FÍSICA. Prof. RICARDO FAGUNDES PROMILITARES AFA/EFOMM/EN MÓDULO 11 SUMÁRIO 1. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.) 3 2. EXERCÍCIOS DE COMBATE 10

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2 SUMÁRIO 1. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.) 3. EXERCÍCIOS DE COMBATE 10

3 MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES (M.H.S.) Quando a força resultante que atua em uma partícula apresentar a forma abaixo F kr rˆ Podemos dizer que a partícula realiza um M.H.S. Vamos imaginar a seguinte situação: Uma mola pendurada no teto com a sua outra ponta presa a um bloco de massa m. O sistema está inicialmente em repouso. Ou seja, a mola está esticada e essa elongação x é medida com a equação abaixo: mg mg kxx k O que fizemos foi igualar o módulo da força peso ao da força elástica. Vamos lembrar que a força elástica é definida como F kx xˆ O sinal de menos deve-se ao fato de que o sentido da força é oposto ao sentido da deformação da mola. Bom, vamos continuar com a nossa situação. Suponha que alguém, após a situação acima, tenha aplicado uma força no bloco de modo que a mola esticasse ainda mais (x+d). Nesse caso a força elástica supera, em módulo, a força peso. Logo após a mola alcançar essa nova posição (L+x+d), onde L é o seu comprimento natural, essa pessoa que aplicou uma força extra no bloco o solta. Como será o movimento da mola?? Sim, será oscilatório. A mola ficará oscilando em torno da posição inicial de equilíbrio (x). Vamos considerar que não há atuação de forças dissipativas. A amplitude do movimento (A) será justamente o quanto a pessoa esticou a mola (d). Sendo assim, o bloco oscilará da posição inicial A, subindo, passando pela posição de equilíbrio e alcançando a posição A, onde começará a descer, passando novamente pela posição de equilíbrio e voltando para o ponto A. O tempo necessário para uma oscilação completa é chamado de período (T), que é o inverso da frequência (f) de oscilação do movimento, como já sabemos. 3

4 Um M.H.S. pode ser transformado em um círculo. A analogia ajuda bastante no entendimento do movimento. Observe o círculo abaixo: Podemos ver que a movimentação vertical do objeto ao longo de sua trajetória circular é um M.H.S. cujo período é o mesmo do objeto (tempo para dar a volta no círculo) e a amplitude do seu movimento coincide com o raio da trajetória. Sendo assim podemos calcular a velocidade angular (ω) do objeto, a fim de descobrirmos o período de oscilação do M.H.S.. A partir da figura acima podemos retratar o movimento do bloco na mola, por exemplo. Note que, inicialmente o nosso bloco está na posição x = A. Pelo gráfico podemos tirar a equação da posição de um corpo realizando um M.H.S. em função do tempo: xt Asent Acos( t ) 4

5 Perceba que, no caso da figura, a posição inicial é x = 0. No nosso exemplo da mola, o bloco começa na posição x = A, então, de modo mais geral (é mais conveniente), temos que: xt Acos( t+ 0) Onde θ0 é a fase inicial do sistema. Note que, como a posição inicial do bloco é x = A, no nosso exemplo, então: x A Acos θ θ Lembrando que f. Sabendo a frequência ou o período do movimento, conseguimos determinar a T posição do objeto submetido a um M.H.S. em função do tempo. A fase inicial conseguimos descobrir sabendo a posição inicial do corpo e/ou a sua velocidade inicial. Porém, podemos descobrir a velocidade angular de outra maneira. Para isso vamos, a partir da equação da posição, as equações da velocidade e da aceleração em função do tempo: dx t vt Asen t dt 0 E dv t at Acos t 0 x t dt 5

6 A velocidade será nula quando o objeto estiver nos extremos (x = A e x = + A) e máxima quando estiver na posição de equilíbrio, já que, nesse ponto, a aceleração será nula, ou seja, cost 0, portanto, sent 1 ou 1. A tabela abaixo apresenta todas essas informações: 0 0 v x = 0 x A A v = 0 a = 0 a A mv m A Ec E m KA Ep E m A partir da tabela acima podemos entender como se comportam as energia no movimento e gerar o gráfico abaixo: A energia mecânica constante durante o movimento e, conforme a energia potencial cai, a cinética aumenta e vice-versa. 6

7 Note também, a partir da tabela, que a aceleração é diretamente proporcional ao deslocamento do objeto: a x t Então: F m x t kx t Podemos definir a velocidade angular, também chamada de pulsação, do movimento de um bloco de massa m preso a uma mola de constante elástica k sob M.H.S. como: k m Logo: T m k Outro exemplo muito comum de M.H.S. é o movimento de uma bolinha de massa m presa por um fio cuja outra extremidade está presa no teto. Movimento de um pêndulo simples. 7

8 As equações de movimento continuam sendo as definidas anteriormente, já que se trata de um M.H.S. bem como todas as informações da tabela. O que será diferente é a velocidade angular do movimento. Pela figura acima podemos dizer que: mgsen ma m x Onde x lsen Então: g l Logo: T l g EXEMPLO: Um pêndulo cujo comprimento de fio vale 1,0 m foi abandonada a uma distância de 0 cm da posição de equilíbrio. Qual o período do movimento? E se o pêndulo fosse afastado a uma distância de 10 cm, qual seria o período? RESOLUÇÃO: Apesar de ser contra a nossa intuição, o período não depende da amplitude de oscilação. Sendo assim, tanto a 1 0cm quanto a 10cm, o período será, s. g 8

9 Essa fórmula só vale para pequenas oscilações. Mas, para um afastamento de 45, por exemplo, o erro é menor que 10%. Então podemos usar essa fórmula sem muitos problemas. 9

10 1.(Espcex_015) Uma criança de massa 5 kg brinca em um balanço cuja haste rígida não deformável e de massa desprezível, presa ao teto, tem 1,60 m de comprimento. Ela executa um movimento harmônico simples que atinge uma altura máxima de 80 cm em relação ao solo, conforme representado no desenho abaixo, de forma que o sistema criança mais balanço passa a ser considerado como um pêndulo simples com centro de massa na extremidade P da haste. Pode-se afirmar, com relação à situação exposta, que DADOS: Intensidade da aceleração da gravidade g 10 m/ s Considere o ângulo de abertura não superior a 10. a) a amplitude do movimento é 80 cm. b) a frequência de oscilação do movimento é 1,5 Hz. c) o intervalo de tempo para executar uma oscilação completa é de 0,8 s. d) a frequência de oscilação depende da altura atingida pela criança. e) o período do movimento depende da massa da criança. 10

11 . (EsPCEx_014)Peneiras vibratórias são utilizadas na indústria de construção para classificação e separação de agregados em diferentes tamanhos. O equipamento é constituído de um motor que faz vibrar uma peneira retangular, disposta no plano horizontal, para separação dos grãos. Em uma certa indústria de mineração, ajusta-se a posição da peneira de modo que ela execute um movimento harmônico simples (MHS) de função horária x 8 cos (8 t), onde x é a posição medida em centímetros e t, o tempo em segundos. O número de oscilações a cada segundo executado por esta peneira é de a) b) 4 c) 8 d) 16 e) 3 3. (IME 013) Uma partícula de carga q e massa m está sujeita a dois campos elétricos ortogonais Ex(t) e Ey(t), dados pelas equações: E x t 5 sen t E t 1 cost y Sabe-se que a trajetória da partícula constitui uma elipse. A velocidade escalar máxima atingida pela partícula é: a) b) 5 q m q 5 m c) d) e) q 6 m 13 q m q 13 m 4. (EsPCEx_013)Uma mola ideal está suspensa verticalmente, presa a um ponto fixo no teto de uma sala, por uma de suas extremidades. Um corpo de massa 80 g é preso à extremidade livre da mola e verifica-se que a mola desloca-se para uma nova posição de equilíbrio. O corpo é puxado verticalmente para baixo e abandonado de modo que o sistema massa-mola passa a executar um movimento harmônico simples. Desprezando as forças dissipativas, sabendo que a constante elástica da mola vale 0,5N m e considerando 3,14, o período do movimento executado pelo corpo é de a) 1,56 s b),51 s c) 6,369 s d) 7,850 s 11

12 e) 15,700 s 5. (Esc. Naval 013) A figura abaixo mostra uma mola ideal de constante elástica k 00 N m, inicialmente em repouso, sustentando uma esfera de massa M,00 kg na posição A. Em seguida, a esfera é deslocada 15,0 cm para baixo até a posição B, onde, no instante t 0, é liberada do repouso, passando a oscilar livremente. Desprezando a resistência do ar, pode-se afirmar que, no intervalo de tempo 0 t 30 s, o deslocamento da esfera, em cm, é de a) 3,75 b) 7,50 c) 9,00 d) 15,0 e),5 6. (EPCAr (AFA) 013) Num local onde a aceleração da gravidade é constante, um corpo de massa m, com dimensões desprezíveis, é posto a oscilar, unido a uma mola ideal de constante elástica k, em um plano fixo e inclinado de um ângulo, como mostra a figura abaixo. Nessas condições, o sistema massa-mola executa um movimento harmônico simples de período T. Colocandose o mesmo sistema massa-mola para oscilar na vertical, também em movimento harmônico simples, o seu novo período passa a ser T. Nessas condições, a razão T /T é a) 1 b) sen c) d) 1 1 sen 1

13 7. (EsPCEx_01) Um objeto preso por uma mola de constante elástica igual a 0N m executa um movimento harmônico simples em torno da posição de equilíbrio. A energia mecânica do sistema é de 0,4 J e as forças dissipativas são desprezíveis. A amplitude de oscilação do objeto é de: a) 0,1 m b) 0, m c) 1, m d) 0,6 m e) 0,3 m 8. (ITA 01) Um cilindro vazado pode deslizar sem atrito num eixo horizontal no qual se apoia. Preso ao cilindro, há um cabo de 40 cm de comprimento tendo uma esfera na ponta, conforme figura. Uma força externa faz com que o cilindro adquira um movimento na horizontal do tipo y y0sen( ft). Qual deve ser o valor de f em hertz para que seja máxima a amplitude das oscilações da esfera? a) 0,40 b) 0,80 c) 1,3 d),5 e) 5,0 9. (ITA 011) Uma partícula de massa m move-se sobre uma linha reta horizontal num Movimento Harmônico Simples (MHS) com centro O. Inicialmente, a partícula encontra-se na máxima distância x0 de O e, a seguir, percorre uma distância a no primeiro segundo e uma distância b no segundo seguinte, na mesma direção e sentido. Quanto vale a amplitude x0 desse movimento? a) a 3 / (3a b ) b) b / (4a b) c) a / (3a b) d) a b / (3a b ) e) 4a / (3a b) 13

14 10. (AFA_011) Dois corpos, de dimensões desprezíveis, A e B presos a molas ideais, não deformadas, de constantes elásticas ka e plataforma sem atrito como mostra a figura a seguir. k B, respectivamente, estão, inicialmente, separados de uma distância d numa A partir dessa situação, os blocos são então lentamente puxados por forças de mesma intensidade, aproximando-se, até se encostarem. Em seguida, são abandonados, passando a oscilar em movimento harmônico simples. Considere que não haja interação entre os blocos quando esses se encontram. Nessas condições, a soma das energias mecânicas dos corpos A e B será a) b) c) kakbd k k A kd B A k k k B A B k k d A ka kb d) k k k B A A B 11. (ITA 011) Um relógio tem um pêndulo de 35 cm de comprimento. Para regular seu funcionamento, ele possui uma porca de ajuste que encurta o comprimento do pendulo de 1 mm a cada rotação completa à direita e alonga este comprimento de 1 mm a cada rotação completa à esquerda. Se o relógio atrasa um minuto por dia, indique o número aproximado de rotações da porca e sua direção necessários para que ele funcione corretamente. a) 1 rotação à esquerda b) 1/ rotação à esquerda c) 1/ rotação à direita d) 1 rotação à direita e) 1 e 1/ rotações à direita. 14

15 1. (IME 010) Uma partícula emite um som de frequência constante e se desloca no plano XY de acordo com as seguintes equações de posição em função do tempo t, onde a, b e w são constantes positivas, com a > b. x a cos(wt) y b sen(wt) Sejam as afirmativas: I. o som na origem é percebido com a mesma frequência quando a partícula passa pelas coordenadas (a,0) e (0,b). II. o raio de curvatura máximo da trajetória ocorre quando a partícula passa pelos pontos (0,b) e (0,-b). III. a velocidade máxima da partícula ocorre com a passagem da mesma pelo eixo Y. A(s) afirmativa(s) correta(s) é(são): a) I, apenas b) I e II, apenas c) II, apenas d) II e III, apenas e) I, II e III 13. (ITA 009) Um cubo de 81,0 kg e 1,00 m de lado flutua na água cuja massa específica é ñ= 1000 kg/m 3. O cubo é então calcado ligeiramente para baixo e, quando liberado, oscila em um movimento harmônico simples com uma certa frequência angular. Desprezando-se as forças de atrito e tomando g = 10 m/s, essa frequência angular é igual a: 100 a) 9 rad/s b) 81 rad/s 1 c) 9 rad/s. 9 d) 100 rad/s. 81 e) 1000 rad/s 15

16 14. (ITA 007) Uma bolinha de massa M é colada na extremidade de dois elásticos iguais de borracha, cada qual de comprimento L/, quando na posição horizontal. Desprezando o peso da bolinha, esta permanece apenas sob a ação da tensão T de cada um dos elásticos e executa no plano vertical um movimento harmônico simples, tal que sen è tg è. Considerando que a tensão não se altera durante o movimento, o período vale 4ML / T. a) π ML / 4T. b) π ML / T. c) π ML / T. d) π ML / T. e) π 15. (ITA 007) Um sistema massa-molas é constituído por molas de constantes k1 e k, respectivamente, barras de massas desprezíveis e um corpo de massa m, como mostrado na figura. Determine a frequência desse sistema. 16

17 16. (ITA 005) Considere um pêndulo de comprimento l, tendo na sua extremidade uma esfera de massa m com uma carga elétrica positiva q. A seguir, esse pêndulo é colocado num campo elétrico uniforme E que atua na mesma direção e sentido da aceleração da gravidade g. Deslocando-se essa carga ligeiramente de sua posição de equilíbrio e soltando-a, ela executa um movimento harmônico simples, cujo período é a) T = π g b) T = π g q c) T = π m qe d) T = π m mg qe e) T = π m mg qe 17. (FUVEST 004) Um certo relógio de pêndulo consiste em uma pequena bola, de massa M = 0,1 kg, que oscila presa a um fio. O intervalo de tempo que a bolinha leva para, partindo da posição A, retornar a essa mesma posição é seu período T0, que é igual a s. Neste relógio, o ponteiro dos minutos completa uma volta (1 hora) a cada 1800 oscilações completas do pêndulo. 17

18 Estando o relógio em uma região em que atua um campo elétrico E, constante e homogêneo, e a bola carregada com carga elétrica Q, seu período será alterado, passando a T(Q). Considere a situação em que a bolinha esteja carregada com carga Q = 3 x 10-5 C, em presença de um campo elétrico cujo módulo E = 1 x 10 5 V/m. Então, determine: a) A intensidade da força efetiva F(e), em N, que age sobre a bola carregada. b) A razão R = T(Q)/T0 entre os períodos do pêndulo, quando a bola está carregada e quando não tem carga. c) A hora que o relógio estará indicando, quando forem de fato três horas da tarde, para a situação em que o campo elétrico tiver passado a atuar a partir do meio-dia. 18. (ITA 001) Uma partícula descreve um movimento cujas coordenadas são dadas pelas seguintes equações: X(t) = X0. cos(ωt) e Y(t) = Y0. sen(ωt + π/6), em que w, X0 e Y0 são constantes positivas. A trajetória da partícula é a) Uma circunferência percorrida no sentido anti-horário. b) Uma circunferência percorrida no sentido horário. c) Uma elipse percorrida no sentido anti-horário. d) Uma elipse percorrida no sentido horário. e) Um segmento de reta. 19. (FUVEST 1999) O gráfico representa, num dado instante, a velocidade transversal dos pontos de uma corda, na qual se propaga um onda senoidal na direção do eixo dos x. A velocidade de propagação da onda na corda é de 4m/s. Sejam A, B, C, D e E pontos da corda. Considere, para o instante representado, as seguintes afirmações: I. A frequência da onda é 0,5Hz. II. Os pontos A, C e E têm máxima aceleração transversal (em módulo). III. Os pontos A, C e E têm máximo deslocamento transversal (em módulo). IV. Todos os pontos da corda se deslocam com velocidade de 4m/s na direção do eixo x. 18

19 São corretas as afirmações: a) todas. b) somente IV. c) somente II e III. d) somente I e II. e) somente II, III e IV 0. (ITA 1998) Um relógio de pêndulo simples é montado no pátio de um laboratório em Novosibirsk na Sibéria, utilizando um fio de suspensão de coeficiente de dilatação 1 x 10 5 C 1. O pêndulo é calibrado para marcar a hora certa em um bonito dia de verão de 0 C. Em um dos menos agradáveis dias do inverno, com a temperatura a 40 C, o relógio: a) adianta 5 s por dia. b) adianta 6 s por dia. c) atrasa 3 s por dia. d) atrasa 6 s por dia. e) atrasa 5 s por dia. 19