Instituto de Física - UFF Profissional - 11 de Dezembro de 2009 Resolva 6 (seis) questões, com pelo menos uma questão de cada uma das

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1 Exame de Ingresso na Pós-graduação Instituto de Física - UFF Profissional - 11 de Dezembro de 009 Resolva 6 (seis) questões, com pelo menos uma questão de cada uma das seções. A duração da prova é de 3 (três) horas. Mecânica Clássica 1. Um pêndulo simples (massa M e comprimento L) é suspenso de um carrinho de massa m que move-se apenas horizontalmente preso a uma mola de constante de força k, como mostra a figura. x Mm θ L Μ (a) Obtenha a lagrangiana do sistema em termos das coordenadas x e θ indicadas na figura, onde x é o deslocamento da mola em relação à sua posição de equilíbrio. (b) Escreva explicitamente as equações de Lagrange. (c) Considere os limites k com m fixo e m com k fixo. Justifique por argumentos físicos o comportamento do sistema nesses limites. As equações de movimento se reduzem ao que deveriam nesses limites? 1

2 . Uma conta de massa m desliza sem atrito ao longo de um fio rígido que gira num plano vertical com velocidade angular constante ω. (a) Mostre que, com uma escolha adequada da coordenada r, a lagrangiana do sistema é (b) Escreva a equação de Lagrange. L = m ṙ + mω r mgr sen ωt. (c) Determine a hamiltoniana H = H(q, p, t). (d) H é constante de movimento? Justifique a resposta. (e) H é a energia total? Justifique a resposta. Lembrete: ( ) d L L = 0 ; p i = L ; H = dt q i q i q i i p i q i L ; q i = H p i, ṗ i = H q i.

3 Mecânica Estatística 1. (a) Estabeleça as diferenças básicas fundamentais entre as estatísticas de Maxwell-Boltzmann (MB), Fermi-Dirac (FD) e Bose-Einstein (BE). Escreva o número médio de partículas ocupando um nível de energia ε para cada estatística. (b) Faça um gráfico qualitativo da função de distribuição de energia (p(ε) ε) para duas temperaturas distintas em um sistema de partículas livres governadas pela estatística de MB e outro gráfico para a estatística de FD. Indique nas curvas as temperaturas mais altas.. A energia cinética média dos átomos de hidrogênio em uma certa atmosfera estelar (assumindo estar em equilíbrio térmico) é 1.0 ev. (a) Qual é a temperatura da atmosfera em Kelvins? (b) Qual é a razão entre o número de átomos no segundo estado excitado (n = 3) e o número no estado fundamental? Dados: Níveis de energia dos átomos de hidrogênio: E n = 13.6 ev n. Constante de Boltzmann: k B = 8, ev/k. 3

4 Eletromagnetismo 1. Duas cavidades esféricas, de raios a e b, estão localizadas no interior de uma esfera metálica de raio R, tal como mostra a figura. No centro de cada cavidade, é colocada uma carga pontual, q a e q b respectivamente. R a q a qb b (a) Achar as densidades superficiais de carga σ a, σ b e σ R. (b) Determine o campo elétrico fora da esfera condutora de raio R. (c) Determine o campo elétrico dentro de cada cavidade. (d) Qual é a força que atua em q a e em q b? (e) Qual das respostas acima deveria ser mudada se uma terceira carga, q c fosse colocada próxima da esfera condutora? Justifique? 4

5 . Uma corrente estacionária flui na direção do eixo de um fio cilíndrico muito comprido de raio R, tal como mostra a figura. Utilize a lei de Ampère para achar o campo magnético dentro e fora do fio, isto é, para s < R e s > R, onde s é medido a partir do eixo do cilindro na direção radial. R I Considere os seguintes casos: (a) A corrente é distribuída uniformemente na superfície externa do fio. (b) A corrente é distribuída de forma tal que a densidade de corrente por unidade de área, J, depende de s da forma J = ks, onde k é uma constante de proporcionalidade. 5

6 Mecânica Quântica 1. Uma partícula de massa m encontra-se confinada num poço unidimensional e infinito de potencial de largura a, sob ação do potencial: { 0 para 0 x a V (x) = fora do intervalo acima. As autofunções de energia e seus respectivos autovalores são: ψ n = a sen(nπx/a), E n = n π h, n = 1,, 3,... ma (a) Usando o princípio da incerteza, estabeleça um valor mínimo para a incerteza (desvio-padrão) dos resultados de medida de momento para essa partícula. (b) Em t = 0 a partícula é colocada no estado φ(t = 0) = A (ψ 1 + ψ ), onde A é uma constante de normalização. Calcule A e encontre a solução φ(t) para t > 0. (c) Encontre o valor médio da energia E para φ(t = 0) dada no item b) acima. Como muda E à medida que o tempo passa? (d) Suponha agora que introduzimos uma pequena perturbação no potencial dentro do poço: { αx para 0 x a V (x) = fora do intervalo acima, onde α > 0. Usando teoria de perturbações em primeira ordem, encontre a energia aproximada do estado fundamental. Tabela de integrais: xsen (bx)dx = x 4 x 4b sen(bx) 1 8b cos(bx) + C ( x sen (bx)dx = x3 x 6 4b 1 ) sen(bx) x 8b 3 4b cos(bx) + C xsen(bx)dx = sen(bx) xcos(bx) + C b b 6

7 . Um oscilador harmônico de massa m e frequência angular ω é descrito pela Hamiltoniana H = 1 m (p + m ω x ). O n-ésimo auto-estado de energia n tem energia E n = ( n + 1 ) hω. Definindo os operadoresescada a ± tais que: é possível mostrar que: h x = mω (a + + a ) hmω p = i (a + a ) a + n = n + 1 n + 1 a n = n n 1 Um cálculo simples permite verificar que todos os auto-estados de energia n têm valores esperados nulos para x e p: n x n = n p n = 0. (a) Calcule o comutador [H, p]. Você verá que ele é diferente de zero. Qual o significado físico disso? (b) Calcule as variâncias e ( x) x x = x ( p) p p = p para o estado fundamental n = 1. (c) Use o resultados obtidos para avaliar o produto x p para o estado fundamental, interpretando fisicamente o resultado. 7

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