c) Trace os diagramas de esforços, sabendo que os momentos flectores nas secções e são M = 2,83 knm e M = -,87 knm. d) Trace a deformada da estrutura e defina aí o deslocamento horizontal do nó, sem recorrer às relações de dualidade. Problema (3 de Outubro de 2006) onsidere a estrutura representada na figura, em que EI = const. (knm 2 ) e E = 0 EI (kn): a) Defina os graus de hiperestatia exterior, interior e global; b) Defina um sistema-base para a análise pelo método das forças e identifique as forças hiperestáticas, p, e os deslocamentos correspondentes, v ; c) Defina a solução complementar,, e a solução particular, X 0, da condição de equilíbrio, X = p + X ; 0 3 kn/m,5 8 kn Figura,5 m

3 d) Trace a deformada aproximada para uma das forças hiperestáticas e identifique aí os termos T correspondentes da matriz de flexibilidade da estrutura, F F. * = Problema 5 (3 de Outubro de 2006) Sabendo que são os seguintes os esforços e as deformações independentes na estrutura representada na figura, em que os momentos flectores e os esforços axiais estão definidos em knm e kn, e as rotações e as deformações axiais em rad e m, respectivamente, 6, 03 2, ,8/ EI 0 X = 2,352 X = 0 X = 0 u = + 3,32 / EI u = 0,78, ,32, 96/ EI +,56 / EI determine: a) Os diagramas de esforços (M, V, N); b) s deformações independentes na barra ; c) O deslocamento horizontal do nó ; d) rotação da barra. Problema 6 (30 de Janeiro de 2007) onsidere a análise da estrutura definida na figura 5 pelo método das forças ( F* p + v0 = v ): a) Defina os graus de hiperestatia exterior, interior e global da estrutura; b) Defina a estrutura base e identifique as forças hiperestáticas, p, e os deslocamentos correspondentes, v; c) alcule os esforços independentes devidos a uma força hiperestática; d) Determine as deformações independentes devidas a uma variação de temperatura uniforme na barra D e trace a deformada da estrutura base, indicando aí (mas sem os calcular) os termos correspondentes da equação do método das forças ( T U = 0º); e) Determine os diagramas de esforços (M,V,N) na barra, sabendo que as reacções no apoio fixo são H = 0,735kN e V = 8,603kN para o carregamento indicado na figura. arra EI (knm 2 ) E (kn) D EI D - 0EI oef. dilatação térmica: α = 0-5 /º Figura 5 Problema 7 (0 de Novembro de 2007) estrutura representada na figura 6 é uma vez hiperestática. Indica-se na mesma figura a discretização e a incógnita hiperestática utilizadas na resolução pelo método das forças. s expressões para os esforços independentes e para as deformações na estrutura-base são as seguintes:

4 M 0 0 θ 5-25 M -5 θ N2 3/20-7 e2 3-0 = p + ; = p + M 3-20 θ 3 EI0 2 EI0-60 M 0 θ 2-80 N / -5 e -80 a) Trace as deformadas aproximadas da estrutura-base devidas à força hiperestática e ao carregamento e assinale aí as deformações correspondentes; b) Verifique ser a seguinte a expressão da equação do método das forças e identifique cada termo nas deformadas definidas na alínea anterior; p + = 0 20EI0 EI0 c) Trace os diagramas de esforços (M, V, N) na estrutura hiperestática; d) alcule o deslocamento vertical da secção e trace a deformada da estrutura hiperestática; e) Qual o valor do momento flector na secção caso a ligação rígida entre as barras seja substituída por um aparelho elástico de rigidez de flexão igual a EI 0 na secção 3? Note que o momento M encontra-se aplicado no nó. arra EI (knm 2 ) E (kn) M P p EI0 6 EI0 2 EI0 6 EI0 P = 5 kn; M = 5 knm 3 m Figura 6 Problema 8 (22 de Janeiro de 2008) Utilizando o Método das Forças, determine para a estrutura e para o carregamento definidos na Figura 7: a) Os diagramas de esforços (M, V, N); b) rotação do nó ; c) O traçado aproximado da deformada da estrutura. arra D EI (knm 2 ) EI - E (kn) 0 EI 0 kn/m 3 Figura 7 D

5 Problema 9 (9 de Fevereiro de 2008) Para a solução da estrutura representada na Figura 8 pelo método das forças: a) Determine o grau de indeterminação estática e defina um sistema base, indicando as incógnitas escolhidas; b) alcule o vector dos esforços independentes devidos à acção do carregamento no sistema base; c) alcule os esforços independentes devidos à acção de uma das incógnitas hiperestáticas; d) alcule as deformações independentes na barra devidas à acção do carregamento no sistema base; e) Trace a deformada aproximada devida à acção do carregamento no sistema base e identifique aí os termos relevantes da equação do método das forças. 0 kn/m EI = const. (knm 2 ) E = 0 EI (kn),5,5 Figura 8 2m Problema 0 (2 de bril de 200) onsidere a estrutura representada na Figura 9. a) Mostre que a estrutura representada na Figura 0 não pode ser considerada para estrutura-base; b) Indique uma estrutura-base, com as respectivas incógnitas hiperestáticas, e trace os correspondentes diagramas de esforços (M,N) devidos ao carregamento. Problema (8 de bril de 20) onsidere o pórtico plano representado na figura. 0kN m p p 2 Figura 9 Figura 0 p 2 2 m 0 kn EI constante E = 2 m 2 m Figura a) Para o carregamento indicado na figura: a) Determine a equação resolvente do Método das Forças; a2) Trace a deformada da estrutura-base devida a uma das forças hiperestáticas e identifique aí os coeficientes relevantes da equação determinada na alínea anterior;

6 b) Determine a equação resolvente do Método das Forças quando o carregamento indicado na figura é substituído por um deslocamento horizontal δ, da esquerda para a direita, imposto em. Problema 2 (8 de Junho de 20) onsidere a análise pelo método das forças da estrutura representada na Figura 2: a) Determine os graus de hiperestatia e defina o sistema-base; b) Determine os diagramas de esforços (M, N) que equilibram as forças hiperestáticas; c) Determine os deslocamentos nas libertações do sistema-base devidos ao carregamento indicado. m 30kN 20kNm EI = const. arra D : E D arra D : E = 2 EI 3 3 Figura 2 Problema 3 (29 de Junho de 20) onsidere a análise pelo método das forças da estrutura representada na Figura 3: a) Determine a equação resolvente; b) Represente o significado físico de uma das colunas da matriz de flexibilidade do sistema-base, indicando os valores das deformações independentes associadas; c) Defina o deslocamento vertical do nó em função das deformações independentes das barras; d) Trace a deformada aproximada da estrutura. Figura 33 5 kn/m EI = const. arra : E arra : E = 3 2 EI m Problema (3 de bril de 202) onsidere o pórtico representado na figura. Indique uma estrutura-base, com as respectivas incógnitas hiperestáticas, e trace os correspondentes diagramas (M, N) devidos à carga. kn 3 m 2 m 2 m m m m Figura