Carga axial. Princípio de Saint-Venant. Princípio de Saint-Venant

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1 Capítulo 4: Carga axial Adaptado pela prof. Dra. Danielle Bond Princípio de Saint-Venant Anteriormente desenvolvemos os conceitos de: Tensão (um meio para medir a distribuição de força no interior de um corpo); Deformação (um meio para medir a deformação geométrica de um corpo); Relação entre tensão e deformação depende do tipo de material (Lei de Hooke). Com essa idéia em mente, considere o modo como uma barra retangular que se deforma elasticamente quando submetida a uma força P aplicada ao longo do eixo de seu centróide. Princípio de Saint-Venant Observe a deformação localizada que ocorre em cada extremidade. Esse efeito tende a diminuir conforme as medições são feitas cada vez mais distante das extremidades. Visto que a deformação está relacionada com a tensão, em C-C a tensão quase alcança um valor uniforme.

2 Princípio de Saint-Venant O princípio Saint-Venant afirma que a deformação e tensão localizadas nas regiões de aplicação de carga ou nos apoios tendem a nivelar-se a uma distância suficientemente afastada dessas regiões. Como regra geral, esta distância é no mínimo igual à largura da barra. Princípio de Saint-Venant Esse princípio afirma que a tensão e a deformação produzidas em pontos de um corpo suficientemente distantes da região da aplicação da carga serão iguais à tensão e à deformação produzidas por quaisquer carregamentos aplicados que tenham a mesma resultante estaticamente equivalente e sejam aplicados ao corpo dentro da mesma região. Deformação elástica de um elemento submetido a carga axial Usando a lei Hooke e as definições de tensão e deformação, somos capazes de determinar a deformação elástica de um elemento submetido a cargas axias. Suponha um elemento sujeito a cargas, P x dδ e ε A x dx εe L P A 0 x x dx E = deslocamento de um ponto na barra relativo a outro L = distância original P(x) = força axial interna na seção A(x) = área da seção transversal da barra E = módulo de elasticidade

3 Carga constante e área de seção transversal Quando uma força constante externa é aplicada a cada extremidade da barra, PL AE Convenção de sinais Força e deslocamento são positivos se provocarem tração e alongamento; e negativos causarão compressão e contração. Exemplo As forças axiais internas P são determinadas pelo método das seções para cada segmento: Exemplo 4.1 A barra de aço A-36 mostrada na Figura é composta por dois segmentos, AB e BD, com áreas de seção transversal AAB = 600mm 2 e ABD = 1.200mm 2, respectivamente. Determine o deslocamento vertical da extremidade A e o deslocamento de B em relação a C. Eaço= 210GPa

4 Exemplo 4.2 O conjunto é composto por um tubo de alumínio AB com área de seção transversal de 400 mm 2. Uma barra de aço com 10 mm de diâmetro está acoplada a um colar rígido e que passa pelo tubo. Se uma carga de tração de 80 kn for aplicada à barra, determine o deslocamento da extremidade C da barra. (E aço = 200 GPa, E al = 70 GPa ) Exemplo 4.2 Diagrama de corpo livre do tubo: reação da porca à tração da barra Diagrama de corpo livre da barra: tração da barra Exemplo 4.3 Uma viga rígida AB está apoiada nos dois postes curtos mostrados na Figura. AC é feito de aço e tem diâmtero de 20mm, e BD é feito de alumínio e tem diâmetro de 40mm. Determine o deslocamento do ponto F em AB se uma carga vertical de 90kN for aplicada nesse ponto. Considere Eaço = 200GPa, EAl = 70GPa.

5 Exemplo 4.4 Um elemento é feito de um material com peso específico e módulo de elasticidade E. Se esse elemento tiver forma de um cone, determine até que distância sua extremidade se deslocará sob a força da gravidade, quando suspenso na posição vertical. Resposta:

6 Princípio da superposição Princípio da superposição é frequentemente usado para determinar a tensão ou o deslocamento em um ponto de um elemento quando este estiver sujeito a um carregamento complicado. Pode-se determiná-los por cada componente da carga agindo separadamente sobre o elemento. Então a tensão ou deslocamento resultante é determinado pela soma algébrica das contribuições causadas por cada uma das componentes das cargas. Para aplicar o princípio da superposição, duas condições devem ser válidas: Princípio da superposição 1. A carga deve estar relacionada linearmente com a tensão ou deslocamento a ser determinado: P A PL AE 2. A carga não deve provocar mudanças significativas na geometria ou configuração original do elemento. Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Quando uma barra está presa somente em uma extremidade e é submetida a uma força axial, a eq. de equilíbrio da força aplicada ao longo do eixo da barra é suficiente para determinar a reação no suporte (estaticamente determinado). Entretanto, se a barra estiver presa em ambas as extremidades, então aparecem 2 reações axiais desconhecidas (estaticamente indeterminado).

7 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado A barra é estatisticamente indeterminada quando as equações de equilíbrio não são suficientes para determinar as reações. Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Para estabelecer uma equação adicional necessária para a solução, temos que considerar uma equação adicional que indique as condições de deslocamento: condição de compatibilidade ou condição cinemática. Como os apoios são fixos: Elemento com carga axial estaticamente indeterminado (1) é tração: + é compressão: - (2) (1) e (2) :

8 Elemento com carga axial estaticamente indeterminado Primeiro: a condição de equilíbrio: Segundo: a condição de compatibilidade: Exemplo 4.5 A haste de aço tem diâmetro de 5 mm e está presa à parede fixa em A. Antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede B e a haste. Determine as reações em A e B se a haste for submetida a uma força axial P = 20 kn. Despreze o tamanho do colar em C. (E aço = 200 GPa) Exemplo 4.5

9 Exemplo 4.6 O poste de alumínio mostrado na Fig. é reforçado com um núcleo de latão, Se esse conjunto suportar uma carga de compressão axial resultante P=45kN, aplicada na tampa rígida, determine a tensão normal média no alumínio e no latão. Considere EAl=70GPa e Elat=105GPa. Exemplo 4.6 Al = 5,09MPa lat = 7,64MPa Método de análise de força para elementos carregados axialmente Também é possível resolver problemas estaticamente indeterminados escrevendo a equação de compatibilidadelevando em consideração a superposição das forças que agem no diagrama de corpo livre: método de análise de flexibilidade ou de força.

10 Método de análise de força para elementos carregados axialmente Neste caso, para escrever a equação de compatibilidade é necessário escolher um dos apoios como redundante. Indica que o apoio não é necessário para manter a barra em equilíbrio estável, e portanto quando ele é retirado a barra torna-se estaticamente determinada. Escolher qualquer um dos apoios como redundante: anula temporariamente o efeito que ele causa Método de análise de força para elementos carregados axialmente + Método de análise de força para elementos carregados axialmente Quando as duas cargas forem superpostas: não ocorre nenhum deslocamento em B Esta equação representa a equação de compatibilidade para deslocamentos no ponto B

11 Método de análise de força para elementos carregados axialmente + P traciona o segmento Lac Fb comprime o segmento L Método de análise de força para elementos carregados axialmente Primeiro: a condição de compatibilidade: Segundo: a condição de equilíbrio: Exemplo 4.9 A haste de aço A-36 tem diâmetro de 5 mm. Está presa à parede fixa em A e, antes de ser carregada, há uma folga de 1 mm entre a parede em B e a haste. Determine as reações em A e B. E=200GPa

12 Tensão térmica T L T Uma mudança na temperatura pode provocar alterações nas dimensões de um material: dilatação e contração Se o material for homogêneo e isotrópico, T TL = coeficiente linear de expansão térmica, propriedade do material = variação na temperatura do elemento = comprimento inicial do elemento = variação no comprimento do elemento Tensão térmica A mudança no comprimento de um elemento estaticamente determinado pode ser calculado diretamente pela eq. T TL Se o elemento for estaticamente indeterminado, esses deslocamentos térmicos podem ser restringidos pelos apoios, o que produz tensões térmicas que devem ser consideradas no projeto. O cálculo destas tensões térmicas pode ser feito pelos métodos anteriores. Exemplo 4.10 A barra de aço A-36 mostrada na figura está restringida para caber extamente entre os dois suportes fixos quando T1= 30 C. Se a temperatura aumentar até T2=60 C. Determine a tensão térmica normal média desenvolvida nas barra. = 12x10-6 / C, Diagrama de corpo livre Apoio Redundante E=200GPa 72MPa

13 Exemplo 4.12 Uma barra rígida está presa à parte superior de três postes feitos de aço A-36 e alumínio 2014-T6. Cada um dos postes tem comprimento de 250 mm quando não há nenhuma carga aplicada à barra e a temperatura é de T 1 = 20 C. Determine a força suportada por cada poste se a barra for submetida a um carregamento distribuído uniformemente de 150 kn/m e a temperatura aumentar até T 2 = 80 C. Eaço=200GPa e Eal=73,1GPa; aço = 12x10-6 / C, al = 23x10-6 / C 2Faço + Fal 90k=0 Faço=-16,4kN Fal= 123kN Exemplo 4.11 Um tubo de alumínio 2014-T6 com área de seção transversal de 600mm2 é utilizado como luva para um parafuso de aço A-36 com área de seção transversal de 400mm2, figura. Quando a temparatura é T1 = 15 C, a porca mantém o conjunto em uma posição precisa, de tal modo que a força axial no parafuso é desprezível. Se a temperatura aumentar para T2 = 80 C, determine a tensão normal média no parafuso e na luva. aço = 12x10-6 / C, al = 23x10-6 / C