13/Maio/2016 Aula 20. Átomo de hidrogénio Modelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos. 11/Maio/2016 Aula 19

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1 11/Maio/2016 Aula 19 Aplicações: - nanotecnologias; - microscópio por efeito de túnel. Equação de Schrödinger a 3 dimensões. 13/Maio/2016 Aula 20 Átomo de hidrogénio Modelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos. 1

2 Aula anterior 2

3 Aula anterior Aplicação: microscópio por efeito de túnel Uma ponta de prova ( tip ) condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( 1 nm) da superfície que se pretende analisar. Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 α L. Se os sensores piezoeléctricos receberem um sinal (feedback) de forma a manter a corrente constante na tip, então a distância superfície-ponta também vai ser constante. Diagrama de um microscópio por efeito de túnel 3

4 Aula anterior Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.) Imagem topográfica por efeito de túnel Com um microscópio por efeito de túnel é possível medir alturas na superfície da ordem de 0, m, 1/100 do diâmetro atómico típico. 4

5 Aula anterior Equação de Schrödinger a 3 dimensões 2 ( ) d Ψ x 2m = - E-U 2 2 dx ħ ( ) Ψ Ψ Ψ Ψ 2m + + = - E-U x, y,z x y z ħ ( ) Ψ ( ) p x py pz ħ cin = cin ψ = ψ ψ ψ E E ( x, y,z ) - 2m 2m x y z 5

6 Aula anterior Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no interior e U = no exterior: Partícula confinada Tem-se ψ (x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo: x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L. A função de onda espacial pode ser descrita como o produto de funções de (x,y,z ) independentes: ψ n n xπ x yπ y nzπ z x, y,z = A sen sen sen L L L ( ) x z L L L y 6

7 Aula anterior Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) ħ 2 π 2 ( ) = h2 2m L 2 n x 2 + n y 2 + n z 2 8mL 2 ( n 2 x + n 2 2 y + n ) = E z Níveis de energia permitidos: E n1,n 2,n 3 = ħ2 π 2 ( ) = E ( 1 n n n ) 3 2m L 2 n n n 3 2 7

8 Aula anterior Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.) Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se degenerado. Neste caso, para o 1º nível excitado: E 211 = E 121 = E 112 = 6 E 1 (grau de degeneração = 3). Em a) os níveis de energia são degenerados; em b), quando a simetria do potencial é retirada, os níveis deixam de ser degenerados. a) b) Diagrama de níveis de energia a) poço cúbico infinito b) poço infinito não-cúbico 8

9 Átomos modelo de Bohr do hidrogénio Átomo de hidrogénio elemento mais abundante no universo produção de energia no Sol ( p + p d + e + + ν + 0,42 MeV ) teste para as teorias da Física Quântica. Modelo de Bohr do hidrogénio Como explicar a existência de riscas espectrais para os elementos? Por exemplo, as linhas das séries de Balmer para o hidrogénio: 9

10 Bohr : os átomos só podem existir em certos estados de energia discretos. Modelo planetário semi-clássico : 1) os electrões deslocam-se em certas órbitas circulares estáveis em torno do protão, com raio r n. 2) só as órbitas para as quais o comprimento é um múltiplo inteiro do comprimento de onda de de Broglie são estáveis : h = = 2π rn n λ n p 3) a força centrípeta é dada pela lei de Coulomb: 2 2 m v e = r 4 r 2 n πεo n 10

11 Modelo de Bohr Comparação : modelo de onda estacionária para as órbitas electrónicas 2π r n = n λ = n (h/p) 11

12 Energia: [J], [ev] Electrão livre Estados excitados Estado fundamental 12

13 Energia total numa órbita circular : E n = 1 mv 2 2 n + U( r n ) = 1 mv 2 2 n e 2 4πε o r n = e 2 8πε o r n de 2) : 2π r n = nh mv v 2 = nħ mr n 2 de 3) : mv 2 r n = v 2 = e 2 4πε o r n 2 e 2 4πε o mr n Raio de Bohr : a o = 5.29 x m r n = n 2 ħ 2 4πε o me 2 = n2 a o Energias permitidas: E n = -13,6 ev /n 2 E n = e 2 = E 0 8πε o n 2 a o n 2 13

14 Raio de Bohr : a o = 5.29 x m r n = n 2 ħ 2 4πε o me 2 = n2 a o 14

15 Modelo de Bohr : 1. O espectro de energia é explicado : E n = -13,6 ev / n O espectro de riscas é explicado: os fotões são emitidos com hf = E inicial E final E. 3. O raio de Bohr a o está de acordo com o tamanho do átomo de hidrogénio no estado fundamental. Expressão de Rydberg para os comprimentos de onda observados = R λ n n 2 2 final inicial R = constante de Rydberg (medida experimentalmente) E = hc λ = hcr 1 n 2 15

16 protão 16

17 A partir do modelo de Bohr: Série de Lyman (ultravioleta) Série de Balmer (visível) Série depaschen (infravermelho) 17

18 Níveis de energia do electrão Estado excitado, r 4 Estado excitado, r 4 Estado excitado, r 3 Estado excitado, r 2 Estado excitado, r 3 Estado fundamental, r 1 Estado excitado, r 2 Estado fundamental, r 1 18

19 Energia potencial U(r) : r protão: +e electrão: -e U( r ) = 2 e 4πε r o Energy n = E = 13,6 ev n 2 n n = 1 A energia de ionização é a energia necessária que deve ser fornecida para arrancar um electrão até E = 0. U(r) : poço de potencial 3D superfície de revolução Os estados ligados têm energia E < 0 19

20 a) Determine a energia e o comprimento de onda para o limite da série de Brackett (n 2 = 4) b) determine os três maiores comprimentos de onda desta série e indique as suas posições numa escala linear hf = E = E E a) A energia dos fotões é dada por i f O limite da série é obtido para n = e E = 0 i E = E E = E = 0 0 f 2 2 n 2 n2 13,6 ev A energia do fotão para n 2 = 4 é igual a hf = = 2 4 0,850 ev O comprimento de onda da radiação resultante duma transição de energia E = h f é 1240 ev nm λ = E 20

21 λ min é encontrado para a transição n = n 2 = 4: λ min 1240 ev nm = = 0,850 ev 1459 nm b) Os três maiores comprimentos de onda são dados por ni = 5,6 e7 E 0 E E = Ei E f = E 2 = 2 0 = E n i n 2 n2 n i 16 n i 1 1 E5 4 = ( 13,6 ev ) = 0,306 ev λ ev nm = = 0,306 ev 4052 nm 21

22 1 1 E6 4 = ( 13,6 ev ) λ ev nm = = 0,472 ev 2627 nm = 0,472 ev 1 1 E7 4 = ( 13,6 ev ) λ ev nm = = 0,572 ev 2168 nm = 0,572 ev nm 2627 nm 4052 nm 22

23 LASER LASER: Light Amplification by Stimulated Emission of Radiation Absorção: E 1 E 2

24 Emissão espontânea:

25 Emissão estimulada:

26 E 2 E 2 E 2 hυ hυ hυ In hυ Out hυ E 1 E 1 E 1 (a) Absorption (b) Spontaneous emission (c) Stimulated emission Absorption, spontaneous (random photon) emission and stimulated emission S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall) 26

27 When a sizable population of electrons resides in upper levels, this condition is called a "population inversion", and it sets the stage for stimulated emission of multiple photons. This is the precondition for the light amplification which occurs in a LASER and since the emitted photons have a definite time and phase relation to each other, the light has a high degree of coherence. 27

28 Modelo quântico do átomo de hidrogénio O electrão está confinado a um poço de potencial U(r) = - e 2 / (4πε o r) Estado fundamental, n = 1, com distribuição de densidade electrónica dada por P(r) = ψ 2. Consideremos agora : 1. A densidade de probabilidade pode ser relacionada com a densidade de carga do átomo: ρ carga (r) = - e ψ(r) 2 Coulomb/m 3 2. A partícula confinada tem 1 número quântico para cada dimensão espacial são necessários 3 números quânticos para descrever cada estado (no modelo de Bohr só existe 1 número quântico, n ). 28

29 Esses números quânticos (para além de n ) são uma consequência directa da equação de Schrödinger a 3 dimensões: r electrão: -e U( r ) = 2 e 4πε r o protão: + e ħ2 2 ψ 2m x + 2 ψ 2 y + 2 ψ 2 z 2 + U( r ) ψ = E ψ 29

30 Equação de Schrödinger a 3 dimensões: ħ2 2 ψ 2m x + 2 ψ 2 y + 2 ψ 2 z 2 + U( x,y,z) ψ = E ψ U( x, y,z ) = - o e πε x + y + z Forma do poço de potencial que mantém o electrão confinado. 30

31 Em coordenadas esféricas, U = U (r) apenas: r = x + y + z θ = ( ) arccos z / r φ = arctg( y / x ) x φ z θ r y 0 θ π 0 φ 2π Vai existir um número quântico associado a cada coordenada: r, θ e φ 31

32 Resolução da equação de Schrödinger: A função de potencial tem simetria esférica é mais fácil resolver este problema em coordenadas esféricas (r, θ, φ ), com U = U(r). Solução para o estado fundamental do hidrogénio: (n = 1, E = -13,6 ev) / 1 (,, ) 1 r a ψ r θ φ = e o 3 π a Condição de normalização : o a o = raio de Bohr dv = elemento de volume todo o espaço P( r, θ, φ ) dv = 1 ψ dv =

33 Elemento de volume com simetria esférica : superfície de uma esfera: 4 π r 2 volume dv de uma coroa esférica com espessura dr r 2 dv = 4π r dr Densidade de probabilidade radial: 2 2 P( r ) = 4π r ψ Para o estado com n = 1 r / a o A probabilidade de encontrar o electrão em r dentro da coroa esférica de espessura dr é igual a P(r)dr Localização mais provável do electrão r = a o (raio de Bohr). 33

34 Em resumo: - dois modelos para o átomo de hidrogénio 1. Modelo de Bohr, de órbitas planetárias com 2π r n = n λ, r n = n a o, consegue prever os níveis de energia correctamente E n = -13,6 ev/ n2. 2. Modelo quântico, em que o electrão está confinado a um poço de potencial da forma U(r) = - e2/ (4πε o r) consegue obter os níveis de energia correctamente E n = -13,6 ev/ n2 consegue obter a maior probabilidade de encontrar o electrão para r = a o a partir da densidade de probabilidade radial da função de onda. No modelo quântico, o átomo é representado por uma nuvem definida pela densidade de probabilidade electrónica. 34

35 Números quânticos do átomo de hidrogénio Números quânticos para o hidrogénio e coordenadas associadas: 1. Coordenada radial r número quântico principal n = 1, 2, 3... ( n do modelo de Bohr) 2. Ângulo polar θ número quântico do momento angular l = 0, 1, 2... (n-1) 3. Ângulo azimutal φ número quântico magnético m l m = -l, -l +1, 0, 1... l (2l+1) valores O conjunto dos números quânticos (n, l, m) z tem origem nas condições de confinamento da função de onda (que seja solução da equação de Schrödinger) a 3 dimensões : todos os 3 números são necessários para especificar essa função de onda. x φ θ r y 35

36 Número quântico principal ( n ) No entanto, a energia total E só depende do número quântico principal (n ): E = 13,6 n 2 n ev As funções de onda são indicadas pelo conjunto dos 3 números quânticos (n, l, m ), que só podem tomar certos valores: ψ n,l,m ( r, θ, φ ) Os estados são indicados de acordo com o valor de l l = 0 s ; l = 1 p ; l = 2 d ; l = 3 f ;... Energia n l m estado nº de estados - 13,6 ev s 1-3,4 ev s 1-3,4 ev 2 1 1,0,-1 2p 3-1,5 ev s 1-1,5 ev 3 1 1,0,-1 3p ev 3 2 2,1,0,-1,-2 3d Por exemplo, o estado fundamental, de simetria esférica, é indicado por: ψ r / a 1 o 100 ( r, θ, φ ) = e π a 3 o 36

37 Estado fundamental, de simetria esférica Estados excitados, com E = - 3,4 ev, n = 2 ψ 100 r / a ( r, θ, φ ) = e 1 o π a 3 o 2, 0, 0 2, 1, 0 2, 1, ± 1 r r / 2ao r r / 2ao r r / 2a ψ o 2,0,0 = A i 2 e ψ a 2,1,0 B e cosθ ψ a 2,1, 1 C e senθ e ± = φ ± = o o a o Densidades de probabilidade radiais: 37