Prof. MSc. David Roza José -

Transcrição

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2 2/14 Introdução Conforme mencionado anteriormente, um sistema com n graus de liberdade necessita de n coordenadas independentes para descrever sua configuração e movimento. Normalmente essas coordenadas são quantidades geométricas independentes medidas da posição de equilíbrio do corpo vibrante. Entretanto, é possível selecionar um conjunto de n coordenadas distintas para descrever o sistema. Esses diferentes conjuntos de n coordenadas são chamados de coordenadas generalizadas. Como exemplo, considere o torno mostrado e sua representação simplificada.

3 3/14 Introdução Poderíamos adotar quaisquer um destes grupamentos de coordenadas: 1 As deflexões x 1 (t) e x 2 (t) dos dois extremos do torno AB; 2 A deflexão x(t) do CG e a rotação θ(t); 3 A deflexão x 1 (t) da extremidade A e a rotação θ(t); 4 A deflexão do ponto P localizado à uma distância e do CG e a rotação θ(t).

4 4/14 Acoplamento de Coordenadas Assim, quaisquer um desses conjuntos de coordenadas representam as coordenadas generalizadas do sistema. Derivaremos as equações de movimento do torno utilizando dois conjuntos distintos começando com x CG (t) e θ(t) - e para ilustrar o conceito de acoplamento de coordenadas.

5 5/14 Acoplamento de Coordenadas O conjunto de equações pode ser reorganizado da seguinte forma: Perceba que o acoplamento entre as coordenadas x e θ ocorre nos termos (k 1 l 1 -k 2 l 2 ). As equações em x e θ tornam-se independentes entre si se o termo de acoplamento (k 1 l 1 -k 2 l 2 ) é igual a zero, ou seja, se k 1 l 1 =k 2 l 2. Se o acoplamento existe, o movimento de AB é rotacional e translacional ao mesmo tempo quando um deslocamento ou torque é aplicado ao CG do do corpo como uma condição inicial. Como o acoplamento se dá dentro da matriz de rigidez, chama-se este acoplamento de elástico ou estático.

6 6/14 Acoplamento de Coordenadas Caso utilizemos as coordenadas y(t) e θ(t) como coordenadas generalizadas, as equações de movimento para a translação e rotação tornam-se:

7 7/14 Acoplamento de Coordenadas Caso coloquemos as equações no formato matricial: Ambas as equações de movimento contém y e θ, o quê as torna acopladas. Elas contém acoplamento estático ou elástico (matriz de rigidez) e também acoplamento dinâmico ou de inércia (matriz massa). Neste caso, se o torno move-se verticalmente para cima ou para baixo, a força de inércia que age no CG do corpo provoca um movimento na direção θ; em virtude do momento mӱe. De maneira similar, um movimento na direção θ induz um movimento vertical na direção y devido à força mӫe.

8 8/14 Acoplamento de Coordenadas 1 No caso mais geral, um sistema viscosamente amortecido com dois graus de liberdade terá a seguinte equação de movimento: Essa equação revela o tipo de acoplamento presente. Se a matriz de rigidez não for diagonal, o sistema possui um acoplamento elástico ou estático. Se a matriz de amortecimento não for diagonal, o sistema possui acoplamento viscoso ou de velocidade. Finalmente, se a matriz de massa não for diagonal, o sistema possui acoplamento de massa ou inercial. Tanto o acoplamento viscoso como o de massa encaixam-se na categoria de acoplamento dinâmico. 2 O sistema terá sempre a mesma resposta para a mesma excitação, independente das coordenadas utilizadas. A escolha de coordenadas é mera conveniência. 3 Nota-se que a natureza do acoplamento depende das coordenadas utilizadas, e não é uma propriedade inerente ao sistema. É possível escolher um sistema de coordenadas q 1 (t) e q 2 (t) que forneça equações de movimento desacopladas tanto estaticamente como dinamicamente. Tais coordenadas são chamadas de coordenadas principais ou naturais. A maior vantagem de utilizá-las é obter equações de movimento independentes.

9 9/14 Coordenadas Principais Será ilustrado o procedimento para se encontrar as coordenadas principais de um sistema. Tomemos como exemplo o sistema massa-mola ilustrado. Este problema já foi tratado anteriormente e suas equações de movimento são dadas por: Define-se então um novo conjunto de coordenadas, dadas por q 1 (t) e q 2 (t):

10 10/14 Coordenadas Principais Como q 1 (t) e q 2 (t) são funções harmônicas, suas equações de movimento podem ser escritas como: Assim, essas equações representam um sistema com 2 GL cujas frequências naturais são (k/m) 1/2 e (3k/m) 1/2. Como inexiste acoplamento estático ou dinâmico das equações, q 1 (t) e q 2 (t) são as coordenadas principais. Através dela podemos escrever:

11 11/14 Coordenadas Principais Resolvendo-se o sistema: Encontra-se as coordenadas principais:

12 12/14 Exemplo 15.1 Encontrar as frequências angular e linear do movimento de um automóvel. m = 1000 kg raio de giração r = 0.9 m l 1 = 1.0 m l 2 = 1.5 m k f = 18 kn/m k r = 22kN/m

13 13/14 Exemplo 15.2 Encontre as frequências naturais e razões de amplitude do sistema mostrado.

14 14/14 Exemplo 15.3 Um trailer de massa M, conectado a uma parede através de uma mola de rigidez k e um amortecedor de amortecimento c desliza numa superfície sem atrito. Uma barra rígida uniforme, presa por uma articulação simples em O, possui comprimento l e massa m. Derive as equações de movimento do sistema sob as forças aplicadas F(t) e M t (t) e discuta a natureza do acoplamento presente.