Figura A1: PSD de velocidade do perfil de pista para velocidade V

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Judite Frade
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1 pêndice Material complementar para os capítulos 3 e 4 Excitação de pista Conforme descrito nos trabalhos de CHENCHNN, THOMPSON e POLK, a PSD do sinal de velocidade imposto por um perfil de pista é aproximadamente constante na freqüência. Essa informação foi útil na elaboração das métricas para avaliação de ride, apresentadas nos itens 3..3 e No entanto, para algumas avaliações, faz-se necessário a avaliação da influência da velocidade do veículo. Portanto, o objetivo desse item é definir o quanto varia a amplitude da PSD de velocidade do perfil da pista em função da variação da velocidade do veículo. Para uma velocidade do veículo qualquer pode-se rempresentar a PSD de velocidade do perfil de pista por um valor constante, conforme Figura. Figura : PSD de velocidade do perfil de pista para velocidade do veículo Para verificar a relação entre as amplitudes da PSD de velocidade imposta pelo perfil de pista para diferentes velocidades do veículo, pode-se inicialmente obter uma relação 3

2 entre as amplitudes de deslocamento do perfil de pista para dois valores quaisquer distintos de freqüências, conforme Figura. Os valores de freqüência de excitação estão relacionados com os valores de freqüência espacial do perfil de pista, Ω e Ω, através da seguinte relação: Ω () Ω () Os sinais de deslocamento e de velocidade impostos pelo perfil de pista, para a velocidade do veículo, podem ser escritos das seguintes formas: y + sen t) + + sen( ) + (3) ( t y + cos( + + cos( t) + (4) Para a obtenção dos valores de amplitude da PSD de banda de largura ao redor das freqüências, fazendo Desta forma, obtém-se os respectivos sinais: y pode-se aplicar um filtro passa zero. y cos( (5) y cos( (6) Para obter os valores da PSD de calcular o valor da média quadrada desses sinais. y nas freqüências é preciso inicialmente Elevando-se os sinais ao quadrado, obtém-se os sinais S e S, apresentados abaixo: ( y S (7) ) cos ( ( y S (8) ) cos ( t) média de um sinal cosenoidal ao quadrado ( y cos ( ) é (0.5 ) e portanto, as médias dos dois sinais acima, nomeadas respectivamente MS e MS, estão apresentadas abaixo: 4

3 MS 0 (9). 5 MS 0 (0). 5 Os valores de amplitude da PSD de y nas freqüências, P e P, são obtidos a partir da divisão dos valores das médias quadradas MS e MS por. Sendo constante o valor de amplitude da PSD de seguinte relação: y em função da freqüência, obtém-se a P P () () (3) Considerando um aumento na velocidade do veículo de para, de forma que as oscilações da pista com comprimento de onda Ω exerçam uma excitação na freqüência, obtém-se: Ω (4) y + sen t) + + sen( ) + (5) ( 3 t + cos( cos( 3 t) + (6) y Seguindo o mesmo raciocínio aplicado para a velocidade PSD de y na freqüência :, obtém-se a amplitude da 0.5 P (7) Para saber a influência da velocidade do veículo na amplitude da PSD de velocidade da excitação da pista pode-se utilizar a relação entre P e P. Utilizando-se as equações 3 e 7 obtém-se a seguinte relação: 5

4 (8) Ou seja, P P (9) Considerando-se também as equações e 4, obtém-se: P P (0) Equação 0 é a relação desejada que apresenta a variação na amplitude da PSD de velocidade imposta pelo perfil de pista ao variar a velocidade do veículo de para. Observa-se que a amplitude da PSD de velocidade varia com o quadrado da velocidade do veículo e por esse motivo a velocidade do veículo influencia signficativamente nas amplitudes de resposta, conforme apresentado na Figura 3.87 do item Descrição dos obstáculos Nesse item estão descritos os obstáculos utilizados como excitação dos modelos de GL do capítulo 3, itens 3.. e 3... O obstáculo utilizado para excitação do modelo de GL do item 3.. é descrito pela equação STEP( time, 0.,0.0,0.4,30.0) + STEP( time,0.4,0.0,0.8, 30.0) Zp e está repre-sentado na Figura com duração de 0.08 s. No item 3.. foram utilizados obstáculos de curta e longa duração, conforme as equações abaixo: Curto (duração 0.08 s): Zp STEP time, 0.,0.0,0.4, STEP time,0.4,0.0,0.8, 30.0 ( ) ( ) Longo (duração 0.8 s): Zp STEP time, 0.,0.0,0.5, STEP time,0.5,0.0,0.9, 30.0 ( ) ( ) s representações gráficas desses obstáculos estão apresentadas na Figura 3 em vermelho para o obstáculo curto e em azul para o obstáculo longo. 6

5 Figura : Representação do obstáculo utilizado no item 3.. para excitação dos modelo de GL Figura 3: Representação do obstáculo utilizado no item 3.. para excitação dos modelo de GL 3 Índice dinâmico igual à unidade ( k /( a b) ) Nesse item está apresentado o equacionamento que mostra o desacoplamento dos movimentos verticais das regiões dianteira e traseira do veículo (sobre as molas), nos modos de massa suspensa, quando k /( a b). 7

6 O modelo de GL da Figura 4 representa os movimento de bounce e pitch da massa suspensa, nas coordenadas Zs e θ s. zs zd ms, Is s zt ksd zpd zpt kst a b Figura 4: Modelo de GL para movimentos de bounce e pitch da massa suspensa s coordenadas Zd e Zt são referentes aos valores de deslocamento vertical na massa suspensa nas regiões imediatamente acima dos eixos dianteiro e traseiro, respectivamente. Escrevendo-se as equações de vibração livre ( Zpd Zpt 0 ) em função das coordenadas Zs, θ s, Zd e Zt, na ausência de amortecimento, obtém-se: ms Zs + kst Zt + ksd Zd 0 () Is θ s + kst b Zt ksd a Zd 0 () s coordenadas Zd e Zt podem ser expressas em função da coordenada de movimento vertical do CG, Zs, e da coordenada de rotação da massa suspensa, θ s : Zd Zs θ s a (3) Zt Zs + θ s b (4) Desta forma, obtém-se as seguintes equações de oscilação livre nas coordenadas Zd e Zt : ms ( Zd b + Zt a) + kst ( a + b) Zt + ksd ( a + b) Zd 0 (5) Is ( Zt Zd ) + kst b ( a + b) Zt ksd a ( a + b) Zd 0 (6) 8

7 Considerando-se um veículo com índice dinâmico igual à unidade ( k /( a b) ), ou seja Is a b m, obtém-se: a + b ms ( a + b) Zd + ksd ( a + b) ( ) Zd 0 (7) b a + b ms ( a + b) Zt + kst ( a + b) ( ) Zt 0 (8) a Com base nas equações 7 e 8, verifica-se que, com k /( a b), obtém-se desacoplamento entre as coordenadas Zd e Zt. Portanto, nessa condição tem-se os seguintes modos de vibrar da massa suspensa: ) Modo de vibrar com oscilação vertical da região dianteira do veículo, Zd. Seu centro de oscilação está na linha do eixo traseiro. freqüência natural desse modo de vibrar pode ser obtida a partir da equação 7 e corresponde à freqüência básica dianteira, obtida à partir do valor de massa sustentado pela mola dianteira e seu valor de rigidez: ksd d [ Hz ] (9) π m b ( ) a + b ) Modo de vibrar com oscilação vertical da região traseira do veículo, Zt. Seu centro de oscilação está na linha do eixo dianteiro. freqüência natural desse modo de vibrar pode ser obtida a partir da equação 8 e corresponde à freqüência básica traseira, obtida à partir do valor de massa sustentado pela mola traseira e seu valor de rigidez: kst t [ Hz ] (30) π m a ( ) a + b erifica-se portanto, que essa é a condição na qual os valores das freqüências dos modos de vibrar de massa suspensa no plano XZ do veículo igualam-se aos valores das freqüências básicas dianteira e traseira. 9

8 4 Parâmetros dos modelos do capítulo 3 Os parâmetros abaixo foram utilizados no modelo de GL dos itens e do capítulo 3: ms 900 kg mu 40 kg ks x 5,5 N/mm 5000 N/m kp x 37 N/mm N/m cs x,38 N.s/mm 4760 N.s/m cp x 0,9 N.s/mm 380 N.s/m Os parâmetros abaixo foram utilizados no modelo de GL do item do capítulo 3: ms 000 kg mu 0 kg ks N/m kp 0000 a N/m cs 580 N.s/m cp 0,0 4 kp mu N.s/m Os parâmetros abaixo foram utilizados no modelo de 4 GL do itens 3.4. do capítulo 3: a,4 m b, m ms 800 kg Is 5400 kg.m ma 90 kg 0

9 mb 50 kg ka N/m (freqüência básica dianteira.3 Hz) kb 680 N/m (freqüência básica dianteira.5 Hz) k N/m k N/m ca 690 N.s/m cb 6597 N.s/m c 340 N.s/m c 340 N.s/m

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