Nota de aula 7 - Estado Triaxial de Tensões - Resistência dos Materiais II

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Baltazar Palma Maranhão
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1 Nota de aula 7 - Estado Triaxial de Tensões - Resistência dos Materiais II Flávia Bastos (retirado da apostila do Prof. Elson Toledo) MAC - Faculdade de Engenharia - UFJF o. semestre de 010 Flávia Bastos RESMAT II 1/5

2 Informações sobre este documento: Estes slides servem para auxiliar no desenvolvimento expositivo durante as aulas de resistência dos materiais II ministradas pela professora Flávia Bastos e são baseados na apostila do Prof. Elson Toledo. Flávia Bastos RESMAT II /5

3 são valores das tensões normais em torno de um ponto segundo planos onde não existem tensões tangenciais. Os planos nos quais estas tensões atuam são denominados de planos principais e as normais que definem estes planos são denominadas de direções principais. Flávia Bastos RESMAT II 3/5

4 Determinação das Suponha que ẽ seja uma direção principal. Então a tensão total neste plano é igual à tensão nornal neste plano, isto é: ρ n = Ñ (1) σ ρ e = σe = σ eẽ () onde designamos por σ e a tensão principal atuante neste plano principal. Logo: σe = σ eĩe e, com o tensor identidade Ĩ: ( ) σ e Ĩ e σ = 0 (3) (4) Flávia Bastos RESMAT II 4/5

5 Determinação das ( ) σ e Ĩ e σ = 0 Esta equação descreve um sistema de equações algébrico lineares homogêneo que, para ter solução diferente da trivial e = 0, requer que: det ( ou: σ σ e Ĩ σ xx σ e τ xy τ xz τ yx σ yy σ e τ yz τ zx τ zy σ zz σ e (5) ) = 0 (6) que resulta numa equação do 3 o grau na incógnita σ e. = 0 (7) Flávia Bastos RESMAT II 5/5

6 Determinação das σ 3 e I 1 σ e + I σ e I 3 = 0 (8) onde I 1, I e I 3 são os invariantes do tensor de tensões. I 1 = σ xx + σ yy + σ zz = trσ I = σ xx σ xy + σ xx σ xz + σ yy σ xy σ yy I 3 = σ xz σ zz σ xx σ xy σ xz σ xy σ yy σ yz σ xz σ yz σ zz σ yz = det σ σ yz σ zz Flávia Bastos RESMAT II 6/5

7 Determinação das Esta equação possui três raízes reais que são as tensões principais: σ e = σ e1 σ e = σ e σ e = σ e3 Para cada uma destas soluções podemos calcular a direção do plano associada a cada tensão principal. Assim: ( ) σ e1 Ĩ e 1 = e 1 determinado σ 0 ( ) σ e Ĩ e = e determinado σ 0 ( ) σ e3 Ĩ e 3 = e 3 determinado σ 0 Flávia Bastos RESMAT II 7/5

8 Ortogonalidade das Direções { σe1, e Sejam 1 σ e, e direções. Podemos afirmar que: { σe1 = σ e1 e 1 σe Pré-multiplicando (a) por e duas tensões principais e suas respectivas (a) = σ e e (b) T obtém-se: e T e 1 = σ e1 e σ T e 1 Transpondo ambos os termos: e T 1 σ T e = σ e1 e T 1 e Flávia Bastos RESMAT II 8/5

9 Ortogonalidade das Direções e T 1 σ T e = σ e1 e T 1 e Como = σ σt, utilizando (b): o que resulta em: e T 1 σ e e = σ e1 e T 1 e e T 1 e (σ e σ e1 ) = 0 Como em geral σ e σ e1, devemos ter que: e T 1 e = 0 e 1 e = 0 logo e 1 e Flávia Bastos RESMAT II 9/5

10 Ortogonalidade das Direções Analogamente podemos ver que e 1 e 3 e e e 3, de onde se conclui que as direções principais em torno de um ponto são ortogonais. Flávia Bastos RESMAT II 10/5

11 Apresentamos agora o caráter de valor extremo (máximo ou mínimo) das tensões principais em torno de um ponto. O tensor de tensões num ponto descrito segundo suas direções principais é dado por: σ13 = σ σ σ 3 (9) Flávia Bastos RESMAT II 11/5

12 O vetor tensão total num plano que tem sua normal com relação a estas direções principais indicado por Ñ vale: Logo: ρ n = σ 13 Ñ com Ñ = l m n (10) ρ n = { σ 1 l σ m σ 3 n } (11) A tensão normal neste plano vale: σ n = ρ n Ñ = σ 1 l + σ m + σ 3 n (1) Flávia Bastos RESMAT II 1/5

13 Como l = 1 m n, podemos escrever: σ n = (1 m n )σ 1 + m σ + n σ 3 (13) Para obter os valores máximos (extremos) de σ n { σn m = 0 m(σ σ 1 ) = 0 σ n n = 0 n(σ 3 σ 1 ) = 0 (14) Obtemos como solução: m = 0; n = 0 e l = 1 l = ±1. Logo a direção l = ±1 é uma direção na qual o valor de σ n é um extremo mostrando com isto que σ 1 é um destes valores. Flávia Bastos RESMAT II 13/5

14 Podemos eliminar m e n e obter resultados similares o que mostra que σ 1, σ e σ 3 são os valores extremos das tensões normais em torno de um ponto. Flávia Bastos RESMAT II 14/5

15 Tensão tangencial: τn = ρ n σn (15) τ n = (σ 1l + σ m + σ 3n ) (σ 1 l + σ m + σ 3 n ) (16) Como l = 1 m n : τ n = (1 m n )σ 1+σ m +σ 3n [(1 m n )σ 1 +σ m +σ 3 n ] (17) Flávia Bastos RESMAT II 15/5

16 τ n = (1 m n )σ 1+σ m +σ 3n [(1 m n )σ 1 +σ m +σ 3 n ] Valores extremos : (18) τ m = 0 τ n = 0 τ τ m = [(1 m n )σ 1 + σ m + σ 3 n ]( mσ 1 + mσ ) mσ1 + mσ τ τ m = m(σ σ 1) + [m (σ σ 1 ) + n (σ 3 σ 1 ) + σ 1 ] Flávia Bastos RESMAT II 16/5

17 Igualada a zero: m(σ σ 1) m 3 (σ σ 1 ) mn (σ σ 1 )(σ 3 σ 1 ) mσ 1 (σ σ 1 ) = 0 m(σ + σ 1 )(σ σ 1 ) m 3 (σ σ 1 ) mn (σ σ 1 )(σ 3 σ 1 ) mσ 1 (σ σ 1 ) = 0 Flávia Bastos RESMAT II 17/5

18 m(σ + σ 1 )(σ σ 1 ) m 3 (σ σ 1 ) mn (σ σ 1 )(σ 3 σ 1 ) mσ 1 (σ σ 1 ) = 0 Dividindo todos os termos por (σ σ 1 ) e colocando m em evidência: [ ] (σ σ 1 ) m m (σ σ 1 ) n (σ 3 σ 1 ) = 0 (19) Flávia Bastos RESMAT II 18/5

19 Derivando com relação a n τ τ n = nσ 1 + nσ3 [ nσ 1 + nσ 3 ] ( 1 m n ) σ 1 +m σ + n σ 3 = n ( σ3 σ1 ) nm (σ 3 σ 1 ) (σ σ 1 ) n 3 (σ 3 σ 1 ) nσ 1 (σ 3 σ 1 ) Que dividida por (σ 3 σ 1 ) e igualada a zero nos fornece: n(σ 3 + σ 1 ) nm (σ σ 1 ) n 3 (σ 3 σ 1 ) nσ 1 = 0 Ou: [ ] (σ3 σ 1 ) n m (σ σ 1 ) n (σ 3 σ 1 ) = 0 (0) Flávia Bastos RESMAT II 19/5

20 Temos então o seguinte sistema de equações não lineares: [ ] m (σ σ 1 ) m (σ σ 1 ) n (σ 3 σ 1 ) = 0 [ ] n (σ3 σ 1 ) m (σ σ 1 ) n (σ 3 σ 1 ) = 0 l + m + n = 1 Uma solução deste sistema é dada por: m = 0; n = 0 l = ±1 Estes são os cossenos diretores de um dos planos principais cuja a tensão tangencial é nula. Flávia Bastos RESMAT II 0/5

21 Uma outra solução com m = 0 que satisfaz a primeira destas equações é obtida substituindo na parcela entre parênteses da segunda equação: cuja solução é: (σ 3 σ 1 ) n (σ 3 σ 1 ) = 0 n = 1 n = ± Utilizando a terceira equação obtemos: l = 1 l = ± Flávia Bastos RESMAT II 1/5

22 Temos então como solução geral deste sistema: { m = 0; l = ± ; n = ± Procedendo de modo análogo eliminando-se m e n na equação de determinação { de τ n, obtemos outro conjunto de soluções: n = 0; m = ± ; l = ± { l = 0; m = ± ; n = ± Cada conjunto destes valores define um plano bissetor dos planos principais em torno do ponto. Flávia Bastos RESMAT II /5

23 Cálculo das tensões tangenciais extremas. Determinemos o valor de τ n para m = 0; l = ± σ Como σ13 = 0 σ σ 3 Ñ = 0 e a direção possui, o vetor tensão total será: { ρ n = Ñ = σ σ 1 0 Cujo módulo vale: ρ n = σ 1 + σ 3 σ 3 Flávia Bastos RESMAT II 3/5 ; n = ±. } (1) ()

24 A tensão normal neste plano vale: σ n = ρ n Ñ = σ 1 l + σ m + σ 3 n = σ 1 + σ 3 Daí obtemos a tensão tangencial extrema que vale: (3) τn = ρ n σn (4) ( σ τn = 1 + σ3 ) ( ) σ1 + σ 3 (5) ( ) σ1 σ 3 τ n = ± (6) Flávia Bastos RESMAT II 4/5

25 Com as outras soluções obtemos: ( ) Para: l = 0; m = ± ; n = ± τ σ σ 3 n = ± (7) ( ) Para: n = 0; l = ± ; m = ± τ σ1 σ n = ± (8) Flávia Bastos RESMAT II 5/5

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