LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS Nº 2 Questões 1) A Figura 1a apresenta o retrato de uma onda propagante ao longo do sentido positivo do eixo x em uma corda sob tensão. Quatro elementos da corda são designados por letras. Para cada um destes elementos, determine quando, no momento do retrato, este move-se para cima, para baixo ou encontra-se em repouso? A Figura 1b apresenta o deslocamento de um elemento da corda localizado em x = 0 como função do tempo. Os tempos são denominados por letras. Nestes instantes, o elemento da corda selecionado encontra-se movendo para cima, para baixo ou está neste instante em repouso? Figura 1: Questão 1. 2) As 4 ondas seguintes são enviadas ao longo de cordas com a mesma densidade linear, estando x em metros e t em segundos. Ordene as ondas de acordo com (a) sua velocidade e (b) a tensão na corda na qual estas se propagam. Ordene no sentido decrescente das quantidades. São as ondas: (1) y 1 = 3mm sen x 3t (3) y 3 = 1mm sen 4x t (2) y 2 = 6mm sen 2x t (4) y 4 = 2mm sen x 2t 3) Uma onda senoidal é enviada ao longo de uma corda sob tensão, transportando energia em uma taxa média de P avg,1. Duas ondas idênticas a anterior estão para ser enviadas ao longo da mesma corda com uma diferença de fase φ de 0, 0,2 ou 0,5 comprimentos de onda. (a) Sem esboçar nenhum cálculo, ordene as possíveis escolhas de φ de acordo com a taxa média na qual as ondas transportarão energia, sendo a maior a primeira. (b) Para a primeira escolha de φ, qual é a taxa média em termos de P avg,1? 4) Duas ondas senoidais de mesma amplitude e fase propagam-se em uma corda. Ocorre então um defasamento de 5,4 comprimentos de onda entre elas. Qual tipo de interferência ocorrerá na corda? 5) A Figura 2 apresenta um diagrama fasorial para 3 situações distintas nas quais 2 ondas propagam-se ao longo de uma mesma corda. Todas as 6 ondas apresentadas (Figura 2a, Figura 2b e Figura 2c) possuem a mesma amplitude. Ordene as situações de acordo com a amplitude da onda resultante na corda, sendo a primeira a maior. Figura 2: Questão 5. 6) As cordas A e B possuem comprimentos e densidades lineares idênticas, mas a tensão na corda B é maior que a tensão na corda A. A Figura 3 apresenta 4 situações, de (a) até (d), nas quais padrões de ondas - 1 -

2 estacionárias existem nas duas cordas. Em quais das situações há possibilidade de as cordas A e B estarem oscilando na mesma freqüência ressonante? Problemas Figura 3: Questão 6. 1) Uma onda senoidal transversal de comprimento de onda de 20cm propaga-se ao longo de uma corda no sentido positivo do eixo x. O deslocamento y de um elemento da corda na posição x = 0 é apresentado na Figura 4 em relação ao tempo t. A escala do eixo vertical é y s = 4cm. A equação da onda é da forma y x, t = y m sen(kx ± ωt + φ). (a) Em t = 0, um gráfico de y por x encontra-se na forma de um seno positivo ou negativo? Quais são (b) y m, (c) k, (d) ω, (e) φ, (f) o sinal para a operação matemática à frente de ω e (g) a velocidade da onda? (h) Qual é a velocidade transversal de um elemento da corda em x = 0 quando t = 5s? Figura 4: Problema 1. 2) Uma onda transversal com formato senoidal viaja ao longo de uma corda no sentido negativo do eixo x. A Figura 5 apresenta um gráfico do deslocamento verical y como função da posição x para um tempo t = 0. A escala do eixo vertical possui valor y s = 4cm. A tensão na corda é 3,6N e sua densidade linear possui o valor de 25g/m. Encontre (a) amplitude, (b) comprimento de onda, (c) velocidade da onda e (d) o período da onda. (e) Encontre a máxima velocidade transversal de um elemento da corda. Se a onda possui o formato y x, t = y m sen(kx ± ωt + φ), quais são (f) k, (g) ω, (h) φ e (i) a correta escolha de sinal para a operação matemática à frente de ω? Figura 5: Problema

3 3) Um fio de 100g é mantido sob uma tensão de 250N com uma de suas extremidades em x = 0 e outra em x = 10m. Ao tempo t = 0, um pulso denominado de 1 é enviado ao longo do fio pela extremidade localizada em x = 10m. Ao tempo t = 30ms, um pulso 2 é enviado ao longo de um fio pela extremidade x = 0. Em qual posição x do fio os pulsos se encontram? 4) Na Figura 6a, a corda 1 possui densidade linear de 3g/m e a corda 2 possui densidade linear de 5g/m. Ambas as cordas estão submetidas a uma tensão proporcionada por um bloco suspenso de massa M = 500g. Calcule a velocidade da onda na (a) corda 1 e (b) corda 2. Após, o bloco é dividido em dois (satisfazendo M = M 1 + M 2 ) e o aparato é rearranjado conforme apresenta a Figura 6b. Encontre (c) M 1 e (d) M 2 de sorte que a velocidade da onda em ambas as cordas sejam iguais. Figura 6: Problema 4. 5) Uma onda senoidal é enviada ao longo de uma corda com densidade linear de 2g/m. À medida que esta se propaga, a energia cinética dos elementos da corda variam. A Figura 7a apresenta a taxa dk/dt na qual a energia cinética flui pelos elementos da corda em um instante de tempo particular t, um gráfico que é função da coordenada espacial x ao longo da corda. A Figura 7b é similar, com exceção que fornece a taxa com que energia cinética flui em um elemento específico da corda (em uma coordenada espacial particular), esboçada ao longo do tempo t. Para ambas figuras, a escala do eixo vertical é R s = 10W. Assim sendo, qual é a amplitude da onda? Figura 7: Problema 5. 6) Duas ondas senoidais de mesma amplitude 9mm e mesmo comprimento de onda propagam-se em conjunto em uma corda distendida sobre o eixo x. A onda resultante é apresentada na Figura 8, à medida que o vale A propaga-se no sentido negativo do eixo x por uma distância d = 56cm em 8ms. As marcas no eixo x são separadas por 10cm e H = 8mm. A equação de uma das ondas possui o formato y x, t = - 3 -

4 y m sen(kx ± ωt + φ 1 ), na qual φ 1 = 0 e o sinal correto à frente de ω deve ainda ser escolhido. Para a equação da outra onda, quais são (a) y m, (b) k, (c) ω, (d) φ 2 e (e) o sinal à frente da quantidade ω? Figura 8: Problema 6. 7) Uma onda senoidal de freqüência angular 1200rad/s e amplitude 3mm é enviada ao longo de uma corda com densidade linear de 2g/m e tensão de 1200N. (a) Qual é a taxa média na qual a energia é transportada pela onda para o extremo oposto da corda? (b) Se, simultaneamente, um onda idêntica viaja ao longo de uma corda adjacente também idêntica, qual é a taxa total média com que energia é transportada aos extremos opostos das duas cordas por ambas as ondas? Se, ao contrário, estas duas ondas são enviadas simultaneamente ao longo da mesma corda, qual é taxa média total na qual as ondas transportam energia quando sua diferença de fase é (c) 0, (d) 0,4πrad e (e) πrad? 8) Estas duas ondas propagam-se ao longo de uma mesma corda y 1 x, t = (4,6mm) sen(2πx 400πt) y 2 x, t = 5,6mm sen 2πx 400πt + 0,8π. Quais são (a) a amplitude e (b) e a fase da onda resultante (relativa à onda 1)? (c) Se uma terceira onda de amplitude 5mm está também por ser enviada ao longo da corda na mesma direção das ondas 1 e 2, qual deveria ser sua constante de fase para que a amplitude da nova onda resultante fosse máxima? 9) Duas ondas senoidais de mesma amplitude e comprimento de onda viajam em uma corda esticada ao longo do eixo x. A onda resultante é apresentada na Figura 9, à medida que o anti-nó A propaga-se de um deslocamento vertical máximo para um mínimo em 6ms. As marcas ao longo do eixo x são separadas por 10cm e H = 1,8cm. A equação para uma das ondas é do tipo y x, t = y m sen(kx + ωt). Na equação para a outra onda, quais são (a) y m, (b) k, (c) ω e (d) o sinal à frente de ω? Figura 9: Problema 9. 10) Na Figura 10, uma corda, amarrada a um oscilador senoidal em P e estendida sobre um suporte Q, é esticada por um bloco de massa m, sendo L = 1,2m, a densidade linear μ = 1,6g/m e a freqüência do oscilador f = 120Hz. A amplitude do movimento em P é suficientemente pequena para que este ponto seja considerado um nó. Um nó também existe em Q. (a) Qual massa m permite o oscilador desenvolver o 4º harmônico na corda? (b) Qual modo de onda estacionária, se possível, pode ser desenvolvido se m = 1kg? - 4 -

5 Figura 10: Problema ) Na Figura 11, um cabo de alumínio, de comprimento L 1 = 60cm, área da seção transversal de 10 2 cm 2 e densidade de 2,6g/cm 3 é anexado a um cabo de aço de densidade 7,8g/cm 3 e mesma área da seção transversal. O cabo composto, carregado por um bloco de massa m = 10kg, é posicionado sobre a polia de forma que L 2 seja 86,6cm. Ondas transversais se desenvolvem no cabo devido à ação de uma fonte externa de freqüência variável. Na polia encontra-se um nó das ondas produzidas. (a) Encontre a menor freqüência que gera um padrão de onda estacionária de sorte que o ponto onde há a união dos cabos seja um de seus nós. (b) Quantos nós são observados nesta freqüência? Figura 11: Problema ) Na Figura 10, uma corda excitada por um oscilador senoidal em P é esticada por um bloco de massa m. A separação L entre P e Q é 1,2m e a freqüência f do oscilador é fixada em 120Hz. A amplitude do movimento em P é pequena o suficiente para este ponto ser considerado um nó. Um nó também existe em Q. Uma onda estacionária aparece quando o bloco suspenso possui massa de 286,1g ou 447g, mas nenhuma surge para valores de massa intermediários. Qual é a densidade linear da corda? - 5 -