TESTE FINAL. Análise Avançada de Estruturas Sem consulta (excepto formulário fornecido) Duração: 3h00m

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1 TESTE FINAL Análise Avançada de Estruturas Sem consulta (excepto formulário fornecido) DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL SECÇÃO DE ESTRUTURAS Duração: h00m 1 - (.0 val.) Considere a laje de betão armado representada na figura. A laje é maciça e de espessura constante, tem duas aberturas, está rigidamente ligada às paredes AB e CD e encontra-se apoiada com continuidade nos pilares P1 e P. As acções sobre a laje são o peso próprio e uma carga uniformemente distribuída. Considerando que apenas se vão utilizar elementos finitos de laje e que a análise vai ser feita pelo método dos deslocamentos: a) proponha uma malha de elementos finitos quadriláteros que permita a obtenção de resultados suficientemente rigorosos (faça o desenho na folha anexa); b) indique quais são os graus de liberdade que se consideram em cada nó e descreva as condições de apoio relativamente às paredes e aos pilares. A B P P1 C D - (1.5 val.) No âmbito do método dos elementos finitos, diga o que entende por: a) elemento finito isoparamétrico; b) integração reduzida; c) modo de deformação espúrio.

2 - (.5 val.) Considere o elemento finito unidimensional representado na figura. p 1 x ( x = L / ) ( x = 0 ) ( x = L / ) Este elemento está sujeito a uma carga distribuída de variação linear. Recorrendo a uma substituição de variável e à quadratura de Gauss, calcule, em função de p e de L, a segunda componente do vector das forças nodais equivalentes à carga indicada. Utilize, justificando, o número de pontos de Gauss que conduz ao resultado exacto. - (.5 val.) Considere um elemento finito quadrado com quatro nós destinado à discretização de um estado plano de tensão (ver a Figura). L / L / 1 L / L / O elemento tem módulo de Young E constante, coeficiente de Poisson ν nulo e espessura h constante. Considerando a habitual substituição de variáveis que transforma os intervalos de integração para [ - 1, 1 ], mostre que o elemento k 58 da matriz de rigidez tem a seguinte expressão: k 58 = E h / 8. Nota: o grau de liberdade 5 é o deslocamento do nó segundo e o grau de liberdade 8 é o deslocamento do nó segundo.

3 5 - (.5 val.) Considere o elemento finito representado na figura m 7 80 kn/m 1.5 m 6.0 m m 1. m 1.8 m Este elemento destina-se a ser utilizado na discretização de um estado plano de tensão e apresenta espessura constante h = 0.5 m. Calcule as forças nodais equivalentes à carga indicada.

4 6 - (.0 val.) Considere o elemento finito de 5 nós representado na figura. 5 1 P.0 m Este elemento destina-se a ser utilizado na discretização de um estado plano de tensão e apresenta espessura constante h = 0.5 m. Sabe-se que os deslocamentos nodais não nulos são: a 1 = mm; a = mm; a 1 = 1 mm; a = 5 mm. Sem efectuar qualquer substituição de variáveis, calcule a distorção γ 1 no ponto P. 7 - (.0 val.) Considere o elemento finito de Euler-Bernoulli com nós representado na figura. x a 1 a a a 1 ( = 1 m) ( = 1 m) Dados: o eixo x é vertical; em todo o elemento a secção transversal é rectangular de altura H = 0. m; no ponto 1 a largura da secção é B 1 = 0.8 m; no ponto a largura da secção é B = 0. m; o módulo de Young é E = 0 GPa. Sem efectuar qualquer substituição de variáveis, a) determine as funções de forma Hermitianas N i ( ); N b) sabendo que os elementos da matriz B são i, calcule o termo k da matriz de x1 rigidez do elemento. F I M

5 NOME: A B P P1 C D