4 e 6/Maio/2016 Aulas 17 e 18

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1 9/Abril/016 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis de energia. 4 e 6/Maio/016 Aulas 17 e 18 Equação de Schrödinger. Aplicações: 1º partícula numa caixa de potencial º partícula num poço de potencial finito 3º oscilador harmónico simples 4º barreira de potencial, probabilidade de transmissão. 1

2 Aula anterior Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) Se uma medição da posição for feita com precisão x e, simultaneamente, se se medir a componente p x do momento com precisão p x, então o produto das duas incertezas não pode ser inferior a h / (π). Princípio da Incerteza x p ħ com ħ= h π Se existe uma incerteza no momento da partícula, também existirá uma incerteza na sua energia. E t ħ Esta relação impõe um limite para a medição da energia de um sistema.

3 Aula anterior Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região A probabilidade P ab de encontrar a partícula no intervalo b x a é igual a P ab b = Ψ a dx Experimentalmente, existe sempre alguma probabilidade de se encontrar a partícula num ponto para um dado instante, pelo que a probabilidade vai estar entre 0 e 1. Por exemplo, se a probabilidade de se encontrar uma partícula entre dois pontos for igual a 0,3, então há 30% de hipóteses de ela estar nesse intervalo. A probabilidade de uma partícula se encontrar entre os pontos a e b é igual à área definida pela curva entre a e b. 3

4 Aula anterior Posição média de uma partícula A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidade de encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar informações de outras quantidades mensuráveis, como o momento e a energia. Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de uma partícula numa dada região: valor expectável. O valor expectável é definido como b x = x Ψ dx a e é igual ao valor médio da posição da partícula representada pela função de onda ψ na região delimitada por a e b. 4

5 Aula anterior Partícula numa caixa de potencial a) funções de onda b) distribuições de probabilidade A partir da função de onda ψ(x) = A sen (n π x / L) que tipo de informações será possível obter acerca da partícula? 5

6 Aula anterior Partícula numa caixa (cont.) E h = n 8 m L n com n = 1,, 3 No estado com menor energia (n =1), esta tem o valor de E = h 1 8 m L Os estados mais energéticos (n >1) têm energias Energia A energia mínima é > 0 E = 4E 1, E 3 = 9 E 1, Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula 6

7 Equação de Schrödinger Será possível usar o modelo da partícula numa caixa para prever os níveis de energia electrónicos num átomo? Problema: O electrão não está confinado a uma caixa de paredes infinitas (nem as paredes são verticais). Modelo da energia potencial em função da distância ao núcleo para um átomo. 7

8 Equação de Schrödinger (cont.) Solução: a equação de Schrödinger permite determinar as funções de onda de uma partícula num poço de potencial qualquer, de uma maneira sistemática; a partir das funções de onda é possível determinar as densidades de probabilidade, os comprimentos de onda, os momentos, os níveis de energia, 8

9 Equação de Schrödinger (cont.) A expressão geral (clássica) da equação das ondas para ondas que se deslocam ao longo do eixo x é Ψ = 1 Ψ x v t em que v é a velocidade da onda e ψ depende do espaço (x) e do tempo (t ) No caso mais simples, é possível separar a dependência no espaço da dependência no tempo: ψ (x, t ) = ψ (x) cos ω t Substituindo na equação das ondas, vem ( ) cos ω t Ψ ( x ) ω = - ( x )cos ( t) Ψ ω x v Ψ ( x ) ω = - ( x ) Ψ x v 9

10 Equação de Schrödinger (cont.) Partindo da expressão anterior e considerando as relações de de Broglie para as ondas (de matéria) ω = π f = π v /λ e p = h / λ v = π = 4π λ h p = p ħ ω ħ = h π Sendo a energia total E a soma das energias cinética e potencial E total = E cin +U pot = p m +U pot p =m( E total -U ) pot ω v = p ħ = m ħ ( E total -U ) pot 10

11 ω m = ħ E -U v ( total pot ) Equação de Schrödinger (cont.) Ψ ω = - Ψ x v Substituindo na equação das ondas obtém-se a Equação de Schrödinger na sua forma mais simples, independente do tempo, para uma partícula com movimento ao longo de x : - ħ m d Ψ ( x) dx +U ( pot x)ψ ( x) = E total Ψ ( x) Equação de Schrödinger ( ) d Ψ x m = - E -U dx ħ ( ) Ψ 11

12 Aplicações da equação de Schrödinger 1º partícula numa caixa de potencial A equação de Schrödinger permite explicar os sistemas atómico e nuclear, onde os métodos clássicos falham. Equação de Schrödinger para uma partícula numa caixa: d Ψ ( x) dx = - m ħ ( E-U )Ψ A energia potencial nas paredes da caixa é nula e as paredes são infinitas. U (x) = 0 para 0 x L U (x) = para x 0 e x L 1

13 1º partícula numa caixa de potencial (cont.) Na região 0 x L a equação de Schrödinger pode ser escrita como d Ψ ( x) dx = - m ħ EΨ Para simplificar, se se fizer k = me ħ d Ψ ( x) dx = - k Ψ 13

14 1º partícula numa caixa de potencial (cont.) Agora é necessário resolver a equação de Schrödinger para determinar a função de onda ψ que representa a partícula na caixa. Como as paredes são infinitas, ψ vai ser nula fora da caixa. Neste caso, as duas condições fronteira são : ψ (x) = 0 para x = 0 e x = L A solução da equação de Schrödinger que satisfaz estas condições é do tipo ( x) Asen ( k x) Ψ = 14

15 1º partícula numa caixa, verificação da solução 1ª condição fronteira : ψ (x) = 0 para x = 0 É verificada (sen 0 = 0) ª condição fronteira : ψ (x) = 0 para x = L É verificada se k L for um múltiplo de π, ou seja, se k L = n π, com n inteiro Como se definiu k = partir desta condição me ħ, tem-se, a Energia k L = me ħ L = nπ A energia mínima é > 0 15

16 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) k L = me ħ L = nπ (em função da energia) E h = n 8 m L n (idêntico ao resultado obtido anteriormente) 16

17 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) ( x) Asen ( k x) Ψ = k L = me ħ L = nπ Ψ x ( ) = A sen nπ x L Para determinar A vai ser necessário usar a condição de normalização: ψ dx = 1 17

18 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) A probabilidade da partícula estar na caixa (ou seja, em 0 < x < L) tem de ser igual a 1: L 0 ψ dx = 1 Ψ ( x) nπ x = Asen L L L n π x ψ dx = A sen dx = 1 L 0 0 Dado que sen ( ) ( ) sen ax x ax dx = 4a L A sen nπ x dx = A L L = 1 Α = 0 L 18

19 1º partícula numa caixa, verificação da solução (cont.) ψ ( x ) n π x = sen L L (finalmente ) 19

20 Uma partícula é descrita pela função de onda ψ = a x entre x = 0 e x = 1 e por ψ = 0 fora desta região. O seu movimento está limitado ao eixo x. Determine a probabilidade da partícula ser encontrada entre x = 0,45 e x = 0,55. A função de onda pode ser representada por: ψ 0 0,45 0,55 1 x A probabilidade vai ser dada por: x1 0, ,55 x P = ψ dx = a x dx = a = 0,05 a 3 x 0,45 0,45 0

21 º partícula num poço de potencial finito Consideremos uma partícula cuja energia potencial é nula na região 0 < x < L (poço) e igual a U (valor finito) fora dessa região. Para determinar as características desta partícula é necessário resolver a equação de Schrödinger: d Ψ ( x) dx = - m ħ ( E-U )Ψ No caso da partícula numa caixa de lados infinitos, a função de onda era nula nas paredes. Mas, neste caso, como as paredes representam um potencial finito, a função de onda já não vai ser nula. 1

22 º partícula num poço de potencial finito (cont.) Regiões I e III U > E d Ψ = C dx Ψ em que C = m(u-e)/ h é uma constante positiva Soluções desta equação: matemática física ( ) d Ψ x m = - ( E-U ) Ψ ħ dx

23 º partícula num poço de potencial finito (cont.) Matemática A solução geral desta equação é do tipo ψ = A e Cx + B e -Cx que A e B são constantes., em Física Na região I ( x < 0 ), B e -Cx aumenta exponencialmente com x < 0; esta situação não tem significado físico B = 0. Na região III ( x > L ), A e Cx aumenta exponencialmente com x > L; esta situação não tem significado físico A = 0. Portanto, as soluções nas regiões I e III são: Ψ Ψ Ι ΙIΙ = = Ae B e C x -C x 3

24 º partícula num poço de potencial finito (cont.) Região II U < E d dx Ψ = DΨ em que D é uma constante negativa A solução geral desta equação é do tipo ψ I I = F sen (kx) + G cos (kx), em que F e G são constantes. ( ) d Ψ x m = - ( E-U) Ψ ħ dx As funções de onda na região II são sinusoidais. 4

25 º partícula num poço de potencial finito (cont.) Fora da caixa: funções de onda exponenciais ψ I = A e Cx, ψ III = B e -Cx No interior: funções de onda sinusoidais ψ II = F sen (kx) + G cos (kx) Funções de onda Densidades de probabilidade 5

26 º partícula num poço de potencial finito (cont.) As constantes A, B, F e G podem ser determinadas a partir das condições nas fronteiras : continuidade das funções de onda nas fronteiras As funções de onda têm que ser iguais (e as suas derivadas também) nas zonas de transição. dψι x = 0 : ΨΙ = ΨΙI e = d x dψιi x = L : ΨΙI = ΨΙII e = d x dψ d x dψ ΙI d x ΙII 6

27 3º oscilador harmónico simples Considere uma partícula sujeita a uma força de restituição linear dada por F = - k x. x é o deslocamento relativamente à posição de equilíbrio (x = 0) e k é uma constante. Quando a partícula é deslocada da sua posição de equilíbrio e libertada, começa a oscilar em torno de x = 0 com um movimento harmónico (movimento semelhante ao dos átomos numa rede cristalina). 7

28 3º oscilador harmónico simples (cont.) Classicamente, a energia potencial U do sistema é igual a 1 1 U = k x m x = ω com a frequência angular de vibração ω dada por ω = k m A energia total E do sistema é a soma das energias cinética e potencial: 1 E total = E cinética + U = k A em que A é a amplitude do movimento. 8

29 3º oscilador harmónico simples (cont.) Classicamente, todos os valores de energia E são permitidos Quanticamente, é necessário resolver a eq. de Schrödinger com U = ½ ω x m para determinar os níveis de energia permitidos : d Ψ ( x) dx = - m ħ ( E-U )Ψ d Ψ ( x) dx = - m E- 1 ħ mω x Ψ 9

30 3º oscilador harmónico simples (cont.) Uma das soluções da eq. de Schrödinger para este caso é do tipo ψ = B e C x C = mω ħ E 0 = ħω Esta solução particular corresponde ao estado de menor energia do sistema (estado fundamental - ground state ). Os estados de maior energia (excitados) podem ser obtidos a partir do estado fundamental: E n = n + 1 ħ ω com n = 1,, 30

31 3º oscilador harmónico simples (cont.) A diferença de energia entre estados consecutivos é igual a E n - E n-1 =ħω =h ν Se a partícula estiver num certo estado e passar para o estado de energia imediatamente abaixo, vai perder um quantum de energia exactamente a quantidade de energia de um fotão. Diagrama de níveis de energia. Os níveis estão igualmente espaçados (com separação ħω ) e o estado fundamental tem energia E 0 = ħω / 31

32 3º oscilador harmónico simples (cont.) Curvas a vermelho Densidades de probabilidade para os estados com n = 0, 1 e. Curvas a azul Probabilidades clássicas correspondentes às mesmas energias. Do ponto de vista quântico, em certas regiões sobre o eixo x, a probabilidade de encontrar a partícula é nula. Classicamente, a partícula está mais tempo nas amplitudes extremas (maior probabilidade). 3

33 4º barreira de potencial Se uma partícula estiver num poço de potencial com paredes finitas, as suas funções de onda penetram as paredes. Consideremos agora o caso de uma partícula que incide numa barreira de potencial suficientemente fina. Energia A resolução da equação de Schrödinger permite obter as funções de onda desta partícula. 33

34 4º barreira de potencial (cont.) A resolução da eq. de Schrödinger aplicada às regiões I, II e III, com as condições fronteira para cada região (as funções de onda têm de ser contínuas nas separações), conduz às seguintes soluções: Regiões I e III ( E > U = 0 ) Funções de onda sinusoidais. Região II ( E < U ) Energia Funções de onda exponenciais (decrescentes). Como a probabilidade de encontrar a partícula numa dada região é proporcional a ψ, então existe uma probabilidade finita, não nula, de encontrar a partícula na região III. 34

35 4º barreira de potencial (cont.) Isto significa que a partícula tem uma probabilidade finita de penetrar a barreira, ainda que a energia da barreira seja superior à da própria partícula. Qual será a energia da partícula após ter penetrado a barreira? - O quadrado da função de onda indica a probabilidade da partícula atravessar a barreira, não a sua energia. Energia - O comprimento de onda da função de onda é que indica o momento e, portanto, a energia da partícula. 35

36 4º barreira de potencial, probabilidade de transmissão Nas condições deste problema, a energia é a mesma antes e depois de atravessar a barreira. A probabilidade da partícula passar através da parede pode ser calculada a partir da função de onda ψ que, por sua vez, vai ser calculada através da equação de Schrödinger. Essa probabilidade pode ser descrita em termos de um coeficiente de transmissão (T ) e de um coeficiente de reflexão (R ): O coeficiente de transmissão mede a probabilidade da partícula penetrar a barreira. ψ para a região II 36

37 4º barreira de potencial, probabilidade de transmissão (cont.) O coeficiente de reflexão é igual à probabilidade da partícula ser reflectida pela barreira. Dado que a partícula só pode ser transmitida ou reflectida T + R = 1 Uma solução (aproximada) da equação de Schrödinger (quando a barreira for suficientemente alta ou larga) é dada por: k = ħ p T = e α L α = ( ) m U - E, com e ħ R = ( k1 - k ) ( k + k ) 1 37

38 Um electrão com uma energia de ev encontra uma barreira de potencial com uma amplitude de 5 ev. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos) b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos) A probabilidade do electrão atravessar a barreira (por efeito de túnel) é dada por Neste caso: T = L e α α = m ( U - E ) ħ -19 U - E = 5 - = 3 ev = 4,8.10 J ,11.10 kg 4,8.10 J α = = -34 1,05.10 Js 8,9.10 m

39 Um electrão com uma energia de ev encontra uma barreira de potencial com uma amplitude de 5 ev. Determine a probabilidade do electrão atravessar a barreira se a largura desta for igual a: a) 1,0 nm (aproximadamente 10 diâmetros atómicos). b) 0,5 nm (aproximadamente 5 diâmetros atómicos). a) L = 1,0 nm α L - 8, T = e = e = 1,86.10 b) L = 0,5 nm α L - 8,9.10 0, T = e = e = 1,36.10 Diminuindo a largura da barreira para metade, a probabilidade do electrão a atravessar aumenta 10 4 vezes. 39