DINÂMICA DE ESTRUTURAS (SISTEMAS DE 1 GDL + MÉTODO DE RAYLEIGH)

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1 DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL TEORIA DE ESTRUTURAS II 009/010 8º Semestre DINÂMICA DE ESTRUTURAS (SISTEMAS DE 1 GDL + MÉTODO DE RAYLEIGH) Problema 1 Uma mesa pesada é suportada por quatro pernas de aço, sendo o seu período fundamental quando vibra lateralmente de 0.50 seg. Depois de uma chapa de 50 kgf de peso ser aparafusada ao tampo da mesa o período fundamental aumentou para 0.75 seg. Qual o peso da mesa e qual a sua rigidez lateral? Problema Um electroíman que pesa 400 kgf e está suspenso por uma mola com uma rigidez de 5000 N/m levanta um peso de 00 kgf. Determine a equação do movimento quando a corrente é cortada e o peso é largado. 1

2 Problema Considere o pórtico representado na figura. Suponha que se aplicou uma força de 907 N ao nível da viga infinitamente rígida e que se mediu um deslocamento horizontal na viga de cm. Sabendo que, quando a força é retirada de forma instantânea o pórtico fica com um período natural de 1.40 seg e que na primeira leitura dos deslocamentos horizontais da viga se leu cm, calcule: 1. o peso ao nível da viga;. a frequência natural do pórtico;. o coeficiente de amortecimento; 4. o amortecimento, c, do pórtico; 5. a frequência amortecida do pórtico. Problema 4 Admita o pórtico representado na figura submetido a uma força de 15 kn ao nível das vigas que são infinitamente rígidas. A dada altura, a rótula em F colapsa. Supondo que o coeficiente de amortecimento é de 5%, que a massa é 56.5 ton/m e que EI = 750 knm, escreva a equação do movimento do pórtico.

3 Problema 5 Admita o pórtico representado na figura cujas barras são axialmente indeformáveis. Admita que I = mm 4, E = MPa e m = 10 ton. Estabeleça as equações do movimento quando o pórtico está submetido a: 1. movimento livre não amortecido;. movimento livre amortecido;. movimento forçado (excitação harmónica) não amortecido; 4. movimento forçado amortecido admitindo: (i) excitação harmónica e (ii) excitação de base u b u0 sin w t. Problema 6 Considere a estrutura abaixo indicada, actuada no grau de liberdade q por uma força excitadora harmónica F. 1. Determine a força máxima na mola devido ao regime forçado.. Determine a nova força máxima na mola quando agora se admite que ζ = 5%. F(t) = 5 sin(0t) [kn] kmola = 50 kn/m EI = 500 knm Problema 7 A figura abaixo representa o modelo estrutural de um degrau em consola encastrado parcialmente numa parede flexível (simulado pela mola kθ). 1. Calcule a frequência própria do modelo, adoptando o grau de liberdade indicado.

4 . Calcule o deslocamento máximo da massa e o momento flector máximo no degrau devido a uma força do tipo F(t) = 5 cos(70t + 1.) [kn].. Calcule a deformação máxima na mola. ζ = 0.05 kθ = 7000 knm/rad M = 0.50 ton EI = 5000 knm Problema 8 Considere o pórtico representado na figura, para o qual se admite, simplificadamente, que toda a massa está concentrada ao nível da viga. 1. Calcule a frequência própria de vibração da estrutura.. Calcule o momento flector máximo nos pilares quando a estrutura é actuada pela força F. ζ = 0.05 F(t) = 0 sin(8t) [kn] m =.0 ton/m EIp = 5000 knm EIv = Problema 9 Considere a seguinte estrutura, com o grau de liberdade indicado, que é actuada pela força F. Admita que os tirantes apenas resistem a esforços de tracção. Dados: ζ = 0.05; F(t) = 15 sin(4t) [kn]; M = 0.0 ton; EA = knm. 4

5 1. Calcule a frequência própria de vibração da estrutura.. Calcule a amplitude máxima de vibração.. Calcule a força máxima nos tirantes. Problema 10 Um automóvel desloca se ao longo de um viaduto de grande extensão constituído por tramos de vão constante de 40 m. Por efeito de fluência do betão a longo prazo a flecha a meio tramo de cada tramo é de 10.0 cm. A rasante do viaduto pode assim ser aproximada por uma curva sinusoidal com amplitude de 5.0 cm e período de 40 m. O oscilador com um grau de liberdade representado consiste numa idealização aproximada do automóvel, sendo a sua massa de.0 ton, a rigidez da suspensão de 100 kn/m e o coeficiente de amortecimento de 40% do crítico. 1. Calcule a amplitude máxima do deslocamento vertical do veículo quando este se desloca a 100 km/h.. Calcule a velocidade do veículo para a qual ocorre ressonância. Problema 11 Considere uma estrutura em consola à qual foi aplicada, de forma quase estática, uma força de 50 kgf. A força foi retirada instantaneamente tendo dado origem ao movimento representado no gráfico. 1. Determine a frequência própria da estrutura.. Calcule o amortecimento.. Colocando agora um vibrador mecânico na ponta da consola a vibrar em ressonância com a estrutura, originando uma força sinusoidal de amplitude 1000 kgf, calcule o deslocamento, velocidade e aceleração máximas no topo. 5

6 Problema 1 Considere o sistema indicado na figura. 1. Determine o deslocamento relativo máximo entre a massa e o solo em que se verifica uma aceleração do solo 0.50 sin t [m/s ]. u g. Qual o deslocamento absoluto da massa? Este valor é igual à soma dos deslocamentos máximos relativo e do solo? k = kn/m M = 1.0 ton c =.51 knm 1 s Problema 1 Determine a resposta de um painel fotovoltaico não amortecido cujas características do fuste são E = 00 GPa, I = mm 4 e h =.0 m e massa do painel m = 10 ton face aos impulsos representados abaixo. Qual das situações oferece menor momento flector ao painel? 6

7 Problema 14 O reservatório de água representado na figura abaixo tem um peso de 000 N quando está cheio de água. A torre tem uma rigidez lateral de 5000 kn/m. Considerando que o comportamento dinâmico da estrutura pode ser estudado com base num modelo de 1 GDL, estime o deslocamento lateral do reservatório para cada uma das acções indicadas (recorra ao espectro de resposta de deslocamentos para acções deste tipo). Despreze o amortecimento. Problema 15 Um edifício de um só piso é idealizado como um pórtico de dois pilares metálicos rotulados na base e ligados rigidamente a uma viga indeformável. Cada um dos pilares é constituído por um perfil HEA60 (Ix = m 4 ). 7

8 Problema 16 Considere o pórtico representado na figura, para a qual se admite que a totalidade da massa está concentrada ao nível da viga e cujos pilares têm uma rigidez de flexão EI = 5000 knm. 1. Determine o deslocamento transversal devido à força p(t) representada graficamente, para os intervalos de tempo t < 0. seg e t > 0. seg. Despreze o amortecimento.. Calcule o deslocamento e o momento flector máximo. Problema 17 O reservatório referido no Problema 14 foi analisado para a acção sísmica caracterizada pelo espectro de resposta indicado no RSA para o tipo 1, terreno tipo II. Considerou se um coeficiente de amortecimento de 5%. 1. Determine o valor de cálculo do deslocamento do reservatório e os diagramas de esforço transverso e momento flector no fuste.. O projectista concluiu que os esforços obtidos são excessivos e decidiu aumentar a resistência do fuste aumentando as dimensões das secções tendo, por consequência, a rigidez do reservatório aumentando para kn/m. Recalcule o deslocamento do reservatório e os diagramas de esforço transverso e momento flector no fuste e compare os resultados com os obtidos anteriormente.. Calcule o reservatório com o fuste reforçado para a situação em que se encontra vazio (M = 100 ton). Verifique qual a influência da massa do reservatório na sua resposta. Problema 18 Analise o pórtico do Problema 15 para a acção sísmica correspondente ao espectro de resposta indicado no RSA para o sismo tipo 1, terreno tipo II. Considere um coeficiente de amortecimento de %. Calcule o deslocamento e o momento flector máximos para as duas situações seguintes e compare os resultados. 1. Os pilares encontram se rotulados na fundação.. Os pilares estão encastrados na fundação. 8

9 Problema 19 Considere o seguinte pórtico no qual se considera que toda a massa está concentrada no nível da viga. 1. Calcule a frequência própria da estrutura, adoptando o grau de liberdade indicado.. Calcule o momento flector máximo para a acção sísmica tipo 1, terreno tipo III indicada no RSA. Considere um coeficiente de amortecimento de 5%. EI = 500 knm Problema 0 Calcule a frequência própria de vibração na direcção vertical da viga simplesmente apoiada de massa m e rigidez EI constantes representada na figura. 1. Pelo método de Rayleigh, admitindo uma função de forma polinomial do segundo grau (considere a massa distribuída).. Pelo método de Rayleigh, admitindo uma função de forma sinusoidal (considere a massa distribuída).. Pelo método de Rayleigh, admitindo a função da configuração deformada da viga devido ao seu peso próprio (considere a massa distribuída). 4. Compare e comente os resultados obtidos nas alíneas anteriores. Problema 1 Recorrendo ao Método de Rayleigh, calcule a frequência própria de vibração na direcção vertical de uma viga em consola de massa m(x) e rigidez EI constantes. Considere ainda que meio da consola se encontra um bloco de peso P. 9

10 Problema Considere a viga biapoiada representada na figura. Admita que os nós estão equidistantes, que um quarto da massa estrutural fica concentrada nos graus de liberdade 1 e e a restante no outro grau de liberdade: m L m1 m e 4 m m L. Determine a frequência própria da viga pelo método de Rayleigh sendo a sua rigidez de flexão EI e o vão l. Problema Determine a frequência de vibração, aplicando o método de Rayleigh, para a estrutura representada na figura. Admita que a massas dos pisos 1, e são iguais a m1 = 00 ton, m = 00 ton e m = 400 ton e que a rigidez dos elementos estruturais entre pisos iguais a k1 = kn/m, k = kn/m e k = kn/m. Problema 4 Considere a seguinte consola com uma massa concentrada na extremidade (despreze a inércia de rotação da massa). Estime a frequência própria da estrutura. 10

11 1. Pelo método de Rayleigh, admitindo uma deformada do tipo y x a a x a x a (equação da deformada de uma consola devido a uma carga 0 1 x aplicada na extremidade).. Pelo método de Rayleigh, admitindo uma deformada do tipo x y x 1 cos. l. Recorrendo ao método de Rayleigh simplificado com base numa discretização de graus de liberdade, um a meio vão e o outro no extremo da consola. 4. Compare os resultados obtidos e comente as diferenças que encontra. Problema 5 5EI Considere a seguinte consola com uma mola na extremidade de rigidez k. Estime a l frequência própria da estrutura recorrendo ao método de Rayleigh. 1. Admitindo uma deformada do tipo y x a a x a x a. 0 1 x 4. Admitindo uma deformada do tipo y x a a x a x a x a (equação da x deformada de uma consola devido a uma carga uniformemente distribuída).. Compare os resultados obtidos e comente. Problema 6 Calcule a segunda frequência própria de vibração na direcção vertical da viga simplesmente apoiada do Problema 0 pelo método de Rayleigh simplificado, admitindo que se concentrou a massa, uniformemente, da viga em três graus de liberdade equidistantes. Admita que a massa da viga é m = 48 ton/m, que o vão é de 5.0 m e que EI = knm. 11