Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ. 1º. semestre de 2010 Aulas 3 e 4 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3

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1 Métodos de Física Teórica II Prof. Henrique Boschi IF - UFRJ 1º. semestre de 2010 Aulas 3 e 4 Ref. Butkov, cap. 8, seção 8.3

2 Equações de Poisson e Laplace Vimos na aula passada o método de separação de variáveis aplicado ao caso da equação da onda na corda, que é um problema essencialmente bidimensional. Veremos, agora, como surgem EDP em problemas tridimensionais. Vamos iniciar essa discussão estudando o caso do potencial eletrostático.

3 Vamos recordar uma das equações de Maxwell (Lei de Faraday, unidades SI) Portanto, no caso estático, o termo do campo magnético H se anula, implicando em: onde E nesta equação corresponde ao campo eletrostático, ou seja, o campo elétrico independente do tempo.

4 Todo campo de rotacional nulo pode ser escrito como o gradiente de uma função escalar. No caso do campo eletrostático essa função escalar é chamada de potencial eletrostático φ e relação entre eles é definida como (o sinal é convencional) Vamos, agora, lembrar de outra equação de Maxwell (Lei de Gauss), para o vácuo:

5 Substituindo a expressão do potencial φ em termos do campo eletrostático E na Lei de Gauss, encontramos onde é o operador Laplaciano. Em coordenadas Cartesianas, temos:

6 Portanto, o Laplaciano em coordenadas Cartesianas é Para uma revisão dos operadores grad, div, rot e, veja a seção 1.8 (cap. 1) do Butkov. A equação obtida para o potencial eletrostático é conhecida como equação de Poisson.

7 Em geral, a equação de Poisson é do tipo onde r = (x, y, z) é o vetor posição. O caso particular em que, ou seja, é a chamada equação de Laplace. Essa é a equação para o potencial eletrostático na ausência de cargas, ou seja, ρ = 0.

8 As equações de Poisson e Laplace são muito importantes na eletrostática, pois permitem calcular o potencial φ, a partir do qual podese calcular o campo elétrico E. Exemplo: Equação de Laplace num problema com simetria cilíndrica. Considere um cilindro metálico muito longo e oco, de raio a, cortado ao meio ao longo de seu eixo, formando duas calhas. 2a

9 As duas calhas são isoladas uma da outra, mantendo a forma cilíndrica do conjunto. As calhas são submetidas aos potenciais +V e V. Determine o potencial e o campo elétricos dentro do cilindro. Solução O problema envolve a equação de Laplace, já que não há cargas dentro do cilindro.

10 Devido à simetria cilíndrica do problema, não é conveniente usar as coordenadas Cartesianas, mas sim as coordenadas cilíndricas (r, θ, z)

11 Seria fácil resolver a equação de Laplace em coordenadas Cartesianas, porém seria difícil ajustar essa solução às condições de contorno do problema, que acompanham sua simetria. Inicialmente vamos notar que, como o cilindro é muito longo, a solução deve ser independente da coordenada z, ou seja Isto é, estamos desprezando os efeitos de borda.

12 Além disso, note que o potencial deve satisfazer às seguintes condições de contorno

13 Aplicando o divergente sobre o gradiente, ambos em coordenadas cilíndricas, obtém-se o operador Laplaciano nessas coordenadas Para uma revisão desses operadores veja, p. ex., o cap. 1 do Griffiths (eletro). Para uma abordagem de sistemas de coordenadas curvilíneas gerais, veja a seção 1.9 do Butkov.

14 Assim, a equação de Laplace a ser resolvida é Como o potencial φ não depende de z, o último termo da equação acima é identicamente nulo, ou seja:

15 Para resolver esta equação, vamos usar o método de separação de variáveis, aplicado anteriormente ao problema da corda vibrante. Neste caso, vamos supor que Desta forma, a EDP para r e θ reduz-se a duas equações diferenciais ordinárias: e onde λ é a constante de separação de variáveis

16 a ser determinada. Temos, agora, que resolver cada uma dessas EDOs. Vamos começar pela equação para, que é a mais simples. De fato, essa equação é idêntica a que resolvemos para a corda vibrante, tanto para x, como para t. Lá, as soluções poderiam ser exponenciais reais, senos e cossenos, ou uma função linear, dependendo se λ >, < ou = 0.

17 O que determina a forma da solução (e o sinal de λ ) são as condições de contorno. Quais são as condições de contorno para? A condição sobre periódica, isto é Θ(θ+2π) = Θ(θ) é que ela deve ser já que, após uma volta completa em θ, o potencial φ e a função devem coincidir com seus valores iniciais.

18 Assim, a única solução admissível para é uma combinação linear de senos e cossenos, e portanto λ deve ser negativo, ou seja, podemos escrever, onde m é um número real a ser determinado. Logo, as soluções para são Porém, a condição de periodicidade, Θ(θ+2π) = Θ(θ), restringe os valores possíveis de m para m = 0, 1, 2, 3,... (zero inclusive).

19 OBS.: Note que a solução acima com m = 0 corresponde à que é uma constante e, naturalmente, obedece à condição de periodicidade. A função periódica mais simples é uma função constante!

20 Vamos, agora, estudar a solução da equação radial, usando os valores de, encontrados na solução da equação angular: Essa equação é conhecida como a equação diferencial de Euler. Ela pode ser resolvida por vários métodos, como, por exemplo, o método de Frobenius.

21 Usando este método, para m 0, encontram-se as soluções e cuja validade podemos verificar facilmente por substituição direta na equação diferencial. Para m = 0, as duas soluções acima reduzem-se a uma constante. Para encontrar a segunda solução, neste caso, pode-se usar o método de Frobenius generalizado. Assim, encontram-se as soluções C = constante e

22 Antes de considerar a solução completa para vamos verificar se as soluções obtidas para R(r) são fisicamente aceitáveis ou não. A região no centro do cilindro dada por r = 0 não contém cargas, portanto o potencial φ deve ser bem comportado lá. Porém, as soluções e são singulares em r = 0 e portanto não são fisicamente aceitáveis.

23 Dessa forma, as soluções aceitáveis para R(r) são e C = constante regulares em r = 0. Combinando as soluções em r e θ, e usando o princípio da superposição encontramos, Resta, agora, impor as condições de contorno sobre essa solução.

24 A condição de contorno que a solução encontrada deve satisfazer é Fazendo r = a na solução encontrada, então, impomos que Logo, este é um problema típico de séries de Fourier, onde queremos encontrar os coeficientes = e = dessa série.

25 Vamos lembrar que, para uma série de Fourier da forma os coeficientes e são dados por

26 Voltando ao nosso problema, note que a função f(θ), correspondente à condição de contorno, é uma função ímpar em θ. Logo, os coeficientes A serão identicamente nulos:

27 Por outro lado, os coeficientes são dados por (m = 1, 2, 3,...) Calculando esta integral, encontramos [ ] Portanto, os termos com m = par são nulos, enquanto os m = ímpares dão

28 (m = 1, 3, 5,...) Assim, a solução para o potencial eletrostático fica O campo elétrico E pode ser calculado a partir deste resultado usando a relação