b) Encontre a expressão e o gráfico da densidade de probabilidade ψ ( x ) do mesmo sistema c) Qual é o valor expectável <x> para este estado?

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1 Probabilidade e valores expectáveis Uma partícula numa caixa uni-dimensional (parede infinita) e largura encontra-se no seu primeiro estado excitado (n = ). a) Calcule e desenhe ψ ( x ) em função de x para este estado. b) Qual é o valor expectável <x> para este estado? 1

2 Uma partícula numa caixa uni-dimensional (parede infinita) e largura encontra-se no seu primeiro estado excitado (n = ). a) Encontre a função ψ (x) para esse estado nessa caixa. b) Encontre a expressão e o gráfico da densidade de probabilidade ψ ( x ) do mesmo sistema c) Qual é o valor expectável <x> para este estado? a) Função de onda da partícula numa caixa: λ nπ x = n Ψ ( x) = Asen π x = Para n =, Ψ x Asen Condição de normalização: dx = 1 x Ψ ( x) Asen ( k x) Asen π = = λ π x π x x sen( 4π x ) A A sen dx = A sen dx = A = = 1 8π ψ Tabela de integrais: sen sen ax x ax dx = 4a ogo, A = 1

3 Uma partícula numa caixa uni-dimensional (parede infinita) e largura encontra-se no seu primeiro estado excitado (n = ). a) Encontre a função ψ (x) para esse estado nessa caixa. b) Encontre a expressão e o gráfico da densidade de probabilidade ψ ( x ) do mesmo sistema c) Qual é o valor mais expectável <x> para este estado? cont. a) ogo, ψ ( x) b) ψ π x = sen π x π x x = sen = sen ψ (x) 3

4 Uma partícula numa caixa uni-dimensional (parede infinita) e largura encontra-se no seu primeiro estado excitado (n = ). a) Encontre a função ψ (x) para esse estado nessa caixa. b) Encontre a expressão e o gráfico da densidade de probabilidade ψ ( x ) do mesmo sistema c) Qual é o valor expectável <x> para este estado? c) Mudança de variáveis: π π π π π π x x = xψ dx x = x sen dx x = θ, π π x π θ = dθ = dx, dx = dθ π x = θ sen θ dθ = θ sen θ dθ x Tabela de integrais: π θ θ θ θ π π sen cos 1 1 = = + = π =. ( ) ( ) 4

5 Probabilidade e valores expectáveis Uma partícula numa caixa unidimensional encontra-se no estado fundamental (n = 1). A caixa está na região x. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < x < / ; b) < x < /3 ; c) < x < 3/4. 5

6 Uma partícula numa caixa unidimensional encontra-se no estado fundamental (n = 1). A caixa está na região x. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < x < / ; b) < x < /3 ; c) < x < 3/4. ψ = 1 ( x) π x sen ( Nota: obtenha este resultado ) P ab b = Ψ a dx P(x) para < x < d: Mudança de variáveis: θ' d π P x = sen xdx θ = π x θ' P ( x) = sen θ dθ sen θdθ = π π P x ' θ senθ = π 4 θ x = θ, π π dθ = dx, dx = dθ π Tabela de integrais: x sen x sen xdx = 4 6

7 Uma partícula numa caixa unidimensional encontra-se no estado fundamental (n = 1). A caixa está na região x. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < x < / ; b) < x < /3 ; c) < x < 3/4. P x θ senθ = π 4 θ' a) b) π θ senθ π P( x) =,5 π 4 = = π 4 π 3 θ senθ π sen π P ( x) =,196 π 4 = π = = π c) 3π 4 θ senθ 3π sen6π P ( x) =,99 π = = + = 4 π π 7

8 Probabilidade e valores expectáveis Uma partícula numa caixa unidimensional encontra-se no primeiro estado excitado (n = ). A caixa está na região x. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < x < / ; b) < x < /3 ; c) < x < 3/4. 8

9 Uma partícula numa caixa unidimensional encontra-se no primeiro estado excitado (n = ). A caixa está na região x. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < x < / ; b) < x < /3 ; c) < x < 3/4. ( x) ψ = π x sen P(x) para < x < d: Mudança de variáveis: θ' d π P x = sen xdx π x θ = θ' 1 P ( x) = sen θ dθ sen θdθ = π π P x θ' ( θ ) 1 θ sen = π 4 ( Nota: obtenha este resultado ) P ab (tabela de integrais) b = Ψ a dx x = θ, π π dθ = dx, dx = dθ π 9

10 Uma partícula numa caixa unidimensional encontra-se no primeiro estado excitado (n = ). A caixa está na região x. Calcule a probabilidade da partícula ser encontrada nas seguintes regiões: a) < x < / ; b) < x < /3 ; c) < x < 3/4. a) b) P x 1 θ senθ = π 4 θ' 1 θ senθ 1 π P( x) =,5 π 4 = = π π π 3 1 θ senθ 1 π sen 4π P( x) =,4 π 4 = π = + = π c) 3π 1 θ senθ 1 3π P( x) =,75 π 4 = = π 4 1

11 Reflexão e transmissão de ondas electrónicas: barreira de potencial Uma partícula de massa m com número de onda k 1 desloca-se ao longo do eixo x (x < ). A energia potencial da partícula é zero para x< e U > para x >. Mostre que, se a energia total for E = α U, com α 1, o número de onda k na região x > é dado por α 1 k = k1 α 11

12 Uma partícula de massa m com número de onda k 1 desloca-se ao longo do eixo x (x<). A energia potencial da partícula é zero para x< e U > para x >. Mostre que, se a energia total for E = α U, com α 1, o número de onda k na região x > é dado por k = ( α 1 α ) k1. Conservação da energia (região x>): k ħ U m + = α U k = ( α ) mu 1 ħ Conservação da energia (região x<): ħ k 1 m + = αu k 1 = mαu ħ k k ( α ) mu 1 = ħ = mαu 1 ħ α 1 α k = α 1 k α 1 1

13 Reflexão e transmissão de ondas electrónicas: barreira de potencial Um electrão de energia 1 ev incide numa barreira de potencial com 5 ev de altura e 1 nm de largura. e α a) Use T = para determinar a probabilidade de o electrão atravessar a barreira. b) Repita para a largura de,1 nm. m c e = 511keV -13 ħc = 1,974 1 MeV m 13

14 Um electrão de energia 1 ev incide numa barreira de potencial com 5 ev de altura e 1 nm de largura. a) Use T = e α para determinar a probabilidade de o electrão atravessar a barreira. b) Repita para a largura de,1 nm. a) T = e α ( ) ( ) m U m U E E α= = ħ ħ m c e = 511keV -13 ħc = 1,974 1 MeV m α = ( ) mc U E ħc ( ) 511keV 5 ev 1 ev T = exp 1 m = 5,91 1 1,974 1 MeV m b) ( ) 511keV 5 ev 1 ev T = exp 1 m = 1,89 1 1,974 1 MeV m