Primeira Lista de Exercícios.

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1 Figure 1: Diagrama esquemático do MHS da partícula do exercício 1. Primeira Lista de Exercícios. 1. Uma partícula que se move num movimento harmônico simples de período T como o da Figura 1 está em x m no instante t = 0. Ela estará em x m, em x m, em 0, entre 0 e x m ou entre 0 e x m quando t (a) for 2.00T, (b) for 3.5T e (c) for 5.25T [Halliday and Resnick, 1997]? 2. Deduza a expressão da velocidade de uma oscilação simples a partir da solução x = x (t). 3. Deduza a expressão da aceleração de um MHS a partir da solução x = x m cos (ωt + φ). 4. Quais das seguintes relações de força produzem oscilações simples: (a) F = ( ( 10 m) N x, (b) F = 5N cos (ωt + φ), (c) F = 5 N m) x, e (d) F = 400 N m x 2? 2 5. Um bloco cuja massa m é m =680g está até ligado a uma mola cuja constante de mola é k = 65 N m. O bloco é puxado de uma distância x igual a 11 centímetros a partir de sua posição de equilíbrio em x = 0 numa superfície sem atrito e liberado a partir do repouso no instante t = 0. (a) Quais são a frequência angular, a frequência e período do movimento resultante? (b) Qual é a amplitude da oscilação? (c) Qual é a velocidade máxima do bloco oscilante e onde está o bloco quando ele tem essa velocidade? (d) Qual é a magnitude a m da aceleração máxima do bloco? (e) Qual é a constante de fase do movimento?[halliday and Resnick, 1997] 1

2 Figure 2: Diagrama esquemático referente ao exercício 6b 6. Em t = 0, o deslocamento x (0) do bloco em um oscilador linear como o da Figura 2 é -8.50cm (leia x (0) como x no instante de tempo t = 0.). A velocidade do bloco v (0) é então m/s, e sua aceleração a (0) é 4.70 m s 2. (a) Qual é a frequência angular ω do sistema? (b) Qual é a constante de fase φ e a amplitude x m? Resnick, 1997] [Halliday and 7. Na Figura 2, o bloco tem uma energia cinética de 3J e a mola tem uma energia potencial elástica de 2J quando o bloco está em x = +2.0cm. (a) Qual é a energia cinética quando o bloco está em x = 0? energia potencial quando o bloco está em (b) (b) x = 2.0cm e em (c) (c) x = x m? Qual a 8. Muitos prédios altos têm amortecedores massivos, que são dispositivos que impedem que estas construções balancem devido a força dos ventos. O dispositivo pode ser um bloco preso a extremidade de uma mola, e desliza sobre uma trilha lubricada. Se o prédio oscila, digamos em direção ao leste, o bloco também irá se mover para leste, mas atrasado o suciente para que quando ele nalmente se mova o prédio já está se movendo na direção oeste. Assim, o movimento do oscilador está fora de compasso com o movimento do prédio. Suponha que o bloco tem uma massa de m = kg e foi desenhado para oscilar com uma frequência f = 10Hz e amplitude x = 20.0cm. (a) Qual é a energia mecânica total do sistema massa mola? (b) Qual é a velocidade do bloco quando ele passa pela posição de equilíbrio?[halliday and Resnick, 1997] 9. A aceleração de uma partícula que se desloca num movimento harmônico simples ilustrada na Figura 3.. (a) A qual desses pontos corresponde a posição da partícula em x m? (b) No ponto 4, a velocidade da partícula é positiva, negativa ou zero? 2

3 Figure 3: Aceleração em função do tempo referente à questão 9. Figure 4: Diagrama esquemático do problema 10. (c) No ponto 5, a partícula está em x m, x m, em 0, entre 0 e x m ou entre x m e 0? 10. Na Figura 4, um bloco pesando 14.0N, que pode deslizar sem atrito com um ângulo θ = 40, está conectado ao topo da inclinação por uma mola sem massa de comprimento natural 0.450m, e constante de mola 120N/m. (a) Quão longe do topo está a posição de equilíbrio? (b) Se o bloco for deslocado dessa posição e liberado, qual será a frequência da oscilação? 11. Na Figura 5, dois blocos (m = 1.8kg e M = 10kg) e uma mola k = 200N/m estão arranjados em uma superfície horizontal sem atrito. O coeciente de atrito estático entre os dois blocos é de Que amplitude do movimento harmônico simples desse sistema de duas massas e a mola põe o bloco menor no limiar do deslizamento sobre o bloco maior? [Halliday and Resnick, 1997] 12. Na Figura duas molas estão ligadas e conectadas a um bloco de massa m = 0.245kg que está oscilando sobre uma superfície sem atrito. As molas têm cada uma a constante de mola k = 6430N/m. Qual é a frequência das oscilações? [Halliday and Resnick, 1997] 13. Um bloco de massa m = 2.0kg está preso a uma mola como na Figura 13b.. A constante de força da mola é k = 196N/m. O bloco é afastado de 5 centímetros de sua posição de equilíbrio e liberado em t = 0. 3

4 Figure 5: Diagrama esquemático do problema 11. Figure 6: Diagrama esquemático do problema 12 (a) Determine a frequência angular ω, a frequência f o período T. (b) Escreva x como função do tempo..[tipler and Mosca, 1995] 14. Você está sentado em uma prancha de surf, que sobe e desce ao utuar sobre algumas ondas. O deslocamento vertical da prancha é dado por: ( 1 y = (1.2m) cos 2.0s t + π ). 6 (a) Determine a amplitude, frequência angular, constante de fase, frequência e o período do movimento. (b) Onde está a prancha em t = 1.0s? (c) Determine a velocidade e aceleração como funções do tempo t. (d) Determine os valores iniciais a posição da velocidade e da aceleração da prancha. (e) Determine os valores máximos de velocidade e da aceleração. [Tipler and Mosca, 1995] 15. A posição de uma partícula é dada por x = 7.0cm cos(6πt), com t dado em segundos. Quais são (a) a frequência, (b) o período e (c) a amplitude Figure 7: Diagrama esquemático do exercício 13b. 4

5 Figure 8: Diagrama esquemático do exercício 8. do movimento da partícula? (d) Qual é o primeiro instante, após t = 0, em que a partícula estará em sua posição de equilíbrio? Nesse instante em que sentido estará se movendo?[tipler and Mosca, 1995] 16. O período de uma partícula oscila em movimento harmônico simples é 8.0s. Em t = 0, a partícula está em repouso em x = A = 10cm. (a) Esboce x como função de t. (b) Determine a distância percorrida no primeiro segundo terceiro e quarto segundos após t = 0. Tipler and Mosca [1995] 17. Durante um terremoto,um piso horizontal oscila horizontalmente em um movimento harmônico simples aproximado. Suponha que ele oscila em uma única frequência com 0.8s de período. (a) Após o terremoto, você examina o vídeo do piso em movimento e verique que uma caixa sobre o piso começou a escorregar quando a amplitude da oscilação atingiu 10 centímetros. De posse desses dados, determine o coeciente de atrito estático entre a caixa e o piso. (b) Se o coeciente de atrito entre a caixa é o piso for 0.40, qual será a amplitude da oscilação antes da caixa escorregar? [Tipler and Mosca, 1995] 18. A Figura 8 ilustra um sistema massa mola colocado a oscilar num movimento harmônico simples em dois experimentos. No primeiro, o bloco é empurrado a partir da posição de equilíbrio através de um deslocamento d 1, e então é liberado. No segundo ele é puxado da posição de equilíbrio através de uma distância d 2, e então é liberado. São a (a) amplitude, (b) período, (c) frequência, (d) energia cinética máxima, (e) e energia potencial máxima do segundo experimento maiores, menores ou iguais aos do primeiro?[tipler and Mosca, 1995] 19. Um corpo de 2,4kg sobre uma superfície horizontal sem atrito, está preso a uma das extremidades de uma mola horizontal de constante de força k = 4,5kN/m. A outra extremidade da mola é mantida estacionária. A mola distendida de 10 centímetros a partir do equilíbrio, e é liberada. Determine a energia mecânica total do sistema.[tipler and Mosca, 1995] 20. Determine a energia total de um sistema que consiste de um corpo de 3 quilogramas sobre uma superfície horizontal sem atrito oscilando com amplitude de 3 centímetros e uma frequência de 2,4 Hertz preso a uma das extremidades de uma mola horizontal. [Tipler and Mosca, 1995] 5

6 Figure 9: Diagrama esquemático do problema Um corpo de 1,50kg sobre uma superfície horizontal sem atrito oscila preso a uma das extremidades de uma mola ( constante de força k = 500N/m). A rapidez máxima do corpo é de 70,0cm/s. (a) Qual é a energia mecânica total do sistema? (b) Qual é a amplitude do movimento?[tipler and Mosca, 1995] 22. Um corpo de 3 quilogramas sobre uma superfície horizontal sem atrito oscila preso a uma das extremidades de uma mola de constante de força igual a 2,0kN/m com uma energia mecânica total de 0,90J. (a) Qual é a amplitude do movimento? (b) qual é a rapidez máxima?[tipler and Mosca, 1995] 23. Um corpo sobre uma superfície horizontal sem atrito oscila preso a uma das extremidades de uma mola com amplitude de 4.5cm. Sua energia mecânica total é 1.4J. Qual é a constante de força da mola?[tipler and Mosca, 1995] 24. Um corpo de 3,0kg está sobre uma superfície horizontal sem atrito, e o Silas preso a uma das extremidades de uma mola com uma amplitude de 8,0cm. Sua aceleração máxima é 3.5m/s^2. Determine a energia mecânica total.[tipler and Mosca, 1995] 25. Você deve construir o sistema de transferência de oscilação ilustrado na Figura 9 Ele consiste de dois sistemas massa molas pendurados em um bastão exível. Quando a mola do sistema 1 é elongada e então liberada, o movimento harmônico simples resultante do sistema 1 com frequência 1 põe o bastão a vibrar. O bastão exerce então uma força no sistema 2, que passará a oscilar com a mesma frequência f 1. Você pode escolher dentre quatro molas com constantes de mola k de 1600, 1500, 1400, 1200N/m e quatro blocos com massas m de 800, 500, 400 e 200kg. Determine que mola deveria ir com que bloco em cada sistema se o objetivo é maximizar a amplitude da oscilação 2.[Tipler and Mosca, 1995] 26. Na gura, duas molas idênticas de constante de mola k = 7850N/m estão ligadas a um bloco de massa 0.245kg. Qual é a frequência de oscilação sobre a superfície sem atrito?[halliday and Resnick, 1997] 27. A Figura 11 mostra um bloco de massa 0.200kg deslizando para a direita sobre uma superfície elevada sem atrito com uma velocidade de 8.00m/s. 6

7 Figure 10: Diagrama esquemático referente a questão 26. Figure 11: Diagrama esquemático do exercício 27 Esse bloco atravessa uma colisão elástica um bloco estacionário 2 está ligado a uma mola de constante k = N/m. (Assuma que a mola não é afetada pela colisão). Depois da colisão o bloco 2 oscila num movimento harmônico simples com período de 0.140s, e bloco 1 desliza de volta para a extremidade oposta da superfície elevada aterrizando a uma distância d da base da superfície depois de cair de uma altura h = 4.90m. Qual é o valor de d? [Halliday and Resnick, 1997] 28. Na Figura 12, um bloco pesando 14N, que pode deslizar sem fricção sobre uma superfície inclinada de um ângulo θ = 40, está conectado ao topo do plano inclinado por uma mola sem massa de comprimento natural 0.450m e constante de mola 120N/m. (a) Qual distante do topo do plano inclinado está na posição de equilíbrio? (b) se o bloco for deslocado suavemente para baixo no plano inclinado então liberado Qual será o período resultante das oscilações? [Halliday and Resnick, 1997] 29. Um relógio de cuco, cujo cuco tem massa 200g, vibra horizontalmente sem atrito no extremo de uma mola horizontal, com k = 7, 0N/m. O cuco fechado no relógio está a 5,0cm da sua posição de equilíbrio. Determine: Figure 12: Diagrama esquemático do problema 28 7

8 (a) A sua velocidade máxima. (b) A sua velocidade quando está a 3,0 cm da sua posição de equilíbrio. (c) Qual é o valor da aceleração em cada um dos casos anteriores?[beneti, 2015] 30. Um corpo oscila com um MHS ao longo do eixo dos x. O seu deslocamento varia com o tempo de acordo com a equação: x = (4.0m) cos (ωt + φ). (a) Determine a amplitude, frequência e período do movimento. (b) Calcule o deslocamento, a velocidade e a aceleração do corpo para t=1,0s. (c) Calcule o deslocamento do corpo entre t=0 e t=1,0s.[beneti, 2015] 31. Numa certa praia e num determinado dia do ano, a maré faz com que a superfície do mar suba e desça uma distância d num movimento harmônico simples, com um período de 12,5 horas. Quanto tempo leva para que a água desça uma distância d 4 da sua altura máxima? (Dica: d 4 da oscilação completa é metade da amplitude).[beneti, 2015] 32. Em um barbeador elétrico, a lâmina se move para frente e para trás, ao longo de uma distância de 2mm, em um MHS com uma frequência de 120Hz. Determine (a) a amplitude, (b) a velodiade máxima da lâmina e (c) o módulo da aceleração máxima da lâmina.[halliday and Resnick, 1997] 33. Quando um bloco de massa m é conectado a uma mola suspensa de constante de mola k na extremidade livre, ele se desloca num movimento harmônico simples com período de 5 segundos. O experimento é repetido com um bloco de massa M e verica se que o período passa a ser de 10 segundos. Qual a relação entre as massas m e M? 34. A Figura 13 ilustra o potencial unidimensional de uma barreira de energia para uma partícula de 2kg (a função U(x) tem a forma bx 2, e a escala do eixo vertical é determinada por U y = 2.0J). (a) Se a partícula passa pela posição de equilíbrio com uma velocidade de 85cm/s, ela irá retornar antes de atingir x = 15cm? (b) Se sim, em que posição ela fará isso; e se não qual a velocidade da partícula em x igual a 15cm? 35. A Figura mostra a energia cinética K de um oscilador harmônico simples em função da posição x. Escala vertical é determinada por K y = 4.0J. Qual é a constante da mola? 36. Considere que a energia de um sistema massa mola seja E m = J. Se a sua energia potencial for de K = 10 3 J, qual a posição em que ele se encontra em relação a posição de equilíbrio. Qual a sua energia cinética? Qual a velocidade correspondente, se a massa for m = 5kg? 8

9 Figure 13: Gráco relativo ao exercício 34. Figure 14: Gráco K = K (x) relativo ao exercício Considere um sistema massa mola constituído por duas molas em paralelo, conforme ilustrado na Figura 15. Qual a energia mecânica desse sistema se a massa for puxada de 5cm? 38. Determine qual a posição na qual a energia mecânica de um sistema massa mola de constante k e amplitude x m é igualmente dividida entre a energia cinética e a energia potencial. 39. Considere que o dispositivo propulsor de uma arma de fogo seja capaz de disparar um projétil de 10g a uma velocidade de 435m/s. Se esse sistema fosse substituido de um sistema massa-mola, qual deveria ser a constante da mola capaz de produzir o mesmo disparo caso ela seja comprimida de apenas um centímetro? 40. Digamos que você disponha de um conjunto de molas todas de mesma constante k, e elas sejam usadas em um sistema massa mola suspenso. Quantas molas devem ser associadas em paralelo para produzir uma frequência 64 vezes maior que a frequência de uma mola só acoplada a massa? 41. A Figura 16 mostra grácos da energia cinética K versus a posição de três osciladores harmônicos que tem a mesma massa. Ordene os grácos de acordo com (a) a constante da mola e (b) o período do oscilador, do maior para o menor. Halliday and Resnick [1997] 9

10 Figure 15: Diagrama esquemático relativo ao exercício 37. Considere que as duas molas tem a mesma constante k = 10N/cm, e que a massa do bloco seja de 10kg. Figure 16: Grácos de energia referente ao exercício

11 Figure 17: Gráco de v (t) do exercício Qual é a constante de fase de um oscilador harmônico com função velocidade v (t) descrita pelo gráco da Figura 17 se a posição é dada pela expressão x = x m cos (ωt + φ). A escala do eixo vertical é dado por v s =4.0cm/s. Halliday and Resnick [1997] 43. Um oscilador harmônico simples consiste de uma massa de 2.0kg acoplado a uma mola de constante 100N/m. Quando t = 1.00s, a posição e a velocidade do bloco são x =0.129m e v =3.415m/s. (a) Qual é a amplitude das oscilações? (b) Quais eram a posição e a velocidade em t = 0s?Halliday and Resnick [1997] 44. Se a constante de fase de um sistema massa-mola em MHS é π 6, e a posição do bloco é dada por x = x m cos (ωt + φ), qual a razão entre a energia cinética e potencial no instante t = 0?Halliday and Resnick [1997] 45. Calcule a energia necessária para comprimir uma mola de constante de fase k = 1000N/m de 2cm. 46. Determine a velocidade de uma massa de 2kg acoplada a uma mola no instante t = 5s, sabendo que esse sistema foi comprimido de 5cm e passou a oscilar com uma frequência de 200Hz. 47. Prove que se a massa de um sistema for reduzida a metade, sua frequência será ampliada de um fator igual a 2. References Alysson Beneti. Problemas de Oscilacoes e Movimento Harmonico Simples, URL David Halliday and Robert Resnick. Fundamentos de física. In Fundamentos de Física. Compañía Editorial Continental, Paul A Tipler and Gene Mosca. Física para cientistas e engenheiros. Macmillan,