Pesquisa e Ação V4 N2: Novembro de 2018 ISSN

Transcrição

1 Resumo Pesquisa e Ação V4 N: Novembro de 18 ISSN DESENVOLVIMENTO DE UM MODELO TEÓRICO-EXPERIMENTAL DE VALIDAÇÃO DO MÉTODO DE IDENTIFICAÇÃO MODAL DO AJUSTE DO CÍRCULO Fábio Xavier de Melo1 Este artigo apresenta a aplicação do método de identificação modal do ajuste do círculo a uma viga livrelivre ensaiada experimentalmente. Para validar o método, primeiramente este foi aplicado a um sistema massa-mola-amortecedor com três graus de liberdade. Através de simulações foi possível calcular as frequências naturais e os fatores de amortecimento modais teóricos para o sistema com três graus de liberdade e compará-los com os parâmetros obtidos através do método de ajuste do círculo. Os resultados apresentaram uma elevada concordância, possibilitando que o método fosse aplicado aos dados experimentais da viga. Palavras-chave: análise modal, ajuste do círculo, identificação modal. 1 Introdução A vibração é um fenômeno frequentemente encontrado em estruturas mecânicas e que normalmente ocasiona problemas estruturais em máquinas e equipamentos. Estudos teóricos e experimentais na área de vibração contribuem para avaliação do comportamento dinâmico de estruturas e para a busca de soluções que otimizem a dinâmica estrutural. A análise modal é uma das principais técnicas aplicada na avaliação do comportamento dinâmico de estruturas. Os trabalhos de pesquisa na área de análise modal são relacionados a um conjunto de técnicas no domínio da frequência ou do tempo que possibilitam a obtenção de modelos matemáticos aplicados à análise de estruturas em estudo, conforme apresentado na Figura 1 (EWINS, 1984). 1 Engenheiro Físico UFSCar (1), especialista em Engenharia de Segurança do Trabalho, mestre e doutor em Engenharia Mecânica pela Universidade de São Paulo (17). Atualmente é professor de pós-graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho no Centro Universitário das Faculdades Metropolitanas Unidas, professor ingressante A da Universidade Braz Cubas. eng_fabio_xavier@hotmail.come

2 Análise Modal Métodos de identificação Domínio do Tempo Domínio da Frequência Métodos Diretos Métodos Indiretos Métodos Diretos Métodos Indiretos MDOF MDOF SDOF MDOF MDOF SISO SIMO MIMO SISO MIMO SISO MIMO SISO SIMO MIMO SISO MIMO Figura 1: Técnicas de Identificação Modal 1. Método de Ajuste do Círculo Este método baseia-se no fato de que, na vizinhança de uma ressonância, o comportamento da maioria dos sistemas é dominado por um único modo. O método explora algumas propriedades do círculo modal, pois estas fornecem meios para extração dos parâmetros. No caso de uma estrutura com amortecimento viscoso utilizam-se as Funções de Resposta em Frequência na forma de mobilidades. Estas curvas quando apresentadas no diagrama de Nyquist, nas vizinhanças das ressonâncias, descrevem círculos. A partir do ajuste dos respectivos raios e centros destes círculos, é possível determinar os parâmetros modais. A Figura e as equações a seguir, ilustram a aplicação desta técnica de identificação modal. Figura : Método de Ajuste do Círculo

3 iωω Y ( ω) = (k ω m)+iωω (1) ω c R (Y ) = (k ω m ) + (ωc ) () ω c I ( Y ) = (k ω m ) +(ωc ) (3) Sendo o ângulo θ definido conforme ilustrado na Figura, temos que: tan θ = ω ( k 1 ω m ) = ( ω ω ) (4) ω c ξ ω ω Na qual, ω é a frequência de ressonância associada ao modo em questão. Tomando-se pontos do círculo que correspondam às frequências ω a e ω b, ou seja, um pouco menor e um pouco maior que a frequência de ressonância ω, obtém-se: tan θ b = 1 ( ω b ω ) ξ ω b ω (5) tan θ a = 1 ( ω a ω ) ξ ω a ω (6) Logo: ξ= ω a ω b ω ( ω a tan θ a ) +ω b tan θ b (7) Portanto, fica estabelecido um roteiro básico para o ajuste:

4 1. Seleção dos pontos a serem utilizados;. Ajuste do círculo, determinado a qualidade do ajuste; 3. Localização da frequência natural, obtendo-se uma estimativa para o amortecimento; 4. Cálculo de estimativas múltiplas de amortecimento e a dispersão associada; 5. Determinação das constantes modais, através da determinação dos raios dos círculos ajustados. Descrição do Modelo simulações. A Figura 3 apresenta o modelo, com três graus de liberdade, utilizado nas M 3 M M 1 Figura 3: Modelo utilizado nas simulações As matrizes de massa, rigidez e amortecimento do referido sistema são dadas respectivamente por (em unidades do SI): M=[ ] (8) K=[ ] (9) 6 6 C=[ 1 1 1] (1)

5 3 Resultados das simulações A Figura 5 apresenta as FRF (Funções de Resposta em Frequência) do sistema massa-mola-amortecedor obtidas excitando-se a massa M 1 e Medindo-se as Respostas nas massas M 1, M e M 3 respectivamente. 4 - H 11 [db] Frequência [Hz] H 1 [db] Frequência [Hz] - -4 H 31 [db] Frequência [Hz] Figura 5: Funções de Resposta em Frequência Através da análise da Figura 5 é possível determinar as frequências amortecidas do sistema pelo método peak picking (da SILVA, 8), que consiste em determinar

6 visualmente os valores delas em virtude das amplitudes de pico (ressonâncias do sistema). Os fatores de amortecimento teóricos forma obtidos através de simulações e os resultados estão apresentados na Tabela 1. Conforme apresentado na Tabela, é possível verificar que as frequências amortecidas apresentaram valores muito próximos de um FRF para outra, sendo assim, a aplicação do método de ajuste do círculo será feita apenas na FRF H 11. Tabela 1: Fatores de Amortecimento Teóricos 1 Modo Modo 3 Modo Fator de amortecimento Teórico [%],15,91,54 Tabela : Frequências Amortecidas observadas nas FRFs Freq. 1 [Hz] Freq. [Hz] Freq. 3 [Hz] H 11 18,5 43,58 73,1 H 1 18,5 43,6 73, H 31 18,5 43,6 73, A Figuras 6, 7 e 8 e as Tabelas 3, 4 e 5 apresentam os resultados obtidos da aplicação do método de ajuste do círculo para FRF H11 do sistema massa-molaamortecedor..4 Nyquist -5 1 Pico - H11 Part Imaginária Part Real Ganho [db] FRF - Ajuste do Círculo FRF - Teórica Frequência [Hz] Figura 6: resultado do Método de Ajuste do Círculo para o 1 Pico H11

7 Tabela 3: Parâmetros Modais 1 Pico. Frequência Amortecida [Hz] 18,4389 Fator de Amortecimento [%], Nyquist 1 FRF - Ajuste do Círculo FRF - Teórica Pico - H11 Parte Imaginária 4 3 Ganho [db] Parte Real Freqência [Hz] Figura 7: resultado do Método de Ajuste do Círculo para o Pico H11 Tabela 4: Parâmetros Modais Pico. Frequência Amortecidal [Hz] 43,613 Fator de Amortecimento [%],946 Parte imaginária Nyquist Parte Real Ganho [db] FRF - Ajuste do Círculo FRF - Teórica 3 Pico - H Frequência [Hz] Figura 8: resultado do Método de Ajuste do Círculo para o 3 Pico H11 Tabela 5: Parâmetros Modais 3 Pico Frequência Amortecida [Hz] 73,19 Fator de Amortecimento [%],54478

8 A Tabela 6 apresenta uma comparação entre os valores dos fatores de amortecimento obtidos teoricamente e através do método de ajuste de círculo. É possível observar na Tabela 6 que os resultados apresentam grande concordância. Tabela 6: Comparação dos Resultados dos fatores de Amortecimento Fator de Amortecimento 1 Modo Modo 3 Modo Teórico,15,91,541 Ajuste do Círculo,8,9,54 Concordância entre os resultados [%] 96,7 98,9 99,8 Comparação das Frequências Amortecidas (EWINS, ): o conjunto das frequências amortecidas obtidas pela via teórica é disposto em um plano cartesiano, no eixo X ; enquanto que as frequências determinadas pelo método de ajuste do círculo são dispostas no eixo Y de um gráfico que representa a dispersão do parâmetro sendo comparado (vide Figura 9). Um ajuste linear sob o critério de mínimos quadrados é realizado sobre a dispersão, visando quantificar a validade da informação obtida pelo método de ajuste do círculo, assumindo que o modelo teórico se encontra livre de erros. A equação da reta que resulta do ajuste linear realizado sobre a dispersão do parâmetro frequência natural é a seguinte: f AjusteC í rculo=1. f teo +.7; R 1 (11) Onde f AjusteC í rculo e f teo são as frequências obtida pelo método de ajuste do círculo e a teórica, respectivamente. O fator R indica a qualidade do ajuste, que no caso é aproximadamente igual a um (ajuste quase-perfeito), o que permite afirmar que entre o modelo teórico e a análise modal experimental há uma excelente correlação entre os autovalores do sistema, isto é, as frequências naturais obtidas por ambas as duas rotas da análise modal se relacionam quase perfeitamente. Espera-se do ajuste, que o coeficiente angular da reta esteja próximo de um (1,), e que o coeficiente linear da reta esteja próximo de zero (,). A obtenção de um coeficiente angular próximo de um (1.), indica uma escolha correta das propriedades do material da estrutura (EWINS, ).

9 Na Figura 9 é possível observar que as frequências estão bem ajustadas à reta. Frequência - Método de Ajuste do Círculo [Hz] Dispersão de Frequências y =1*x Frequência Teórica [Hz] Figura 9: Comparação entre as frequências amortecidas teóricas e obtidas pelo ajuste do círculo Comparação dos Modos de Vibrar (EWINS, ; ALLEMANG,3): calcula- se as matrizes de coeficientes modais com o intuito de se calcular o critério de comparação dos autovetores, adotando-se o Modal Assurance Criterion, definido como se segue: MAC= (Φ iω teo ) H (Φ iω exp ) (Φ iω teo ) H (Φ iω teo ) (Φ j exp ) H (Φ j exp ), (1) Na qual Φ exp iω é o i-ésimo modo experimental, Φ teo j é o j-ésimo modo teórico, e o sobrescrito H faz referência à transposta hermitiana (em se tratando de matrizes modais com números complexos, a operação de transposição no critério MAC é hermtiana). A Tabela 7 e a Figura 1 apresentam a validação dos modos de vibrar segundo o método MAC dos valores encontrados das matrizes de constantes modais. Espera-se, da aplicação do critério MAC, uma matriz quadrada com valores unitários na sua diagonal principal. Pelo fato do critério MAC ser uma medida estatística, a quantidade de elementos nos vetores pode afetar sensivelmente sua obtenção (ALLEMANG, 3). Nos casos em que forem usados poucos pontos de medição (tipicamente, de dois a cinco) poderá existir uma grande variabilidade dos cálculos MAC (ALLEMANG, 3). Uma forma de reduzir esse efeito é, consequentemente, incluir uma maior quantidade de pontos de medição ou excitação. Da aplicação do critério MAC, observase que os modos de vibração teóricos e os obtidos através do método do ajuste do

10 círculo apresentam alta concordância, uma vez que, os valores da diagonal da tabela MAC são muito próximos de 1. Tabela 7: Validação pelo Método MAC Modo MAC Modos de Vibar - Téorico Modos de Vibrar - Método do Ajuste do Círculo Figura 1: MAC 4 Aplicação do Método de Ajuste do Círculo em Dados Experimentais Após validar o método de ajuste do círculo em um modelo teórico, o mesmo foi aplicado a uma viga de aço ensaiada na condição livre-livre. A Figura 11 apresenta as características geométricas e as propriedades físicas da viga ensaiada e os parâmetros utilizados nas medições.

11 Módulo de Elasticidade Transversal: 1[GPa] (escolhido por tabela) Densidade da viga: 7788[ Kg / m3] Espessura:,54 m Largura:,3175 m Largura de Banda: 65 Hz Número de amostras: 984,3 m,3 m,3 m Módulo de Elasticidade Transversal: 1[GPa] (escolhido por tabela) Densidade da viga: 7788[ Kg /m3] Espessura:,54 m Largura:,3175 m Largura de Banda: 65 Hz Número de amostras: 984 Figura 11: Viga ensaiada experimentalmente A Figura 1 apresenta as FRF, H 11, H 1 e H 13. Diagrama de Bode - H11 - Experimental Magnitude [db] Fase [rad] Frequencia [Hz] Diagrama de Bode - H1 - Experimental Magnitude [db] Fase [rad] Frequencia [Hz] Diagrama de Bode - H13 - Experimental Magnitude [db] - -4 X: 65.4 Y: Fase [rad] Frequencia [Hz] Figura 1: FRFS H 11, H 1 e H 13 da viga ensaiada experimentalmente

12 A partir da análise das FRF da Figura 1, foi possível determinar as frequências amortecidas da viga pelo método peak picking. Os valores obtidos estão apresentados na tabela 8. Tabela 8: Freq. Observadas nas FRFS H 11, H 1 e H 13 Pi co H 1 1 H 1 H ,41 65,4 13,8 16 Hz Hz Hz Hz 5,41 65,4 13,8 16 Hz Hz Hz Hz 5,41 65,4 13,8 16 Hz Hz Hz Hz 3,7 449,1 596,4 Hz Hz Hz 3,7 449,1 596,4 Hz Hz Hz 3,7 449,1 596,4 Hz Hz Hz Do conjunto de dados experimentais foi escolhida as FRF H 11 para aplicação do método de ajuste do círculo. Nas Figuras 13 e 14 estão apresentados os resultados obtidos através da aplicação do método de ajuste do círculo para a FRF experimental H 11. Durante a aplicação do método priorizou-se somente a análise da frequências amortecidas e dos fatores de amortecimento, limitando a apresentação dos resultados a estes dois parâmetros modais, o que certamente não compromete a análise, uma vez que, os outros parâmetros modais estão disponíveis nos resultados das simulações e foram aqui omitidos por conveniência. A Tabela 9 apresenta os valores das frequências Naturais e dos fatores de amortecimento calculados através do método de ajuste do círculo. Tabela 9: Freq. e Fatores de Amortecimento Ajuste do Círculo Pico Frequência 5 65, , 3,4 448,9 596,5 [Hz],48 5,4 4 6 Fator de Amorteciment o 3, ,8 1,7,7,7,,19 [%]

13 x 1-5 Nyquist curve -8 Bode curve - H11-1 Pico - Experimental Imaginary part FRF Gain [db] generated FRF measured FRF Real part FRF x Frequency [Hz] x 1-5 Nyquist curve -95 Bode curve -H11 - Pico - Experimental -. Imaginary part FRF Real part FRF.5 1 x 1-5 Gain [db] generated FRF measured FRF Frequency [Hz] x 1-5 Nyquist curve -95 Bode curve- H11-3 Pico - Experimental Imaginarypart FRF Real part FRF x 1-6 Gain [db] generated FRF measured FRF Frequency [Hz] x Nyquist curve -1 Bode curve - H11-4 Pico - Experimental Imaginary part FRF Gain [db] generated FRF measured FRF Real part FRF x Frequency [Hz] Figura 13: Resultados do Método de Ajuste do Círculo para o 1,, 3 e 4 Picos da H 11 da viga.

14 Imaginary part FRF x Nyquist curve - Real part FRF x 1-6 Bode curve - H11-5 Pico - Experimental -15 Gain [db] generated FRF measured FRF Frequency [Hz] x 1-6 Nyquist curve Bode curve - H11-6 Pico - Experimental -11 Imaginary part FRF Gain [db] Real part FRF x generated FRF measured FRF Frequency [Hz] Imaginary part FRF (b) x Nyquist curve Bode curve - H11-7 Pico - Experimental generated FRF measured FRF Real part FRF x 1-6 Frequency [Hz] Gain [db] Figura 14: Resultados do Método de Ajuste do Círculo para o 5, 6 e 7 Picos da H Conclusões Através da aplicação do método de ajuste do círculo foi fazer a identificação modal a partir dos dados experimentais de uma viga. Os resultados obtidos para a viga são aceitáveis, uma vez que, o método foi testado e validado anteriormente em um sistema massa-mola-amortecedor com 3 gdl.

15 Durante a aplicação do método foi possível observar que os valores dos fatores de amortecimento eram sensíveis a largura da banda de frequência, em torno das regiões das frequências de ressonância, escolhida para análise. No entanto, os valores não apresentavam grande variação ao modificar a largura da banda, não comprometendo a aplicação deste método. Como sugestão para trabalhos futuros, seria interessante aplicar outros métodos de identificação modal e comparar os resultados obtidos neste trabalho. 6. Referências Bibliográficas ALLEMANG, R. J. The modal assurance criterion - twenty years of use and abuse. Sound and Vibration, p. 14-1, Agosto 3. DA SILVA, S. Vibrações Mecânicas - Notas de Aula. Universidade Estadual do Oeste do Paraná. Foz do Iguaçu, p EWINS, D. J. Model validation: Correlation for updating. Sadhana, Delhi, v. 5, n. 3, p. 1-34, June. ISSN