Elétrons se movem ao redor do núcleo em órbitas circulares (atração Coulombiana) Cada órbita n possui um momento angular bem definido

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1 ÁTOMO DE HIDROGÊNIO Primeiro sistema tratado quanticamente por Schrödinger Modelo de Bohr Elétrons se movem ao redor do núcleo em órbitas circulares (atração Coulombiana) Cada órbita n possui um momento angular bem definido L = nħ = n h 2π n = 1, 2, 3, Cada órbita n possui uma energia bem definida E = 1 Ze 2 4πε 0 ħ 2 m 2 1 n 2 n = 1, 2, 3, E n=1 = 13,6 ev Cada órbita possui um raio bem definido r = 4πε 0ħ 2 mze 2 n2 n = 1, 2, 3, r n=1 = 0,53 A Elétron emite radiação ao mudar, de forma descontínua, de uma órbita estável (E i ) para outra órbita estável (E f )

2 Equação de Schrödinger Autovalores (energias E) previstos pela teoria de Schrödinger estão em acordo com o modelo de Bohr e com os observados experimentalmente E = 1 Ze 2 4πε 0 ħ 2 μ 1 Mm n = 1, 2, 3, μ = 2 n2 M + m massa reduzida Prevê as autofunções, fornecendo novas informações adicionais Função densidade de probabilidade 2 : descrições detalhadas da estrutura do átomo, sem violar o princípio de incerteza (ao contrário do modelo de órbitas precisas de Bohr) Momentos angulares orbitais dos átomos (incorretamente previstos por Bohr) Spin do elétron e outros efeitos relativísticos no átomo (incorretamente previstos por Bohr) Rapidez com que o átomo transiciona de seus estados excitados para seu estado fundamental (grandeza mensurável não prevista pelo modelo de Bohr) Átomo de um elétron: modelo mais simples de átomo mais complexo que os estudados até então, pois envolve DUAS partículas e é TRIDIMENSIONAL

3 A massa reduzida μ = Mm M + m massa reduzida O potencial Coulombiano V r = 1 Ze 2 4πε 0 r = V r Equação de Schrödinger independente do tempo ħ2 2μ 2 ψ r + V r ψ r = Eψ r

4 Coordenadas esféricas Coordenadas cartesianas em função das esféricas x = r cos φ y = r sin φ z = r cos θ Laplaciano em coordenadas esféricas 2 = 1 r 2 r r2 r + 1 r 2 θ 2 θ + 1 r 2 sin 2 θ φ 2 Reescrevendo a EDO de Schrödinger independente do tempo ħ2 2μ 1 r 2 r ψ r r2 r 1 + r 2 θ ψ r θ 1 2 ψ r + r 2 sin 2 = E V r ψ r θ φ2 Separação de variáveis ψ r = R r Θ θ Φ φ = RΘΦ

5 Substituindo na equação ΘΦ r 2 r R r2 r + RΦ r 2 θ Θ θ + RΘ 2 Φ r 2 sin 2 θ φ 2 = 2μRΘΦ ħ 2 V r E Multiplicando: r2 sin 2 θ RΘΦ sin 2 θ R r r2 R r + Θ θ Θ θ + 2μr2 sin 2 θ ħ 2 E V r = 1 2 Φ Φ φ 2 Lado esquerdo independe de ; lado direito só depende de. Única solução possível 1 2 Φ Φ φ 2 = cte = m l 2 2 Φ φ 2 = m l 2 Φ Φ = e im lφ Impondo condição de contorno: continuidade da função de onda Φ 0 = Φ 2π 1 = e im l2π m l = 0, 1, 2, Solução em Φ ml φ = Ae im lφ m l = 0, 1, 2,

6 Substituindo na equação sin 2 θ R r r2 R r + Θ θ Θ θ + 2μr2 sin 2 θ ħ 2 E V r = m l 2 Multiplicando: 1 sin 2 θ 1 R r r2 R r + 2μr2 ħ 2 E V r = m 2 l sin 2 θ + 1 Θ θ Θ θ Lado esquerdo independe de ; lado direito só depende de. Única solução possível m l 2 sin 2 θ + 1 Θ θ Θ θ = cte = l l + 1 m l 2 Θ sin 2 θ + 1 θ Θ θ = l l + 1 Θ Solução em Θ l,ml θ = B sin m l θ. P l m l cos θ l = m l, m l + 1, m l + 2, onde P l m l cos θ são os POLINÔMIOS DE LEGENDRE e dependem de l e m l

7 Substituindo na equação 1 R r r2 R r + 2μr2 ħ 2 E V r = cte = l l r 2 r r2 R r + 2μR ħ 2 E 1 Ze 2 4πε 0 r = R l l + 1 r2 Solução em r R n,l r = C 2Zr a 0 n l. e Zr a 0 n 2l+1. L 2Zr n+1 a 0 n n = l + 1, l + 2, l + 3, onde a 0 = 4πε 0ħ 2 μe 2 e 2l+1 L 2Zr n+1 a 0 n são os POLINÔMIOS DE LAGUERRE e dependem de n e l Da solução em r sai a condição para a energia: E n = 1 Z 2 e 2 1 4πε 0 2a 0 n 2 = 1 Ze 2 4πε 0 ħ 2 μ 2 1 n 2 n = 1, 2, 3, ou, substituindo os valores: E 1 = 13,58 ev E n = 13,58 1 n 2 ev

8 As soluções gerais da equação de Schrödinger independente do tempo, para o átomo de hidrogênio, serão R n,l r = C 2Zr a 0 n l. e Zr a 0 n 2l+1. L 2Zr n+1 a 0 n n = l + 1, l + 2, l + 3, Θ l,ml θ = B sin m l θ. P l m l cos θ l = m l, m l + 1, m l + 2, Φ ml φ = Ae im lφ m l = 0, 1, 2, onde A, B e C são constantes a serem encontradas pelas condições de normalização Números quânticos n número quântico principal: define a energia l número quântico azimutal: determina o momento angular orbital do átomo m l número quântico magnético: quando o átomo se encontrar em um campo magnético surgirá uma dependência da energia com m l m s número quântico de spin: introduzido com a descoberta do spin As condições para os números quânticos n, l e m l podem ser reescritas como: n = 1, 2, 3, l = 0, 1, 2,, n 1 m l = l, l + 1,, 0,, l 1, l

9 Degenerescência das autofunções Para cada valor de n, l irá variar desde zero até n-1 Para cada valor de l teremos 2l+1 valores de m l Portanto, o número possível de estados para um valor dado de n será n 1 l=0 2l + 1 = n 2 Para cada valor de n teremos apenas uma energia possível E n = 13,58 1 n 2 ev Para cada valor de n existe um total de n 2 autofunções degeneradas (de mesma energia E n ) Exemplo n = 3 l = 0, 1, 2 m 0 = 0 m 1 = 1, 0, 1 m 2 = 2, 1, 0, 1, 2 E 3 = 13, ev

10 Encontrando as constantes A, B e C condição de normalização ψ n,l,ml r = R n,l r Θ l,ml θ Φ ml φ ψ n,l,ml r ψ n,l,m l r dv = 1 onde dv = r 2 drdθdφ R n,l r R n,l r r 2 dr 0. Θ l,ml θ Θ l,ml θ dθ. Φ ml φ Φ ml φ dφ = 1 0 π 0 2π Resolvendo as integrais, encontramos R n,l r = 4 n l 1! Z 3 n + l! 3 n 4 a Zr a 0 n l. e Zr a 0 n 2l+1. L 2Zr n+1 a 0 n n = l + 1, l + 2, l + 3, Θ l,ml θ = 2l + 1 l m l! sin m m l θ. P l 2 l + m l! l cos θ l = m l, m l + 1, m l + 2, Φ ml φ = 1 2π eim lφ m l = 0, 1, 2,

11 Solução geral do átomo de Hidrogênio AUTOFUNÇÕES Ψ n,l,ml r, t = ψ n,l,ml r. e ie n ħ t = R n,l r. Θ l,ml θ. Φ ml φ. e ie n ħ t R n,l r = 4 n l 1! Z 3 n + l! 3 n 4 a Zr a 0 n l. e Zr a 0 n 2l+1. L 2Zr n+1 a 0 n n = l + 1, l + 2, l + 3, Θ l,ml θ = 2l + 1 l m l! sin m m l θ. P l 2 l + m l! l cos θ l = m l, m l + 1, m l + 2, Φ ml φ = 1 2π eim lφ m l = 0, 1, 2, ENERGIAS E n = 1 Z 2 e 2 1 4πε 0 2a 0 n 2 = 13,58 1 ev n = 1, 2, 3, n2

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14 Notação spdf número quântico principal Notação: n x estado do átomo s, p, d, f,... s (sharp) corresponde a l = 0 (m l = 0) p (principal) corresponde a l = 1 (m l = -1; 0; 1) d (diffuse) corresponde a l = 2 (m l = -2; -1; 0; 1; 2) f (fundamental) corresponde a l = 3 (m l = -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3) g corresponde a l = 4 (m l = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4) h corresponde a l = 5 (m l = -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5) i corresponde a l = 6 (m l = -6; -5; -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6) Por ex. 15 P (15 elétrons): 1s, 2s, 2p, 3s, 3p 1s 2, 2s 2, 2p 6, 3s 2, 3p 3 1s 2, 2s 2, 2p x2, 2p y2, 2p z2, 3s 2, 3p x1, 3p y1, 2p z 1

15 Alguns polinômios de Legendre P l m l cos θ = sin m l θ 2 l l! d d cos θ l+ m l sin 2l θ P 0 0 cos θ = 1 P 1 0 cos θ = cos θ P 1 1 cos θ = P 2 0 cos θ = cos2 θ 1 P 2 1 cos θ = 3 cos θ P 2 2 cos θ = 3 sin 2 θ

16 Dependência angular das autofunções: os harmônicos esféricos Y l,ml θ, φ = Θ l,ml θ. Φ ml φ Alguns harmônicos esféricos:

17 Dependência radial das autofunções as funções radiais R n,l r Algumas funções radiais:

18 Densidade de probabilidade Elétron não apresenta uma órbita bem definida Podemos calcular a posição mais provável do elétron ψ n,l,ml r ψ n,l,ml r dv ψ n,l,ml r ψ n,l,m l r dv = 1 Probabilidade de encontrar o elétron em um pequeno volume dv em um determinado ponto no espaço (r,,) Elétron (ou sua carga) está distribuída em todo o espaço ψ n,l,ml r ψ n,l,ml r = R n,l r R n,l r. Θ l,ml θ Θ l,ml θ. Φ ml φ Φ ml φ densidade de carga Analisando as componentes individualmente Φ ml φ Φ ml φ Θ l,ml θ Θ l,ml θ R n,l r R n,l r Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado ângulo Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado ângulo Probabilidade de encontrar o elétron em um determinado raio r

19 Interpretação da probabilidade em Φ ml Φ ml = 1 2π e im lφ 1 2π eimlφ = 1 2π Independe de!!! A probabilidade de encontrar um elétron entre 1 e 1 + d 1 é a mesma de encontrar o elétron entre 2 e 2 + d 2 Interpretação da probabilidade em Θ l,ml Θ l,ml Carrega toda a dependência angular da densidade de probabilidade Caso especial: n = 1 ; l = 0 ; m l = 0 0 Θ 0,0 θ Θ 0,0 θ = P 0 cos θ = 1 2 Independe de!!! A probabilidade de encontrar um elétron na posição angular (,) é esfericamente simétrica no caso especial em n = que 1 ; l = 0 ; m l = 0

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21 Quantização do momento angular Momento angular: L = r p = L x x + L y y + L z z Em coordenadas cartesianas: L x = yp z zp y L y = zp x xp z L z = xp y yp x Lembrando dos operadores para p: p x = iħ x p y = iħ y p z = iħ z Substituindo, obtemos os operadores para o momento angular: L x,op = iħ y z z y L y,op = iħ z x x z L z,op = iħ x y y x

22 Passando para coordenadas esféricas: L x,op = iħ sin φ + cot θ cos φ θ φ L y,op = iħ cos φ + cot θ sin φ θ φ L z,op = iħ φ Calculando L 2 : L 2 = L x 2 + L y 2 + L z 2 Em coordenadas esféricas: 2 L op = ħ 1 θ sin φ θ + 1 sin 2 θ 2 φ 2 L Portando: x,op = iħ sin φ θ + cot θ cos φ φ L y,op = iħ cos φ + cot θ sin φ θ φ L z,op = iħ φ 2 L op = ħ 1 θ 2 sin φ θ + 1 sin 2 θ φ 2

23 Calculando o valor esperado para L z L z = ψ n,l,ml r L z,op ψ n,l,ml r dv L z,op ψ n,l,ml r = iħ ψ n,l,m l r φ = iħr n,l r Θ l,ml θ Φ m l φ φ = iħim l R n,l r Θ l,ml θ Φ ml φ = ħm l ψ n,l,ml r L z = ħm l ψ n,l,ml r ψ n,l,ml r dv = 1 (condição de normalização) L z = ħm l L z,op = ħm l COMPONENTE L z DO MOMENTO ANGULAR É QUANTIZADA!!!

24 Calculando o valor esperado para L 2 L 2 = ψ n,l,ml r L 2 op ψ n,l,ml r dv L 2 op ψ n,l,ml r = ħ 2 1 θ sin φ ψ n,l,m l r θ ψ n,l,ml r sin 2 θ φ 2 = ħ R n,l r Φ ml φ θ sin φ Θ l,m l θ θ + R n,l r Θ l,ml θ sin 2 θ 2 Φ ml φ φ 2 = ħ 2 R n,l r Φ ml φ 1 θ sin φ Θ l,m l θ θ m l 2 Θ l,ml θ sin 2 θ = ħ 2 R n,l r Φ ml φ l l + 1 Θ l,ml θ = ħ 2 l l + 1 ψ n,l,ml r L 2 = ħ 2 l l + 1 ψ n,l,m l r ψ n,l,ml r dv = 1 (condição de normalização) L 2 = ħ 2 l l L op = ħ 2 l l + 1 L 2 É QUANTIZADO!!!