ESTRUTURAS PARA LINHAS DE TRANSMISSÃO 6 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS

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1 LINHAS DE 6 MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Método de Rayleigh - Ritz É um método de discretização, ou seja, a minimização de um conjunto restrito π = (a 1, a 2,... a n ), que depende de um número finito de n parâmetros a 1, a 2,..., a n. Em cada estágio da discretização, ou seja, para cada n, obtemos soluções aproximadas (u n, v n, w n ) que melhoram com o crescimento de n, tendendo para a solução exata (u, v, w). A demonstração segue o método de Rayleigh-Ritz. Sendo A o conjunto de todos os termos de funções [u(x, y, z), v(x, y, z), w(x, y, z)] que definem os campos dos deslocamentos admissíveis, considerar sub-conjuntos de A, denominados A 1, A 2,...A n, de modo que: O sub-conjunto A 1 depende apenas de um parâmetro a 1, o sub-conjunto A 2 depende apenas de dois parâmetros a 1 e a 2, e, assim sucessivamente, o sub-conjunto A n depende de n parâmetros a 1, a 2,..., a n. Cada sub-cojunto A 1, A 2,...A n, do conjunto A, engloba todos os sub-conjuntos anteriores. Os elementos dos subconjuntos A n para n suficientemente grande, podem se aproximar tanto quanto se queira de quaisquer elementos do conjunto A. Conjunto A Discretização A 1 A 2 An Conjunto A n Conjunto A 2 Conjunto A 1 A Figura 1 Conceituação do Método Por integração, podemos na família A n, chegar a um valor de π como função dos respectivos parâmetros π = (a 1, a 2,... a n ). Podemos ainda determinar quais as funções (u n, v n e w n ) de A n que tornam o valor de π mínimo, utilizando as derivadas: π a1 = 0, π a2 = 0,..., π an = 0 Temos ainda que: Lim π[ u n, v n, w n ] = π mínimo Ou, em condições gerais: 1

2 LINHAS DE Lim u n = u Lim v n = u Lim w n = w Aplicação do método de elementos finitos O Método dos Elementos Finitos é um método de natureza numérica, que permite resolver problemas da Teoria da Elasticidade plana, Elasticidade Tridimensional, e, Elasticidade Axissimétrica, incluíndo Teoria das Placas e Teoria das Cascas. Podem também, resolver problemas da Mecânica dos Sólidos Deformáveis, tais como elastro-plasticidade perfeita ou com encruamento, viscoelasticidade, visco-elasticidade-plasticidade e elasticidade geometricamente não linear. Utilizando formulações variacionais é extensivo aos problemas físicos de percolação em regime permanente, percolação em regime transitória, fluxo de calor em regime permanente e transitório, e problemas da Mecânica dos Fluídos. O método dos Elementos Finitos é um caso particular do método de Rayleigh-Ritz. A Mecânica das Estruturas está baseada na Mecânica dos Sólidos Deformáveis. Esta ciência tem por finalidade a determinação dos campos de tensões, deformações e deslocamentos, no interior de um sólido genérico, sujeito a uma solicitação externa qualquer. Isto é feito, inicialmente, através de uma análise puramente geométrica, estabelecendo-se as relações entre as deformações e os deslocamentos correspondentes. Equações gerais da Dinâmica Vamos considerar um sólido qualquer, de volume V, e, escrever as equações disponíveis para os componentes do tensor das deformações. Para pequenos deformações e pequenos deslocamentos sendo um sólido V referido a um sistema tri-ortogonal de eixos 0xyz, e, sendo u, v e w os deslocamentos, respectivamente nas direções 0x, 0y e 0z, teremos 6 (seis) relações deformações-deslocamentos: ε X = u / X ε Y = v / Y ε Z = w / Z γ XY = u / Y + v / X 2

3 LINHAS DE γ XZ = w / X + u / Z γ YZ = v / Z + w / Y Pelo princípio funfamental da Dinâmica opodemos escrever mais 3 (três) equações gerais, sendo: σ X, σ Y e σ Z Componentes do tensor das tensões normais. τ XY, τ XZ e τ YZ Componentes do tensor das Tensões de cisalhamento. X, Y e Z força por unidade de volume distribuídas no volume V. σ X / X + τ XY / Y + τ XZ / Z + X = µ. u τ XY / X + σ Y / Y + τ YZ / Z + Y = µ. v τ XZ / X + τ YZ / Y + σ Z / Z + Z = µ. w µ - massa específica do material u, v e w - componentes da aceleração do ponto genérico, indicando a derivação em relação ao tempo. Numa situação de equilíbrio, as grandezas acima são independentes do tempo e u = v = w = 0 Equações constitutivas Determinamos anteriormente, apenas 9 (nove) equações ligando 15 (quinze) incógnitas de x, y e z, quais sejam 3 (três) deslocamentos, 6 (seis) componentes do tensor das deformações normais e cisalhamento e 6 (seis) componentes do tensor das tensões. Necessitamos de mais equações para a solução do problema. No caso de um material elástico linear e isótropo, essas equações são dadas pela lei de Hooke: ε X = 1/E. [ σ X - ν(σ Y +σ Z )] ε Y = 1/E. [ σ Y - ν(σ X +σ Z )] ε Z = 1/E. [ σ Z - ν(σ X +σ Y )] γ XY = 2/E. (1 + ν). τ XY γ XZ = 2/E. (1 + ν). τ XZ γ YZ = 2/E. (1 + ν). τ YZ E Módulo de elasticidade 3

4 LINHAS DE ν - coeficiente de Poisson Uma vez satisfeitas as condições de contorno, com as 15 (quinze) equações acima podemos obter todas as incógnitas e calcular o valor da energia Ω de deformação do sólido V, pela seguinte expressão: Ω = ½. V [ σ X. ε X + σ Y. ε Y + σ Z. ε Z +τ XY. γ XY +τ XZ. γ XZ + τ YZ. γ YZ ]. d V Conhecendo o valor dessa energia - Ω de deformação do sólido, pode-se demonstrar que dentre todos os deslocamentos admissíveis, aquele que corresponde a teoria da elasticidade é o que torna mínima a energia - π potencial do sólido. Acaba-se por recair na solução de um sistema de equações lineares, com um número bastante grande de incógnitas. Uma aplicação clássica do método dos elementos finitos é o estudo dos elementos estratificados, considerando que a ciência da micromecânica ainda está em desenvolvimento. Desta forma, o estudo dos elementos estratificados utiliza uma aproximação baseada na mecânica dos meios de camadas ortótropas. O material é considerado microscopicamente homogêneo, porém dotado de uma certa anisotropia. O modelo matemático, habitualmente adotado, é método o das placas ou cascas delgadas, elásticas, ortótropas, de comportamento baseado no caso geral da lei de Hooke. Neste caso mais geral da lei de hooke, podemos ligar um grande número de constantes de proporcionalidade com os componentes do tensor das tensões e os componentes do tensor das deformações. Para cada elemento discretizado temos os seguintes parâmetros: Pela lei de Hooke; ε ij = H ij ke. σ ke ou σ ij = h ij ke. ε ke Utilizando a escrita matricial seria: ε X C 11 C 21 C 31 C 41 C 51 C 61 σ X ε Y C 12 C 22 C 32 C 42 C 52 C 62 σ Y γ XY C 13 C 23 C 33 C 43 C 53 C 63 τ XY ε Z = C 14 C 24 C 34 C 44 C 54 C 64 x σ Z γ XZ C 15 C 25 C 35 C 45 C 55 C 65 τ XZ γ YZ C 16 C 26 C 36 C 46 C 56 C 66 τ XZ ε X S 11 S 21 S 31 S 41 S 51 S 61 σ X ε Y S 12 S 22 S 32 S 42 S 52 S 62 σ Y γ XY S 13 S 23 S 33 S 43 S 53 S 63 τ XY ε Z = S 14 S 24 S 34 S 44 S 54 S 64 x σ Z γ XZ S 15 S 25 S 35 S 45 S 55 S 65 τ XZ γ YZ S 16 S 26 S 36 S 46 S 56 S 66 τ XZ σ X, σ Y, e σ Z tesões normais segundo os eixos de coordenadas. 4

5 LINHAS DE τ XY, τ XZ e τ YZ cisalhamentos nos três planos de coordenadas. ε X, ε Y e ε Z alongamentos segundo os eixos de coordenadas. γ X, γ Y e γ Z deslizamentos nos três planos de coordenadas Aplicação do Método dos Elementos Finitos para elementos de barras A aplicação do Método dos Elementos Finitos, para elementos de barras consiste em utilizar os deslocamentos dos nós como parâmetros de Rayleigh-Ritz, com um número finito de pontos ou nós previamente escolhidos. A interpretação física do Método dos Elementos Finitos admite a treliça como elementos cheios, ligados pelos nós. A matriz de rigidez é convenientemente calculada e decorrente do tipo de elemento adotado e de sua geometria. Para obter uma boa aproximação é necessário adotar um número maior de nós. ESTRUTURA ORIGINAL ESTRUTURA DISCRETIZADA X Carga - P X Carga - P Nó - C Nó - D Nó - C Nó - D Nó - B Nó - A Y Nó - B Nó - A Y Figura 2 Discretização de estruturas treliçadas. &&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 5