24/Abr/2014 Aula /Abr/2014 Aula 15

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1 /Abr/014 Aula 15 Ondas de matéria; comprimento de onda de de Broglie. Quantização do momento angular no modelo de Bohr. Difracção e interferência. Função de onda; representação matemática do pacote de ondas. 4/Abr/014 Aula 16 Princípio de Incerteza de Heisenberg. Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região. Posição média de uma partícula. Partícula numa caixa de potencial: funções de onda e níveis de energia. 1

2 Aula anterior Ondas de matéria Se um fotão, cuja massa em repouso é nula, tem um momento linear p = h/, então para qualquer partícula com momento p também se verifica p = h /, ou seja, tem associada uma onda com comprimento de onda igual a h / p. O comprimento de onda de de Broglie para uma partícula é então h p h mv Sendo E = h, a frequência das ondas de matéria é dada por E h Ondas de matéria

3 Aula anterior Quantização do momento angular no modelo de Bohr Uma corda de guitarra (em regime estacionário) só vibra sob a forma de ondas estacionárias com nodos em cada extremidade. Pode-se aplicar o mesmo raciocínio às ondas de matéria electrónicas formando uma circunferência em torno do núcleo: os electrões só podem existir em órbitas que correspondam a um número inteiro de comprimentos de onda em torno do núcleo. Então, deve-se verificar a condição n = r, em que r é o raio da órbita, é o comp. de onda de de Broglie do electrão e n = 1,, 3 Substituindo = h / m v na equação acima teremos n h/ m v = r. mv r nh Postulado de Bohr para a quantização do momento angular. 3

4 Aula anterior Difracção e interferência de partículas Padrões de interferência obtidos com electrões: Electrões Detector de electrões Número de electrões detectados por minuto A intensidade máxima obtém-se quando a diferença de caminhos é igual a zero ou múltiplos de um comprimento de onda: D sin = n Os mínimos de intensidade ocorrem quando a diferença de caminhos é igual a múltiplos de metade de um comprimento de onda: D sin = /, 3/, 5/ 4

5 Aula anterior Difracção e interferência de partículas (cont.) Padrão de interferência com ambas as fendas abertas : Com ambas as fendas abertas, obtém-se o padrão de interferências anterior: A curva azul no lado direito representa o nº acumulado de contagens por unidade de tempo quando cada uma das fendas está fechada metade do tempo. Contagem por minuto Contagem acumulada por minuto A curva vermelha representa o padrão de interferência com ambas as fendas abertas simultaneamente. 5

6 Aula anterior Função de onda Se ambas as fendas estiverem abertas simultaneamente, as funções de onda dos electrões sobrepõem-se. A função de onda combinada será igual a 1 +. O perfil de intensidade é dado por 1 + = ( 1. ) Isto é diferente da situação em que cada fenda está aberta metade do tempo ( 1 + ). O termo ( 1. ) é o termo de interferência. Se as funções de onda forem complexas, então 1 = 1 1 *, em que 1 * é o complexo conjugado de 1. Contagem por minuto Contagem acumulada por minuto 6

7 Representação matemática do pacote de ondas As partículas comportam-se como ondas e as ondas como partículas. Fotão com energia h Para representar uma onda/partícula é necessário uma representação matemática. A função de onda de uma partícula tem de ter propriedades de onda e, simultaneamente, ser localizada no espaço. Representação pacote de ondas de uma partícula. 7

8 8

9 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) A soma de duas ondas com frequências ligeiramente diferentes pode produzir uma estrutura repetida em pacotes de onda. Pacotes de ondas A soma de muitas destas ondas pode produzir um pacote de ondas isolado. 9

10 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) Um grupo de ondas isolado é o resultado da sobreposição de um número infinito de ondas com comprimentos de onda diferentes. Por exemplo, para um dado tempo fixo (ou seja, com o factor tempo retirado), o grupo de ondas como função do espaço (x) pode ser representado por x x x a0 sen a1 sen a sen

11 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) ou a sen k x a sen k x a sen k x em que k = / é o número de onda e a i são constantes. Em geral, o grupo de ondas pode ser expresso em termos do integral de Fourier: x a k sen k x dk 0 Pacote de ondas 11

12 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) A representação matemática de uma partícula é dada por uma função de onda. Por exemplo, (x) = 0 a(k) sen kx dk representa um pacote de ondas. A função de onda não tem um significado físico directo mas o módulo do quadrado da função de onda sim. A probabilidade de, experimentalmente, encontrar uma partícula descrita pela função no ponto de coordenadas (x, y, z) é igual a. Por exemplo, se for igual a zero para um certo valor de (x, y, z), então a probabilidade de encontar a partícula nesse ponto é nula. é a densidade de probabilidade. 1

13 Representação matemática do pacote de ondas (cont.) Condição de normalização Consideremos um sistema uni-dimensional que não varia com o tempo (a partícula está localizada algures no eixo x ); a probabilidade total (a soma das probabilidades) de encontrar a partícula no eixo x vai ser, obviamente, igual a 1. 0 dx 1 Condição de normalização Pacote de ondas 13

14 Princípio de Incerteza de Heisenberg x pequeno p grande Considere uma partícula com um tamanho bem definido. Esta partícula vai ser representada por um pacote de ondas bem localizado no espaço. A representação matemática da sua função de onda requer muitas ondas sobrepostas para uma gama bastante grande de números de onda k. 14

15 Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) Assim, x (a dimensão espacial do grupo de ondas) vai ser pequena e k (a gama de valores possíveis de k ) vai ser grande. h p k k p h p k p k h Quando x é pequeno, p é grande 15

16 Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) x grande p pequeno Considere agora uma partícula com um tamanho não muito bem definido. A representação matemática da sua função de onda requer apenas algumas ondas sobrepostas para uma gama bastante pequena de números de onda k. 16

17 Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) Assim, x (a dimensão espacial do grupo de ondas) vai ser grande e k (a gama de valores possíveis de k ) vai ser pequena. ( Tal como no caso anterior, como p = h / e k = /, então k = p / h ; assim, k = p / h, ou seja, p é proporcional a k ). Quando x é grande, p é pequeno 17

18 Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) x pequeno p grande x grande p pequeno Interpretação: Se a partícula é bem localizada (se a sua posição é bem definida), não se conhece muito bem o seu momento ( p é grande). Se a partícula não está localizada (ou seja, muito dispersa no espaço), conhece-se muito melhor o seu momento ( p é pequeno). 18

19 Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) Se uma medição da posição for feita com precisão x e, simultaneamente, se se medir a componente p x do momento com precisão p x, então o produto das duas incertezas não pode ser inferior a h / (). Princípio da Incerteza xp com h Se existe uma incerteza no momento da partícula, também existirá uma incerteza na sua energia. E t Esta relação impõe um limite para a medição da energia de um sistema. 19

20 Princípio de Incerteza de Heisenberg (cont.) Pode-se interpretar o Princípio de Incerteza de Heisenberg como uma consequência da dificuldade em medir quantidades extremamente pequenas: quando se tenta usar um fotão para medir a localização dum electrão, o fotão ao incidir no electrão transmite-lhe momento e, portanto, interfere na sua posição. Antes da colisão Fotão incidente Fotão difractado Após a colisão Electrão Electrão de recuo 0

21 A velocidade de um electrão é ms -1, medida com uma precisão de 0,0030%. Determine a incerteza na determinação da posição deste electrão. Momento linear do electrão : e p m v 9,11.10 kg 5.10 m s 4,56.10 kg m s Incerteza do momento : p 0, p 1,37.10 kg ms A incerteza na posição pode ser calculada a partir de xp 1,05.10 J s -3 x 0,38.10 m p ,37.10 kg m s -34 1

22 Probabilidade de encontrar uma partícula numa certa região A probabilidade P ab de encontrar a partícula no intervalo b x a é igual a P ab b a dx Experimentalmente, existe sempre alguma probabilidade de encontrar a partícula num ponto para um dado instante, pelo que a probabilidade vai estar entre 0 e 1. Por exemplo, se a probabilidade de encontrar uma partícula entre dois pontos for igual a 0,3, então há 30% de hipóteses de ela estar nesse intervalo. A probabilidade de uma partícula se encontrar entre os pontos a e b é igual à área definida pela curva entre a e b.

23 Posição média de uma partícula A função de onda, para além de permitir calcular a probabilidade de encontrar uma partícula numa dada região, também pode dar informações de outras quantidades mensuráveis, como o momento e a energia. Em particular, é por vezes útil conhecer qual a posição média de uma partícula numa dada região: valor expectável. O valor expectável é definido como b x x dx a e é igual ao valor médio da posição da partícula representada pela função de onda na região delimitada por a e b. 3

24 Partícula numa caixa (de potencial) Considere uma partícula que só se pode mover entre duas paredes impenetráveis, ao longo do eixo x : Se a velocidade da partícula for v = constante, o seu momento mv também é constante, tal como a energia cinética (1/) m v. Do ponto de vista da mecânica quântica, é necessário considerar as ondas de matéria que lhe estão associadas. 4

25 Partícula numa caixa (cont.) Caso (clássico) de ondas estacionárias numa corda esticada: só podem existir as ondas cuja amplitude nas extremidades seja nula (ou seja, a amplitude da função de onda = 0). Esta condição é verificada se L n ou L n com n = 1,, 3 O comprimento de onda de uma onda estacionária numa corda é quantizado. 5

26 Partícula numa caixa (cont.) A função de onda neste caso pode ser descrita como y (x) = A sen (kx) Como k L n y x n x Asen L O tratamento quântico de uma partícula numa caixa é semelhante: só são permitidas as partículas cujas funções de onda satisfazem a condição de amplitude nula em cada parede. Por analogia com as ondas estacionárias, as funções de onda para a partícula na caixa são sinusoidais e expressas por x n x Asen L A partícula pode existir num número infinito de estados. 6

27 Partícula numa caixa (cont.) x n x Asen L Três primeiros estados estacionários (funções de onda) permitidos para uma partícula com movimento uni-dimensional, confinada a uma caixa com paredes infinitas: funções de onda com n =1,, 3. 7

28 Partícula numa caixa (cont.) a) funções de onda b) distribuições de probabilidade A partir da função de onda (x) = A sen (n x / L) que tipo de informações será possível obter acerca da partícula? 8

29 Funções de onda Distribuições de probabilidade 9

30 Distribuições de probabilidade Funções de onda 30

31 Partícula numa caixa (cont.) Como os comprimentos de onda na caixa estão quantizados (e restritos à condição = L/n ), então o momento também está quantizado: p h nh L Se o momento está quantizado, também a energia estará: E nh 1 p L m m n mv E h 8 m L n n com n = 1,, 3 31

32 Energia Partícula numa caixa (cont.) E h 8 m L n n com n = 1,, 3 No estado com menor energia (n =1) esta tem o valor de E h 1 8 m L Os estados mais energéticos (n >1) têm energias A energia mínima é > 0 E = 4E 1, E 3 = 9 E 1, Uma partícula numa caixa não pode ter energia nula 3

33 Um electrão está confinado entre duas paredes impenetráveis que distam 0, nm entre si. Determine os níveis de energia para os estados n = 1, e 3. e m 9,11.10 kg, h 6,63.10 J.s E h 8 m L n n -34 h 6, E1 8 m L 1,51.10 J 9,4 ev 8 9, ,.10-9 E 4 E 37,7 ev 1 E 9 E 84,8eV 3 1 Embora este modelo seja rudimentar, permite descrever aproximadamente um electrão confinado num cristal, por exemplo 33

34 Um objecto com 1 mg de massa está confinado entre duas paredes impenetráveis que distam 1,0 cm entre si. Determine: a) a velocidade mínima do objecto b) se a velocidade do objecto fosse igual a 3, ms -1, qual seria o correspondente valor de n? a) A velocidade mínima corresponde ao estado caracterizado por n = 1: -34 h 6, E1 8 m L 5,49.10 J Como E 1 mv -58 5,49.10 v 3,31.10 ms Esta velocidade é tão pequena que o objecto pode ser considerado em repouso, tal como seria de esperar para um objecto macroscópico 34

35 Um objecto com 1 mg de massa está confinado entre duas paredes impenetráveis que distam 1,0 cm entre si. Determine: a) a velocidade mínima do objecto b) se a velocidade do objecto fosse igual a 3, ms -1, qual seria o correspondente valor de n? E m v 10 3,0.10 4,5.10 J b) A energia cinética é igual a Como E n n E1 e 1-58 E 5,49.10 J ,5.10 n 9,05.10 E Este valor é tão elevado que seria praticamente impossível distinguir a energia de dois estados adjacentes, correspondentes a n 1 = 9, e n = 9,