Nota de aula 12 - Lei de Hooke Generalizada - Resistência dos Materiais II

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Geovane Amaral Costa
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1 Nota de aula 12 - Lei de Hooke Generalizada - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. lson Toledo) MAC - Faculdade de ngenharia - UFJF 2o. semestre de 2010 Flávia Bastos RSMAT II 1/15

2 Informações sobre este documento: stes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. lson Toledo. Flávia Bastos RSMAT II 2/15

3 Lei de Hooke Generalizada x ɛ x y ɛ y z ɛ z ɛ x = x x, ɛ y = y y, ɛ z = z z Lei de Hooke: ɛ x = σ x Relação de Poisson (fase elástica linear): { ɛy = νɛ x = ν σx ɛ z = νɛ x = ν σx (1) (2) Flávia Bastos RSMAT II 3/15

4 Lei de Hooke Generalizada Composição das deformações: Deformações Tensão Dir x (ɛ x ) Dir y (ɛ y ) Dir z (ɛ z ) σ x σ y σ z σ x ν σy ν σz ν σx σ y ν σz ν σx ν σy σ z Flávia Bastos RSMAT II 4/15

5 Lei de Hooke Generalizada Considerando a atuação simultânea de σ x, σ y e σ z e aplicando o princípio da superposição dos efeitos: ɛ x = σ x ν (σ y + σ z ) = 1 [σ x ν(σ y + σ z )] (3) ɛ y = σ y ν (σ x + σ z ) = 1 [σ y ν(σ x + σ z )] (4) ɛ z = σ z ν (σ x + σ y ) = 1 [σ z ν(σ x + σ y )] (5) γ xy = τ xy G ; γ xz = τ xz G ; γ yz = τ yz G (6) Flávia Bastos RSMAT II 5/15

6 Lei de Hooke Generalizada As expressões acima constituem a chamada Lei de Hooke Generalizada. Para esta expressão assumimos que os materiais são homogêneos e isotrópicos - possuem as mesmas propriedades em todas as direções. Assumimos também que as tensões de cisalhamento não afetam as deformações lineares. Assumimos ainda válido o princípio da superposição para chegar ao resultado final apresentado em seguida. ɛ xx ɛ yy ɛ zz γ xy γ xz γ yz = 1 1 ν ν ν 1 ν ν ν (1 + ν) (1 + ν) (1 + ν) (7) σ xx σ yy σ zz τ xy τ xz τ yz Flávia Bastos RSMAT II 6/15

7 Lei de Hooke Generalizada Inversamente: σ xx σ yy σ zz τ xy τ xz τ yz = (1 + ν)(1 2ν) 1 ν ν ν ν 1 ν ν ν ν 1 ν ν ν ν 2 Observação: Deve-se atentar para o fato de que nessas relações são os valores das deformações cisalhantes (γ) que são utilizados e não as componentes cisalhantes do tensor de deformação (ɛ xy, ɛ xz, ɛ yz ). (8) ɛ xx ɛ yy ɛ zz γ x γ x γ y Flávia Bastos RSMAT II 7/15

8 Deformação Volumétrica Além das medidas de deformação que compõe o tensor de deformação, uma outra medida de interesse é a chamada deformação volumétrica que mede a variação relativa de um cubo de arestas dx, dy e dz retirado em torno de um ponto. Flávia Bastos RSMAT II 8/15

9 Deformação Volumétrica Seja um cubo de arestas dx, dy e dz. Após o equilíbrio estas arestas variam seu comprimento de acordo com: dx = dx(1 + ɛ xx ) dy = dy(1 + ɛ yy ) dz = dz(1 + ɛ zz ) O volume inicial é V 0 = dxdydz. O volume deformado é V 1 = dx dy dz. A deformação volumétrica é definida por: ɛ V = V 1 V 0 V 0 (9) Flávia Bastos RSMAT II 9/15

10 Deformação Volumétrica Ficamos então com: ou: ɛ V = dx(1 + ɛ xx)dy(1 + ɛ yy )dz(1 + ɛ zz ) dxdydz dxdydz (10) ɛ V = ɛ xx + ɛ yy + ɛ zz + ɛ xx ɛ yy + ɛ xx ɛ zz + ɛ yy ɛ zz + ɛ xx ɛ yy ɛ zz (11) Para pequenas deformações podemos afirmar que: ɛ V = ɛ xx + ɛ yy + ɛ zz (12) Flávia Bastos RSMAT II 10/15

11 Deformação volumétrica em termos de tensão Usando a Lei de Hooke Generalizada: ɛ V = σ xx ν (σ yy+σ zz )+ σ yy ν (σ xx+σ zz )+ σ zz ν (σ xx+σ yy ) (13) Logo: e: ɛ V = 1 (σ xx + σ yy + σ zz ) 2ν (σ xx + σ yy + σ zz ) (14) ɛ V = 1 2ν (σ xx + σ yy + σ zz ) (15) Flávia Bastos RSMAT II 11/15

12 Deformação volumétrica em termos de tensão ou: ɛ V = 1 2ν trσ (16) com = σ xx + σ yy + σ zz. Observamos então que para tensores trσ com = 0 não ocorrem variações de volume no sólido. Somente trσ existe nestes casos mudança de forma. Flávia Bastos RSMAT II 12/15

13 Deformação volumétrica em termos de tensão Tendo em vista que todo tensor de tensões pode ser decomposto como: = σ h + σ (17) σ D onde trσ = 0 por definição, concluímos que a parcela (ou componente) D σ de um tensor de tensões só provoca (ou causa) variação D de forma (distorções) em volumes elementares em torno do ponto no qual atua. Flávia Bastos RSMAT II 13/15

14 xercício 8 Lei de Hooke Generalizada Mediu-se em torno de um ponto A, de um corpo, conforme apresentado na Figura... os comprimentos AB = 10.cm, AC = 3.cm e AD = 2.cm. Após terem sido feito estas medidas este corpo foi submetido a ação de cargas constatando-se as seguintes variações de comprimentos nestes segmentos: os segmentos AB e AC sofreram alongamentos de 0.02cm e 0.03mm respectivamente e o segmento AD sofreu um encurtamento de 0.08mm. Tomando a direção do segmento AB como direção x pede-se determinar as componentes do tensor de deformação no ponto A, as tensões σ xx, σ yy, τ xy. Dados = 210. MP a e ν = 0.3. Determine também a tensão normal ao plano da figura(σ z ). Flávia Bastos RSMAT II 14/15

15 xercício 8 Lei de Hooke Generalizada Flávia Bastos RSMAT II 15/15

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