Dinâmica Estrutural. Múltiplos Graus de Liberdade Equações de Movimento e Soluções. Ramiro Brito Willmersdorf

Transcrição

1 Dinâmica Estrutural Múltiplos Graus de Liberdade Equações de Movimento e Soluções Ramiro Brito Willmersdorf ramiro@willmersdorf.net DEMEC/UFPE

2 Equações de Movimento Para sistemas não amortecidos e sem forças externas Esta equação descreve o problema de vibração livre para um sistema com múltiplos graus de liberdade.

3 Equações de Movimento Sabe-se que para vibração livre, a solução tem a forma Isto significa que a razão entre quaisquer duas coordenadas é constante!

4 Equações de Movimento A forma da configuração do sistema não se altera, apenas a amplitude! Este vetor é um modo de vibração do sistema.

5 Equações de Movimento Solução Inserindo a resposta na equação de movimento

6 Equações de Movimento Solução Isolando as funções do tempo

7 Equações de Movimento Solução Como os lados da equação são funções de coisas diferentes, tem que ser igual a uma constante.

8 Equações de Movimento Solução Na forma matricial Supondo uma forma específica para a solução

9 Equações de Movimento Solução Todas as coordenadas executam movimento harmônico; Mesma frequência e mesmo ângulo de fase; A frequência não é arbitrária! Deve obedecer às equações de movimento;

10 Equações de Movimento Solução Este sistema tem solução apenas se o determinante da matriz de coeficientes for não nulo! ω é uma frequencia natural do sistema

11 Equações de Movimento Solução A equação característica é um polinômio de grau n com n soluções; As raízes são reais e positivas quando as matrizes de massa e rigidez são positiva definidas; As raízes quadradas das raízes do polinômio característico são as frequências naturais; As frequências naturais são normalmente distintas, mas podem se repetir; A frequência mais baixa é a frequência fundamental;

12 Equações de Movimento Solução IMPORTANTE: Exceto para problemas de pequeno porte, com 2 ou 3 graus de liberdade, escrever explicitamente e calcular as raízes do polinômio característico é impraticável computacionalmente.

13 Solução do Problema de Autovalores Eq. de movimento para o sistema não amortecido

14 Solução do Problema de Autovalores Pré-multiplicando pelo inverso da matriz de rigidez Matriz Dinâmica

15 Solução do Problema de Autovalores Para que o sistema tenha solução não trivial, o determinante característico tem que ser não nulo. Para problemas de grande porte, isto dever ser resolvido com algum algoritmo específico para cálculo de autovalores.

16 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo

17 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Equações de Movimento Para vibração livre

18 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Problema de Autovalor A matriz dinâmica é com

19 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Problema de Autovalor Assim: e

20 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Problema de Autovalor Como temos com

21 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Resolvendo a equação característica:

22 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Para cada frequência natural, resolvemos os modos normais

23 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Primeiro modo:

24 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução O sistema é homogêneo, com três equações e três incógnitas; Tem solução não trivial, pois seu determinante é não nulo! A ideia é exprimir duas incógnitas em função da remanescente;

25 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução No caso cuja solução é e o primeiro modo normal é então

26 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Segundo modo

27 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Segundo modo

28 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Terceiro modo

29 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução Terceiro modo

30 Frequências Naturais e Modos Normais Exemplo Solução

31 Ortogonalidade dos Modos Normais Considerando uma frequência natural e seu modo normal Para um outro par Pré multiplicando pelo outro modo, transposto

32 Ortogonalidade dos Modos Normais Subtraindo as equações como as frequências naturais são diferentes e também

33 Ortogonalidade dos Modos Normais Os modos normais são ortogonais em relação às matrizes de massa e rigidez.