Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial

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1 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 1/ Resistência dos Materiais 003/004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 1ª Aula Duração - Horas Data - 10 de Novembro de 003 Sumário: Fleão Pura de Vigas. Tensões Aiais e Deformações Aiais numa viga simétrica em fleão pura. Eio Neutro. Momento de Inércia. Objectivos da Aula: Apreender a forma como se distribuem as tensões Aiais nas Secções das Vigas por forma a conduirem ao momento resultante na Secção. Resumo do Conteúdo da Aula 1.Introdução Uma viga sujeita à acção de forças eteriores, acções contidas no plano de solicitação, desenvolve esforços transversos e momentos flectores como foi visto no capítulo anterior, os quais resultam de tensões distribuídas ao longo da secção da viga. Neste capítulo a atenção é dirigida para as tensões longitudinais ou aiais cuja resultante é o momento flector. A eistência deste tipo de tensões é facilmente percepcionada observando o modo como uma viga em consola se deforma como resultado da aplicação de uma força eterior concentrada no etremo, ou observando o modo como se deforma uma viga simplesmente apoiada, sujeita a momentos flectores nos etremos, como se representa na figura 1.1. No caso da viga encastrada as fibras superiores ficam traccionadas e as fibras inferiores ficam comprimidas havendo em consequência uma diminuição da largura da secção nas fibras superiores e um aumento da largura da secção nas fibras inferiores, estas tensões de tracção e compressão são longitudinais ou aiais e têm como resultante o momento flector actuante na secção. Além das tensões longitudinais vão eistir tensões de corte. Neste capítulo vamos estudar o modo como se distribuem as tensões longitudinais na Secção e para esse efeito começa-se por estudar uma aproimação ao comportamento de uma viga sujeita somente a momentos flectores.

2 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais / Fibras Traccionadas Distorção da Secção Fibras Comprimidas P M M Fibras Traccionadas Figura 1.1: Vigas Sujeitas à Fleão As fibras da viga deformam-se e no processo de deformação passam de elementos lineares rectilíneos a elementos lineares curvos com um certo raio de curvatura, no caso de se admitirem condições de fleão plana, o elemento linear inicial e o elemento linear deformado estão contidos num mesmo plano e a curva da fibra flectida é uma curva plana, nestas condições e de acordo com a figura 1. a curvatura da curva deformada num ponto pode ser definida como sendo: O O Curvatura dθ k = ds θ O s θ θ θ Figura 1.: Curva Plana k = dθ θ = lim = lim 1 ds s 0 s s 0 O D 1 = OC

3 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 3/ que representa o inverso do raio de curvatura R=OC, ou seja a curvatura k é tal que k=1/r, como se representa na figura 1., e tem de dimensão o 1/unidade de comprimento..fleão Pura de Vigas de Secção Simétrica.1. Geometria da Deformação O caso mais simples de fleão de vigas é o caso da fleão de uma viga sujeita à acção de momentos flectores nos etremos, por eemplo a viga simplesmente apoiada representada na figura 1.1. No caso de se considerar uma secção com um eio de simetria, o eio O pode considerar-se coincidente com o eio de simetria da secção, sendo O o eio da viga que é considerado coincidente com o lugar geométrico dos centros de Gravidade da secção recta da viga e O perpendicular ao plano O coincidente com o plano de solicitação como se representa na figura 1.. No que se segue considera-se que o eio dos é um eio de simetria da secção, podendo portanto considerar-se a teoria que se vai desenvolver neste parágrafo como aplicável a vigas cuja secção recta tem um eio de simetria. Considere-se sobre a viga um elemento típico abcd, como se representa na referida figura, o qual após deformação ocupa a posição a b c d, e admita-se que durante o processo de deformação, secções rectas da viga permanecem planas e perpendiculares ao eio flectido da viga. Esta hipótese é devida a Bernoulli (1705) e é considerada fundamental no desenvolvimento da teoria clássica das vigas à fleão, válida no caso de se tratarem de vigas finas. Nestas condições os segmentos inicialmente lineares e perpendiculares ao eio da viga permanecem lineares e perpendiculares ao eio flectido da viga. A chamada hipótese de Bernoulli, pode demonstrar-se que é completamente verdadeira para elementos em fleão pura, no entanto se também eistirem esforços de corte um pequeno erro é introduido ao considera-la válida, no entanto vai considerar-se válida esta hipótese em qualquer circunstância desde que as dimensões da secção recta sejam significativamente menores que a dimensão da viga segundo o eio.

4 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 4/ M M R a g e c b h f d d a b g h e f c d R- dθ M M Eio Neutro Secção Simétrica Eio de Simetria Centro de Gravidade Figura 1.: Viga em Fleão Pura O elemento sobre o eio da viga ef, deforma-se e ocupa na posição deformada a posição e f que corresponde a um arco de círculo com raio de curvatura R, sendo o comprimento do arco de círculo ds e dθ o ângulo ao centro do referido arco, pode dier-se que ds =Rdθ, ou seja que a curvatura do eio da viga flectida é: d 1 k = θ = ds R 1.1 sendo k e R constantes no caso de uma viga sujeita a fleão pura. As fibras a uma distância do eio da viga têm na configuração deformada um raio de curvatura R-, como se representa na figura 1.. Nestas condições a diferença de comprimentos na configuração deformada, entre os segmentos g h e e f, designada por du, pode ser facilmente calculada, tendo em conta que o comprimento do segmento g h é: ds =(R-)dθ, ou seja du =(R-)dθ-Rdθ=-dθ 1. No caso de se considerar que o deslocamento e rotações sofridas pela secção da viga são muito pequenos, os cosenos dos ângulos envolvidos nas projecções de du e ds na direcção do eio dos, são praticamente iguais à unidade. Nestas condições pode considerar-se du igual du, alongamento segundo e ds igual d, consequentemente du dθ du dθ = = k ou = = k ds ds d d Tendo em conta que a etensão segundo é ε = du / 1.3 é equivalente a: ε = k = R 1.3 d, conclui-se que a equação 1.4

5 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 5/ onde R é o raio de curvatura do eio da viga. Donde se conclui que a deformação aial varia linearmente com, mas a localiação do eio ou seja da localiação da origem do sistema de eios permanece indefinida, para se localiar na secção o ponto que corresponde a =0, há necessidade de recorrer à lei de Hooke e às equações de equilíbrio Estático. Eemplo 1.1 Considere a viga representada na figura 1.3 e sujeita a momentos nos etremos, cuja secção é rectangular com as dimensões indicadas na referida figura. No caso da deformação máima admissível antes de ocorrer a cedência plástica ser de 10 3, determine o raio de curvatura da superfície média flectida e a mudança de ângulo entre os etremos da viga deformada. Resolução A viga está sujeita a fleão pura e consequentemente pode considerar-se que: Secção Recta R.0m θ 80mm 50mm Figura 1.3:Viga em Fleão Pura com Secção Rectangular ε = k = R Nestas condições se se tiver em conta que as deformações máimas ocorrem nas fibras mais afastadas da origem, ou seja para =40mm de acordo com a figura, o raio de curvatura é: 3 3 R = / ε = 40 /( 10 ) = 0 10 mm Tendo em conta que θ s = 1/ R obtém-se para a variação angular θ, o valor seguinte:

6 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 6/ 1 1 θ = s= = 0.1rad R 0.. Distribuição de Tensões e Condições de Equilíbrio Considerando a Lei de Hooke e a equação 1.4 obtém-se a tensão longitudinal σ com a seguinte forma: σ = ε = Ek E 1.5 sendo σ positivo para valores negativos de e positivos da curvatura. As tensões σ estão distribuídas na secção e têm a direcção do eio dos e devem estar em condições de equilíbrio estático, como não eistem forças aiais aplicadas, só eistem momentos, a resultante das tensões distribuídas na secção deve ser igual a ero, ou seja: F = 0 ou σ da = 0 A 1.6 sendo o integral estendido à área da Secção para que se possa obter a resultante das tensões distribuída na secção. Tendo em conta a equação 1.5, a equação 1.6 toma a forma EkdA = Ek da 0 = A 1.7 Onde o da por definição é igual da, onde representa a distância da origem ao centro de gravidade, como este integral deve ser igual a ero para que eista equilíbrio de forças segundo, o valor de deve ser igual a ero, ou seja a origem deve coincidir com o centro de gravidade da Secção. Uma ve que a origem passa pelo centro de gravidade da secção, ao longo do eio dos as tensões e as deformações são nulas para =0, constituindo o chamado Eio Neutro da Secção. Nestas condições tendo em conta que as deformações e as tensões variam linearmente ao longo do eio dos de acordo com as equações 1.4 e 1.5, sendo nulas no plano neutro como se representa na figura 1.4. Nesta figura consideram-se formas alternativas de representar as distribuições de tensões ao longo da Secção. A

7 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 7/ ε ma σ ma ma σ = Eε σ ma Eio Neutro Figura 1.4: Distribuição de Tensões O problema é de facto tridimensional, mas como se considera que a distribuição de deformações e tensões no plano de solicitação se repete nos planos que lhe são paralelos pode reduir-se o problema a um problema bidimensional e considerar para efeitos de representação das tensões e deformações só o que se passa no plano de solicitação. Além do equilíbrio de forças já considerado é necessário considerar o equilíbrio de momentos, obtendo-se a equação 1.8 O sinal negativo é necessário, uma ve que o momento aplicado provoca uma rotação no sentido dos ponteiros do relógio e o momento que resulta da distribuição de tensões na secção produ uma rotação no sentido contrário ao dos ponteiros de relógio. A equação 1.8 pode ser rescrita com a seguinte forma: O A da M = M Ek da Área A Tensão 1443 M = Ek A da = 0 { 1.9 só depende das propriedades geométricas da Secção Recta da viga e costuma ser designado em Mecânica por Momento de Inércia da Secção ou Segundo Momento de Área da Secção. É usualmente representado por I, ou seja: Forca Braço I Z = A da Substituindo 1.10 na equação 1.9, obtém-se: M = Ek I

8 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 8/ ou seja M k = E I 1.1 A curvatura pode ser calculada a partir do momento aplicado, das propriedades materiais da viga e das características geométricas da Secção. Se se considerar a equação 1.5 que relaciona as tensões com a curvatura e se considerar que esta é definida pela equação 1.1, obtém-se uma relação, entre as tensões longitudinais ou aiais e o momento aplicado, com a forma: M σ = I 1.13 O sistema de eios considerado na obtenção desta formula, também conhecida por fórmula de fleão, foi um sistema de eios constituído pelo eio dos, coincidente com o lugar geométrico dos centros de gravidade das secções rectas da viga, o eio dos contido no plano de fleão e perpendicular ao eio O e o eio dos perpendicular ao plano de fleão O, como se representa na figura 1.4. Os sentidos positivos dos momentos são os sentidos representados na figura no caso da fleão ocorrer no plano O. A fleão no plano O é tratada de modo análogo sendo nesse caso os sentidos positivos dos momentos representados também na figura. As tensões longitudinais neste caso são calculadas pela fórmula: σ = M I 1.14 A diferença de sinais entre a fórmula 1.13 e 1.14 resulta necessária para haver consistência entre a convenção considerada na figura 1.5 e as tensões calculadas pelas fórmulas referidas. O valor máimo das tensões ocorre para os valores máimos de ou, ou seja nas fibras ditas superiores ou inferiores da viga e serão de tracção quando forem positivas e de compressão quando forem negativas. A ona à compressão sofre uma epansão lateral e a ona em tracção sofre uma contracção lateral sendo as deformações resultantes, ε = ε = ν ε, onde ε = σ / E. Em consequência destas deformações laterais a superfície neutra deforma-se nas duas direcções ao contrário do pressuposto inicial de que a superfície neutra tinha só um raio de curvatura, mas este efeito das deformações laterais não é tido em conta nas formulações subsequentes.

9 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 9/ σ ma Eio Neutro ma M M Figura 1.5: Momentos e Sistema de Eios Eemplo 1. Considere a viga simplesmente apoiada de secção rectangular e vão 4m representada na figura 1.6 e determine a tensão longitudinal máima a que a viga está sujeita. O peso da viga é de 1kN/m e a secção rectangular tem dimensões mm, como se representa na figura. Solução Começa por determinar-se as reacções de apoio, para esse efeito consideram-se as equações de equilíbrio estático de forças e momentos, ou seja: F = 0 R A + RC = 4kN M = 0 4 RC = = 48 Resolvendo este sistema de equações obtém-se:

10 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 10/ 1kN/m 0kN Secção Recta A B C 500mm.0m.0m R A = R C = 1kN Momento em AB M = + 1 Momento em BC M = mm Diagrama de Momentos + R A = 1 kn e RC = 1kN Figura 1.6:Viga Simplesmente Apoiada Conhecidas as reacções eistem condições para determinar os momentos e traçar o diagrama de momentos. Os momentos são obtidos considerando dois troços da viga e integrando a equação: d M d = p( ) No Troço AB, 0<< obtém-se: M = + 1 No Troço BC, <<4 obtém-se: M = O momento máimo ocorre para = e é M=kN.m. O momento de Inércia da Secção é: 3 3 b h I Z = = = 41.6(6) 10 mm 1 1 A tensão longitudinal máima ocorre na secção que corresponde ao momento máimo e nas fibras mais afastadas do centro de gravidade, ou seja para =m e =50mm, sendo: 6 M ma σ ma = ma = = 1.3N / mm = ± 1.3MPa 8 I 41.6(6) 10 As fibras superiores estão comprimidas e correspondem a tensões de compressão a que se associa o sinal e as fibras inferiores estão traccionadas e correspondem a valores positivos das tensões. O problema poderia ter sido resolvido considerando separadamente o peso da viga e a carga pontual considerando o Princípio da Sobreposição de Efeitos e notar-se-ia

11 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 11/ que o efeito do peso da viga corresponde a um valor ligeiramente inferior a 10% da tensão total instalada como se pode facilmente verificar. Eemplo 1.3 Considere a viga em consola representada na figura e admita que é construída utiliando um aço cujo peso específico é de 77.0 kn/ m 3. A viga está sujeita a uma carga concentrada na etremidade livre de 10kN. A secção da viga é uma secção em I como se representa na figura 1.7. Determine a tensão longitudinal máima instalada na viga. Solução Considere-se o Princípio da Sobreposição de Efeitos e estude-se separadamente o efeito do peso próprio e o efeito da carga concentrada na etremidade livre. No caso da viga estar sujeita somente ao peso próprio a viga está sujeita a uma carga uniformemente distribuída cuja intensidade por unidade de comprimento se obtém considerando o produto do peso específico pela área da secção, ou seja: p=77.0 A=77.0 ( ) = 0.575kN/m O momento máimo ocorre no encastramento e é: pl 6 M ma = = = 4.635kN.m O momento de Inércia da Secção é: I = (6 ) + (140 ) = mm Teorema de Steiner A tensão longitudinal máima resultante do peso próprio é: ( σ ) M = =± 10 = MPa I ma 1 ma 1 ma 5 Esta tensão ocorre no encastramento e é de tracção nas fibras superiores correspondentes a valores de positivos e de compressão nas fibras inferiores correspondente a valores de negativos.

12 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 1/ 7kN Momentos resultantes da Carga Pontual 8mm 6m Secção Recta 140mm 6mm 00mm p L 6 = 0.59 = 4.66kN. m - - Momentos Resultantes do peso Próprio Figura 1.7: Viga Encastrada O momento máimo resultante da carga concentrada ocorre no encastramento e é: M=PL=4kN.m Nestas condições a tensão longitudinal resultante é: M ma 4 1 ( σma) = =± = MPa ma 5 10 I A tensão longitudinal total instalada é: ( ) ( ) σma = σma + 1 σ ma = ( )MPa = 196.MPa Eemplo 1.4 Considere a viga simplesmente apoiada com um tramo em consola, sujeita a uma carga uniformemente distribuída, de secção em como se representa na figura 1.8. Um etensómetro localiado em B indica que este ponto está sujeito a uma etensão de compressão de Determine a intensidade da carga uniformemente distribuída. Considere o módulo de Young, E=10GPa.

13 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 13/ A p 4mm B C D 4mm 00mm 300mm 100mm B 14mm 5mm 18mm Figura 1.8:Viga Simplesmente Apoiada com tramo em Consola Solução As reacções de Apoio são obtidas faendo uso das equações de equilíbrio Estático e são: R A = 0.13(3) p RC = 0.6(6) p O momento flector no troço AC é: M = p (3) p O momento para =0.m é: 0. M = p (3) p 0. = p A posição do centro de gravidade da Secção obtém-se através da equação: ( ) = ou seja 3 = 7mm = 7 10 m O momento de Inércia da Secção é: I = ( ) + ( ) = = 3738mm = m A tensão no ponto obtém-se por aplicação da Lei de Hooke e é: σ= = N / m Tendo em conta a relação entre momentos e tensões obtém-se: p 3 σ= N / m =

14 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 14/ ou seja: p = 13.39kN / m Eemplo 1.5 Considere a viga simplesmente apoiada de secção tubular representada na figura 1.9, a viga está sujeita a uma carga distribuída como se representa na figura. A secção tem as dimensões representadas. Determine a intensidade da carga distribuída de tal modo que as tensões longitudinais máimas instaladas sejam de 150Mpa. p p 15mm 300mm 4m.5m.5m 160mm Solução: Figura 1.9: Viga Simplesmente Apoiada Sujeita a Cargas Distribuídas As reacções de Apoio são obtidas a partir das equações de equilíbrio estático, R A + RB = 6.5p 9 RB = 7.375p ou seja resolvendo o sistema de equações R A = 3.46 p RB = 3.04 p Conhecidas as reacções eistem condições para traçar os diagramas de esforços, obtendo-se os diagramas representados na figura O momento máimo tem o valor de 6.0 p e ocorre a uma distância da origem de 3.46m, como se representa na figura.

15 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 15/ Diagrama de Esforços Transversos p p + 3.5p -3.0p 0.5p Diagrama de Momentos Flectores 4m.5m.5m 6.0p 5.8p 4.5p Figura 1.10: Diagrama de Esforços O momento de Inércia da secção é: I = = e06 mm 1 1 A relação tensões- momentos aplicados é: M 6 M 3 σ = = M = kN.m 6 I Como o momento é 6.0p, conclui-se que a carga p é: p=4.46kn/m 3 - Problemas Propostos para Resolução 1. Considere uma viga de Secção Rectangular, cuja secção tem 10cm de altura e 5cm de profundidade como se representa na figura 1. O plano de fleão é o plano O. Determine o valor máimo do momento flector para o qual a tensão aial σ não ecede 180MPa em tracção ou compressão.

16 Fleão Pura de Vigas - Tensões Aiais 16/ 10cm 5cm Resposta: M 15kN. m Figura 1: Secção Rectangular. Uma viga com secção recta em forma de I, como se representa na figura, tem uma altura global igual a 10 cm. No caso das tensões devidas à fleão não poderem eceder 150 MPA em tracção e compressão determine o valor máimo dos momentos aplicados. Considere possíveis planos de fleão o plano O e o plano O. t=0.60cm 10cm t=0.50cm 5cm t=0.60cm Resposta: M = kN. m Figura : Secção em I

17 17/ 3. Um tubo metálico oco de raio 3.0cm e espessura 0.5cm está sujeito a um estado de fleão pura. No caso da tensão máima admissível ser 100MN/ m determine o momento máimo aplicado. Resposta : M = 1.098kN. m Figura 3:Secção circular Oca 4. Uma viga com secção em T como se representa na figura 4, com espessura 1cm e altura global 10cm está sujeita a momentos flectores em relação aos eios principais. Determine os momentos flectores máimos permissíveis no caso das tensões máimas admissíveis serem 170 MPa. 1cm 10cm 10cm σma Resposta : M 4.9kN. m Figura 4: Secção em T

18 18/ 5. Considere uma viga de secção em I como se representa na figura 5, sujeita a momentos flectores segundo e. Determine a tensão máima na secção e determine a intersepção do plano de solicitação com o plano da secção. M = 400Nm 10cm M = 000Nm 0.45cm 0.6cm 5cm Figura 5: Secção em I σ ma ( ) Resposta: =. 5 = MPa para = 50mm e = 5mm 6. Determine o modulo elástico da secção de uma viga que está solicitada por um momento M=100kNm e cuja tensão máima não ecede 180MPa. Resposta : w= I = (5) ma 7. Considere a viga simplesmente apoiada representada na figura 6. Determine a carga máima P a aplicar de tal modo que as tensões normais não ecedam 150MN/ m. Considere que a secção recta é em I com as dimensões do I do problema 5.

19 19/ P P 10cm P/ P/.0m.0m 5cm Resposta:P=4.748kN Figura 6: Viga Simplesmente Apoiada 8. Considere vigas cujas secções têm a forma indicada nas figuras 7a e 7b e determine os momentos máimos que as secções das vigas podem suportar no caso da tensão longitudinal máima admissível ser de 140MPa. 00mm.5mm 50mm 40mm 150mm 5mm 40mm 80mm (a) 140mm 80mm (b) Figura 7 9.Considere a viga representada na figura 8, cuja secção é uma secção em T invertido, como se representa. O vão da viga é de 4 m, o módulo de Young é 00GPa e as cargas aplicadas são em grandea multiplos de P. No ponto A da viga foi medida a deformação 3 de compressão instalada e verificou-se ser de 50 10, determine o valor da carga P aplicada. O eio de fleão é horiontal para a secção da figura.

20 0/ P P 3P Etensómetro A 0mm A 0mm 100cm 100cm 100cm 50cm 10mm 30mm 100mm Figura Pretende-se construir uma viga de secção quadrangular oca, considerando duas posições possíveis para a secção da viga, as posições representadas na figura 9, indique qual das secções permite maiores momentos no caso da fleão ocorrer no plano O e das tensões máimas na viga serem de igual valor nas duas secções. h h1 h h1 Figura 9 11.Considere uma viga de Secção em I não simétrica, como se representa na figura 10. Numa Secção da viga está aplicado um momento de 100kNm, determine nessa secção a resultante das forças de tracção e compressão.

21 1/ 10mm 30mm 5mm 0mm 80mm 10mm 10mm Figura Considere a viga representada na figura 11 cuja secção tem a forma de um T. O material da viga tem uma tensão de cedência à tracção de 30MPa e uma tensão de cedência à compressão de 60MPa. Determine a carga P (sentido positivo do eio dos ou sentido negativo do eio dos ) que pode ser aplicada no caso de se considerar um coeficiente de segurança de 1.5. O ponto de aplicação da carga é o que se representa na figura. 10mm P 0mm 30mm.0m 1.0m 30mm Figura 11

22 / 4- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 1995., Páginas Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 1989, Páginas J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.

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