Universidade de São Paulo em São Carlos Mecânica Quântica Aplicada Prova 2

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1 Universidade de São Paulo em São Carlos.7.04 Mecânica Quântica Aplicada Prova Nome: Questão : Método variacional (.5 pontos) Considere o oscilador harmônico descrito pelo hamiltoniano H = + m dx mω x. a. (0.5 pontos) Normalize a função de onda chute ψ(x) = A cos(πx/a) entre os limites ±a/. b. ( pontos) Usando este chute com o parâmetro livre a determine através do método variacional a energia do estado fundamental. d Formulário: π/ cos xdx = π π/ e π/ π/ x cos xdx = π3 4 π 4

2 Solução A normalização requer = A a/ a/ cos πx a cos πx a dx = A a. Com isso Ĥ = = a/ m A ( π a m a Agora variamos Ĥ por a, a/ a/ cos πx d πx cos a dx a/ = π m a + m a π 6 ω. π cos πx a dx + m ω a dx + m a/ ω A a/ a/ a/ x cos πx a dx 0 = d Ĥ da = π 4 + m ω a 4 π 6m ω a 4, ma 3 π e estimamos Ĥ na posição do mínimo, a4 = a 4 ho π4 π 6, x cos πx a dx ) Ĥ = ω π 6 3. Essa estimativa é (π 6)/3.4 vezes maior do que a estimativa usando o chute gaussiano, o que mostra que o chute gaussiano deve ser mais próximo da função de onda exata do que o cosenus.

3 Questão : TPIT no poço de potencial (3 pontos) Considere uma partícula num potencial em forma de poço D perturbado, V (x) = 0 para x [ /, 0], V (x) = V para x [0, /] e V (x) = fora destas regiões. A perturbação seja fraca, isto é, mv π. Calcule a. ( ponto) a correção para a energia na primeira ordem, b. ( ponto) para as funções de onda na primeira ordem, c. ( ponto) para a energia na segunda ordem. Formulário: sin ax sin bxdx = sin(a b)x (a b) cos ax sin bxdx = cos(a+b)x sin(a+b)x (a+b) e (a+b) + cos(a b)x (a b) cos ax cos bxdx = sin(a b)x (a b) + sin(a+b)x (a+b)

4 Solução a. As autoenergias não perturbadas são As autofunções não perturbadas são x n = ψ n (0) (x) = n = n H (0) n = n π m. As correções de primeira ordem para as autoenergias são cos nπx para n impar sin nπx para n par. E () n = n H () n = / 0 ψ n (x)v ψ n (x)dx = V { / cos nπx 0 / sin nπx 0 { cos = V nπ sin nπ + nπ para n impar 4nπ cos nπ sin nπ + nπ para npar = V. b. As correções de primeira ordem para as autofunções são ψ n () = k n = V = π = π k k H() n E n (0) k V V n k n n k n n k n n k π n k = m V k π n k k n (n k ) / 0 ψ n (x)ψ k (x)dx dx para n impar dx para n par π/ cos nz cos kzdz para n impar e k impar 0 π/ cos nz sin kzdz para n impar e k par 0 π/ sin nz cos kzdz para n par e k impar 0 π/ sin nz sin kzdz para n par e k par 0 cos π (n+k) (n+k) cos π (n+k) (n+k) sin π (n k) + sin π (n+k) (n k) + cos π (n k) + (n k) (n+k) (n+k) para n impar e k impar cos π (n k) + + (n k) (n+k) sin π (n k) sin π (n+k) (n k) 0 para n ± k par k para n impar e k par n para n par e k impar c. As correções de segunda ordem para as autoenergias são E () n = n H () n + k n = V k n n H () k k H () n 4 (n k ) 4 π n k = m V π (n k) para n impar e k par (n k) para n par e k impar (n+k) para n par e k par k n 0 para n ± k par k para n impar e k par n para n par e k impar. n k. / 0 ψ n (x)ψ k (x)dx

5 Questão 3: Estrutura fina e hiperfina (.5 pontos) a. ( ponto) Sabendo que a energia de interação spin-órbita para um átomo de hidrogênio é V ls = ξ(r)ŝ ˆl com nl ξ(r) nl = α determine a estrutura fina completa m e c n 3 a 3 B (l(l+/)(l+) de todos os estados p j do elétron sem tomar em conta correções relativísticas nem o deslocamento de amb. b. (0.5 pontos) Quais são as degenerescências dos estados? c. ( ponto) Sabendo que a frequência da transição entre os estados da estrutura hiperfina do estado fundamental do hidrogênio é 40 MHz, determine as correções para os níveis de energia devido ao spin do núcleo.

6 Solução a. Temos E nl = nl V ls nl = nl ξ(r) nl l s l l b. As degenerescências são = α m ec n 3 a 3 B l(l + /)(l + ) [j(j + ) l(l + ) s(s + )] { 3 3/(3/+) (+) /(/+) α para j = l + s (+/)(+) = 4m ecn 3 a 3 /(/+) (+) /(/+) B para j = l s (+/)(+) = m { ec α 4 /3 para j = 3/ 4 n 3 /3 para j = /. deg( p / ) = e deg( p 3/ ) = 4. c. O estado fundamental é s /. Sabemos I = / e h 40 MHz = E n(j,i)(f =J+I) E n(j,i)(f =J I) = A (J, I)(F = J + I) Ĵ Î (J, I)(F = J + I) A (J, I)(F = J I) Ĵ Î (J, I)(F = J I) = A = A [(J + I)(J + I + ) J(J + ) I(I + )] A [(J I)(J I + ) J(J + ) I(I + )] 3 A = A. Estes são os níveis deslocados.

7 Questão 4: Eixo de quantização ( pontos) a. ( ponto) Determine o hamiltoniano de interação Zeeman com um momento angular J = para um campo magnético B em direção arbitrária calculando a matriz J, m z V (B) J, m z = µ B J, m z B x Ĵ x + B y Ĵ y + B z Ĵ z J, m z. b. ( ponto) Mostre, que o deslocamento de energia só depende do valor absoluto B.

8 Solução A energia é V (B) = µ J B = µ B(B x Ĵ x + B y Ĵ y + B z Ĵ z ) = µ [ B J, m z B x J, m z (Ĵ+ + Ĵ ) J, m z m z,m z ] + B i y J, m z (Ĵ+ Ĵ ) J, m z + B z J, m z Ĵz J, m z J, m z [ = µ B J, m z (B x ib y ) J(J + ) m z (m z + )δ m z,m z+ m z,m z + (B x + ib y ) J(J + ) m z (m z )δ m z,m z + B z m z δ m z,m z ] J, m z. Para um momento angular J = temos B z (B x ib y ) 0 V (B) = µ B (B x + ib y ) 0 (B x ib y ) 0 (B x + ib y ) B z com os autovalores V (B) = 0, µ B B.