Análise de Tensões em Placas, Cascas e Reservatórios

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1 Análise de Tensões em Placas, Cascas e Reservatórios J.F. Silva Gomes Professor Catedrático Faculdade de Engenharia, Universidade do Porto Edições INEGI Porto, 2007

2 Edição e Distribuição INEGI-Instituto de Engenharia Mecânica e Gestão Industrial Rua do Barroco, Nº174, Leça do Balio-Portugal Tel: inegi@inegi.up.pt ISBN: Depósito Legal: /07 Execução Gráfica: Claret-Companhia Gráfica do Norte Rua Venceslau Ramos, s/n Avintes, Portugal Tel: ; Tel: Reservados todos os direitos de harmonia com a lei. Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida, guardada pelo sistema retrieval ou transmitida por qualquer meio, seja electrónico, mecânico, gravação ou outros, sem autorização prévia por escrito do autor.

3 ÍNDICE Prefácio Lista dos Símbolos vii xvii Parte I Introdução à Teoria da Elasticidade Capítulo I Caracterização do Estado de Tensão Introdução. O Conceito de Tensão Componentes Cartesianas da Tensão Tensão para uma Orientação Arbitrária Equações de Equilíbrio Simetria da Matriz das Tensões Leis de Transformação das Tensões Tensões Principais Valores Limites da Tensão Normal Valores Limites da Tensão de Corte Representação Gráfica de Tensões. Construção de Mohr Estado Plano de Tensão Círculo de Mohr Para o Estado Plano de Tensão Problemas Bibliografia 41

4 x Análise de Tensões em Placas, Cascas e Reservatórios Capítulo II Caracterização do Estado de Deformação Introdução. Deslocamento e Deformação Extensão ou Deformação Linear Distorção ou Deformação de Corte Matriz e Vector das Deformações Deformação Linear Segundo uma Direcção Arbitrária Deformação de Corte Segundo duas Direcções Ortogonais Leis de Transformação das Deformações Deformações Principais Deformações Sobre um Plano Valores Estacionários das Deformações Equações de Compatibilidade Representação Gráfica das Deformações Estado Plano de Deformação Construção de Mohr para o Estado Plano de Deformação Problemas Bibliografia 73 Capítulo III Relações Tensões-Deformações Introdução Lei de Hooke Generalizada Lei de Hooke para Materiais Isotrópicos Módulo de Rigidez Módulo de Compressibilidade Módulo de Young e Coeficiente de Poisson 85

5 Índice xi 3.7. Relações Entre as Diferentes Constantes Elásticas Energia Elástica de Deformação Critérios de Resistência Critério de Ruptura para Materiais Frágeis Critério de Tresca ou da Tensão de Corte Máxima Critério de Von-Mises ou da Tensão Octaédrica Máxima Formulação Geral dos Problemas da Teoria da Elasticidade Princípio da Energia Potencial Mínima Princípio de Saint-Venant Equações da Elasticidade em Coordenadas Curvilíneas Coordenadas Cilíndricas Coordenadas Esféricas Problemas Bibliografia 116 Parte II Flexão de Placas Finas Capítulo IV Flexão de Placas. Equações Gerais Conceitos Básicos. Hipóteses de Kirchhoff Geometria das Superfícies Curvas Deslocamentos, Deformações e Tensões Esforços Unitários e Lei de Hooke Flexão Cilíndrica Flexão Pura Biaxial 134

6 xii Análise de Tensões em Placas, Cascas e Reservatórios 4.7. Direcções Principais de Flexão Flexão com Corte. Equação de Lagrange Condições de Fronteira Métodos Energéticos Problemas Bibliografia 150 Capítulo V Flexão de Placas Circulares Introdução. Equações Gerais Flexão Simétrica de Placas Circulares Placa Encastrada com Carga Uniforme Placa Simplesmente Apoiada com Momento no Bordo Placa Simplesmente Apoiada com Carga Uniforme Placa Circular com Carga Concentrada no Centro Placa Circular com Furo Concêntrico Placa Circular Assente em Fundação Elástica Problemas Bibliografia 178 Capítulo VI Flexão de Placas Rectangulares Introdução Placa Simplesmente Apoiada com Carga Transversal Solução para uma Carga Sinusoidal Solução de Navier Carga em Área Rectangular e Força Concentrada Solução de Lévy 187

7 Índice xiii 6.3. Solicitação por Momentos Flectores nos Bordos Solicitação Simétrica: M 1 (x) = M 2 (x) = M(x) Solicitação Antissimétrica: M 1 (x) = -M 2 (x) = M(x) Solicitação por Momentos Arbitrários Placa Encastrada em Dois Lados Opostos Método da Viga Equivalente Placas Contínuas Simplesmente Apoiadas Placas Rectangulares em Fundação Elástica Aplicação do Método de Ritz Problemas Bibliografia 217 Capítulo VII Teoria Clássica das Placas Laminadas Introdução Materiais Isotrópicos Materiais Ortotrópicos Deslocamentos e Deformações Forças e Momentos Resultantes Solicitação Uniforme Equações de Equilíbrio Equações de von-kármán Efeitos Térmicos Materiais Piezoeléctricos Problemas Bibliografia 250

8 xiv Análise de Tensões em Placas, Cascas e Reservatórios Parte III Cascas e Reservatórios Capítulo VIII Introdução à Teoria das Cascas Conceitos Gerais Deformações e Curvatura. Lei de Hooke Energia de Deformação nas Cascas Cascas de Revolução Geometria das Cascas de Revolução Equações de Equilíbrio Deformações e Lei de Hooke Problemas Bibliografia 271 Capítulo IX Tensões de Membrana em Cascas e Reservatórios Introdução Solicitação Simétrica Solicitação Assimétrica Casca Esférica Sujeita à Acção do Vento Casca Cónica Sujeita à Acção do Vento Casca Cilíndrica Sujeita à Acção do Vento Cascas Cilíndricas de Secção Arbitrária Cascas de Forma Arbitrária Limitações da Teoria de Membrana Problemas Bibliografia 292

9 Índice xv Capítulo X Flexão Simétrica de Cascas de Revolução Equações de Equilíbrio e Lei de Hooke Solicitações de Bordo. Equações Gerais Solicitações de Bordo em Cascas Cilíndricas Solicitações de Bordo em Cascas Esféricas Introdução Ângulo de Abertura Amplo (φ > 15º) Ângulo de Abertura Reduzido (φ < 15º) Solicitações de Bordo em Cascas Cónicas Problemas Bibliografia 323 Capítulo XI Cascas e Reservatórios Cilíndricos. Teoria Geral Introdução. Equações Gerais Equações de Equilíbrio nas Forças e Momentos Geometria da Deformação e Lei de Hooke Equações de Equilíbrio nos Deslocamentos Solicitações Simétricas Equações de Equilíbrio e Lei de Hooke Solicitações de Bordo Simétricas. Equações Gerais Cilindro com Topos Flangeados Carga Circunferencial Concentrada Cargas Circulares Múltiplas Carga Distribuída num Segmento Anel de Reforço Momento Concentrado numa Secção 348

10 xvi Análise de Tensões em Placas, Cascas e Reservatórios Reservatório Cilíndrico Vertical Solicitações Assimétricas de Cascas Cilíndricas Reservatório Cilíndrico Horizontal Cascas Cilíndricas Abertas Condição de Inextensibilidade da Superfície Média Solicitações de Bordo Assimétricas. Equações de Donnell Deformação Harmónica de uma Casca Cilíndrica Coeficientes de Bordo Solicitações Locais em Cascas Cilíndricas Método de Bijlaard Método de Hoff Cascas Cilíndricas Laminadas Problemas Bibliografia 387 Capítulo XII Ligações entre Cascas de Geometrias Diferentes Introdução Reservatório Cilíndrico com Fundo Hemisférico Reservatório Cilíndrico com Fundo Torisférico Reservatório Esférico Assente em Apoio Circular Apoio Sobre Patins ou Rolos Apoio Sobre Anel Cilíndrico Problemas Bibliografia 417 Índice das Matérias 419