Revisão III: Dinâmica Estrutural Linear: Superposição Modal

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1 Revisão III: Dinâmica Estrutural Linear: Superposição Modal

2 Como calcular a parcela elástica da posição do elemento de massa: p d Hipótese: flexibilidade moderada pequenos deslocamentos elásticos comportamento linear element dm p d reference frame fixed on the undeformed structure (point C) p r x C C z C y C p r M undeformed structure x M z M mean axes (floating) O M ym deformed structure superposição modal

3 Vamos começar de maneira bem simples: idealização da viga engastada com massas concentradas e molas de torção: (retirada de Schmidt, D. K. Modern Flight Dynamics, 2012)

4 Na figura: m i : massas concentradas k i : rigidez torsional das molas l i : comprimentos das hastes rígidas conectando as massas m i θ i : deslocamentos angulares das hastes devido à flexibilidade da viga Note que a viga foi representada por apenas duas massas, duas hastes e duas molas. A fidelidade da idealização aumentaria com o número de elementos utilizados.

5 Dado um sistema representado por n graus de liberdade q j, j = 1,..., n, as equações do movimento podem ser expressas das seguinte forma: ( ) d L L = Q j j = 1,..., n dt q j q j L: Lagrangeano (T U ) T: energia cinética U: energia potencial Q j : força generalizada atuando no j ésimo grau de liberdade Q j = i ( F i r ) i q j

6 assumiremos as equações para a aplicação maiores detalhes: livro do Goldstein para o melhor entendimento da Mecânica Lagrangeana, recomenda-se o curso FF-207: Mecânica Anaĺıtica

7 Voltando para o problema da viga engastada: Energia potencial de deformação da viga: U = 1 2 { } ( T [ ] { } k1 θ1 2 + k 2 θ2) 2 1 θ1 k1 0 θ1 = 2 θ 2 0 k 2 θ 2 Energia cinética de deformação da viga: T = 1 2 { } ( m1 ż1 2 + m 2 ż2 2 ) T [ ] { } 1 ż1 m1 0 ż1 = 2 ż 2 0 m 2 ż 2

8 Os graus de liberdade z 1, z 2, e θ 1, θ 2, estão conectados. Para pequenos deslocamentos elásticos (dinâmica estrutural linear), podemos assumir pequenos ângulos e, portanto, escrever: z 1 = l 1 sin θ 1 l 1 θ 1 z 2 = (l 1 + l 2 ) sin θ 1 + l 2 sin θ 2 (l 1 + l 2 )θ 1 + l 2 θ 2 O de forma matricial: { z1 z 2 } [ = l 1 0 (l 1 + l 2 ) l 2 ] { } θ1 θ 2

9 Escolhendo-se os graus de liberdade θ 1 e θ 2 como coordenadas generalizadas para descrever o sistema, a aplicação da equação de Lagrange leva a (..., aplique no aconchego do seu lar e verifique a expressão abaixo): [ m1l m 2(l 1 + l 2) 2 m 2l 2(l 1 + l 2) m 2l 2(l 1 + l 2) m 2l 2 2 ] { } [ θ1 k1 0 + θ 2 0 k 2 ] { θ1 θ 2 } = { Q1 Q 2 } ou de forma mais geral: M q + Kq = Q M: matriz de massa do sistema K: matriz de rigidez do sistema

10 Considere o problema de vibração livre: M q + Kq = 0 Como M é uma matriz positivo-definida, M 1 existe. Portanto, pode-se escrever: q + M 1 Kq = 0 Assumindo que a solução do problema pode ser expressa da forma: q 2 1 = Φ 2 2 η 2 1 (t) Φ 2 2 dependente apenas das propriedades da viga η 2 1 função do tempo

11 Substituindo q na equação do movimento: ou Φ η + M 1 KΦη = 0 η + Φ 1 M 1 KΦη = 0 Se Φ for a matriz que contém os autovetores da matriz M 1 K, então o produto: [ ] Φ 1 M 1 λ1 0 KΦ = Λ = 0 λ 2 é a matriz diagonal dos autovalores de M 1 K.

12 Portanto, selecionando a base modal para escrever a solução do problema, este se resume a: η Λ 2 2 η 2 1 = 0 que também pode ser expressa por duas equações desacopladas: ou, denominando λ i = ω 2 i : η i + λ i η i = 0 η i + ω 2 i η i = 0 Estas equações têm solução da forma: η i (t) = A i cos (ω i t + Γ i )

13 η i (t) = A i cos (ω i t + Γ i ) As constantes A i e Γ i podem ser encontradas da condição inicial do problema. PERGUNTA: e para encontrar a solução nas variáveis físicas do sistema? q 2 1 (t) = Φ 2 2 η 2 1 (t) = 2 v i η i (t) i=1

14 EXEMPLO: considere o problema apresentado com valores unitários para m 1, m 2, l 1, l 2, k 1, k 2. Encontre as expressões θ 1 (t) e θ 2 (t). Procedimento: encontre as matrizes M, K, e M 1 K encontre os autovalores e autovetores de M 1 K encontre η 1 (t) e η 2 (t) encontre θ 1 (t) e θ 2 (t)

15 Para o problema: [ ] 5 2 M = 2 1 K = Modo 1: λ 1 = s 2, ω 1 = [ rad/s, ] v 1 = rad Modo 2: λ 2 = s 2, ω 1 = [ rad/s, ] v 2 = rad [ ] M 1 K = [ ]

16 Para o aconchego do lar: Considere uma viga livre, idealizada com três massas (m 1, m 2, m 3 ) e uma mola torsional conectada à massa central de rigidez k. Os braços das massas são l 1 entre m 1 e m 2, e l 2 entre m 2 e m 3. Encontre as equações do movimento aplicando a mecânica Lagrangeana, escolhendo como coordenadas generalizadas os deslocamentos verticais z 1, z 2 e z 3. Diga quais são as matrizes de massa e rigidez do problema. Escreva a solução numérica do problema, considerando unitários os parâmetros acima. Esboce graficamente os autovetores (formas modais) da viga livre.

17 Sistemas não-amortecidos Considere um problema de vibração livre de n graus de liberdade. Sendo q o vetor que contém os deslocamentos físicos do sistema, e M e K as matrizes n n de massa e rigidez respectivamente. Logo: A solução pode ser escrita na forma: M q + Kq = 0 q n 1 = Φ n n η n 1 (t) onde Φ n n é a matriz de autovetores da matriz M 1 K.

18 Sistemas não-amortecidos Sendo Φ i e λ i um par de autovetor e autovalor correspondente da matriz M 1 K, então: ou M 1 KΦ i = λ i Φ i KΦ i = λ i MΦ i Demonstremos algumas propriedades importantes:

19 Sistemas não-amortecidos (1) os autovalores são números reais positivos: Pré-multiplicando por Φ i T KΦ i = λ i MΦ i Φ i T KΦ i = λ i Φ i T MΦ i Conforme comentado anteriormente, M e K são matrizes positivo-definidas, e portanto, é positivo. λ i = Φ i T KΦ i Φ i T MΦ i

20 Sistemas não-amortecidos (2) os autovetores são vetores reais: KΦ i = λ i MΦ i Assumindo, por absurdo, que Φ i seja complexo, podendo ser escrito como Logo: Φ i = Φ i a + iφ i b K (Φ i a + iφ i b ) = λ i M (Φ i a + iφ i b ) Separando-se as partes real e imaginária da equação, isto nos levaria a concluir que ambos Φ i a e Φ i b são autovetores relacionados a λ i. Logo, Φ i é real.

21 Sistemas não-amortecidos (3) os autovetores são ortogonais com relação às matrizes de massa e rigidez: Considere dois pares i e j de autovetores e autovalores. Então: KΦ i = λ i MΦ i KΦ j = λ j MΦ j Pré-multiplicando, respectivamente, por Φ j T e Φ i T : Φ j T KΦ i = λ i Φ j T MΦ i Φ i T KΦ j = λ j Φ i T MΦ j

22 Sistemas não-amortecidos Repetindo a primeira equação, e transpondo a segunda: Φ j T KΦ i = λ i Φ j T MΦ i Φ T j KΦ i = λ j Φ T j MΦ i Subtraindo uma da outra: ] (λ i λ j ) [Φ T j MΦ i = 0 Logo: ] [Φ T j MΦ i = 0 para λ i λ j ] [Φ T j MΦ i 0 para λ i = λ j O mesmo pode ser concluído com relação à matriz de rigidez K.

23 Sistemas não-amortecidos Da última propriedade de ortogonalidade: Φ T MΦ = µ Φ T KΦ = γ onde as matrizes µ e γ são diagonais. µ: matriz de massa generalizada γ: matriz de rigidez generalizada

24 Sistemas amortecidos M q + C q + Kq = F(t) Aplicando-se a superposição modal, assume-se solução escrita utilizando a base modal do problema de vibração livre não-amortecido (anteior): Logo: q = Φη MΦ η + CΦ η + KΦη = F(t) Φ T MΦ η + Φ T CΦ η + Φ T KΦη = Φ T F(t) µ η + β η + γη = Q(t)

25 Sistemas amortecidos µ η + β η + γη = Q(t) µ: matriz de massa generalizada, DIAGONAL γ: matriz de rigidez generalizada, DIAGONAL β: matriz de amortecimento generalizada Q: vetor de forças generalizadas Para estruturas aeronáuticas, o efeito do amortecimento estrutural é pequeno comparado com os termos de rigidez e inércia. Faz-se a simplificação, assumindo-se a matriz β diagonal. ou µ ii η i + β ii η i + γ ii η i = Q i (t) η i + 2ξ i ω n,i η i + ω 2 n,iη i = 1 µ ii Q i (t)