Física dos Átomos e Moléculas a) O problema do átomo de hidrogénio O Docente Regente: Prof. Doutor Rogério Uthui

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1 FÍSICA MODERNA Aula 6a: Física dos Átomos e Moléculas a) O problema do átomo de hidrogénio O Docente Regente: Prof. Doutor Rogério Uthui

2 Tema 5: Física dos átomos e moléculas 5.1. Átomo de hidrogénio; 5.2. Espectro de metais hidrogenóides: largura das linhas, multiplexos e spin electrónico; 5.3. Momento magnético do átomo e efeito de Zeeman; 5.4. Ressonânica paramagnética electrónica; 5.5. Princípio de Pauli; 5.6. Sistema periódico dos elementos de Mendeleev; 5.7. Níveis energéticos de moléculas e espectros moleculares. Dispersão combinatórica da luz; 5.8. Radiação forçada. Lasers. Prof. Doutor Rogério Uthui Física Moderna: Aula 1 Introdução. O que se estuda em FM? 2

3 O problema do átomo de Hidrogénio (solução completa da equação tridimensional de Schödinger para o H) Prof. Doutor Rogério Uthui Física Moderna: Aula 3 Fotões e Óptica Quântica 3

4 O Átomo de Hidrogénio.1 Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas: ( ) ( ) ( ) φ θ φ θ μ,,,, r E r r V Ψ = Ψ + h Separação de variáveis: ( ) ( ) ( ) ( ) φ θ φ θ Φ = Ψ F r R r,, ( ) θ,φ Y

5 O Átomo de Hidrogénio 2 Laplaciano em coordenadas esféricas: Equação de Schrödinger em coordenadas esféricas: Multiplica-se ambos os termos por:

6 O Átomo de Hidrogênio.3 Depois de algumas transformações e dividindo as variáveis, obtemos 3 equações: d 2 Φ 2 = m 2 l dφ Φ Equação Azimutal 1 d df senθ + senθ dθ dθ l m ( l + 1) F = 0 sen 2 l 2 θ Equação de Colatitude r 1 2 d dr r 2 dr dr + ( l 1) 2 μ l [ E V () r ] h r R = Equação Radial 0

7 A Função Angular As soluções das equações angulares (azimutal e colatitude) são dadas por: Φ F ( ) l φ = ; m = 0, ± 1, ± 2,... Ae im φ l ( ) m θ = BP ( cosθ ); l = 0,1, 2,... m l l l l Função angular: Y m l ( ) ( ) l imlφ θ, φ = BP cosθ Ae ( θ, φ) dθdφ = Y 1 encontramos AB

8 Números quânticos Prof. Doutor Rogério Uthui Física Moderna: Aula 3 Fotões e Óptica Quântica 8

9 A Função Radial No caso geral, a solução é dada por: R nl r nr r nr () 2l+ 1 r = exp L () r 0 l 0 n+ l n = 1, 2,3,... número quântico principal n 1 l O número quântico n define a energia do átomo, da mesma forma que no modelo de Bohr: E = n ev

10 Segundo a fórmula, a energia do electrão depende somente do n. Por consequência, a cada valor próprio de E n (excepto além de E 1 ) correspondem várias funções próprias ψ n l m que se diferenciam por valores de l e m. Isto significa que o átomo de hidrogénio pode ter um mesmo valor de energia, encontrando-se em vários estados diferentes. Em tabela dão-se os estados correspondentes aos três estados primários níveis de energia. l=0,1,...,n-1; m=-l,-l+1,...,0,+1,...,l-1,l.

11 Orbitais atómicos Prof. Doutor Rogério Uthui Física Moderna: Aula 3 Fotões e Óptica Quântica 11

12 Valor de Nível de Energia E n Função psi ψ n l m n l m E 1 (n=1) Ψ Ψ E 2 (n=2) Ψ Ψ E 3 (n=3) Ψ 21+1 Ψ 300 Ψ 31-1 Ψ 310 Ψ 31+1 Ψ 32-2 Ψ 32-1 Ψ 320 Ψ 32+1 Ψ

13 Os estados de igual energia se denominam estados degenerados e o número de diferentes estados com um mesmo valor de energia velor de energia chama-se grau de degeneração do nível energético respectivo. Os estados com diferentes valores de l diferenciam-se pelas grandezas do momento de impulso. Na física atómica usam-se para os estados do electrão com valores diferentes do M, símbolos tomados na espectroscopia. O electrão que se encontre no estádio com l=0 se denomina electrão s (estado s). l=1 electrão p (estado p) l=2 electrão d (estado d) l=3 electrão f (estado f), etc, em ordem alfabética.

14 O valor de n escreve-se diante do símbolo convencional de l. Desta maneira, o electrão no estado com n=3 e l=1 designa-se pelo símbolo 3p, etc. Como l<n sempre, são possíveis seguintes estados para o electrão. 1s n=1; l=0 2s,2p n=2; l=0, 1 3s, 3p, 3d n=3; l=0, 1, 2 4s, 4p, 4d, 4f n=4; l=0, 1, 2, 3 À série de Balmer correspondem as transições: ns 2p e nd 2d (n=3,4,..). O estado 1s é o estado principal do átomo de hidrogénio. Nesse estado o átomo tem energia mínima para levá-lo para um estado excitado (de maior energia) é necessário transmitir-lhe a energia. Isto pode verificar-se por conta de colisões térmicas dos átomos (por esta razão os corpos aquecidos iluminam-se), isto é, os átomos emitem luz a regressar dos estados excitados ao fundamental.

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17 Interpretação da função angular L está relacionado à grandeza momento angular orbital e seu módulo é quantizado: L ( l + 1) h l = 0,1, 2,..., 1 = l n número quântico orbital L z é a componente na direção z do momento angular orbital L z = hm m = 0, ± 1, ± 2,..., l l ± l número quântico magnético

18 A Função Angular Exemplo: l = 2 L = L z ( 2 + 1) h 6h 2 = = l m l h, m = 0, ± 1, ± 2 Observe que: - Tanto o módulo quanto a componente z do momento angular são quantizados

19 A Função Angular l = l 0, m = 0 ( θ, φ) Y 00 = 1 4π Quando l = 0, a função de onda exibe simetria esférica.

20 l A Função Angular = l 1, m = 0 3 8π ( θ, φ ) cosθ Y 10 = l Y = l 11 1, m = ± 1 3 θ, φ = senθ e 8π ( ) ± iφ Quando l = 1, a função de onda exibe simetria em torno do eixo z.

21 A Função Angular Portanto, o par (l, m l ) define o tipo de simetria da função de onda: l l l l = 0 = 1 = 2 = 3 Orbital (s) Orbital (p) Orbital (d) Orbital (f)

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45 Resumo: Átomo de Hidrogênio Elétron confinado em 3 dimensões: 3 números quânticos n determina a energia do átomo l e m l determinam o momento angular do átomo e e a simetria da função de onda O elétron possui um número quântico intrínseco de spin, formando um total de 4 números quânticos S z m h m = S S = ± 1 2

46 Átomos de muitos elétrons hidrogenóides São descritos pelos mesmos números quânticos que o átomo de hidrogênio E = f ( n,l) Como preencher os níveis de energia? PRINCÍPIO DA EXCLUSÃO DE PAULI: cada estado só pode ser ocupado por, no máximo, 1 elétron MÍNIMA ENERGIA: os estados ocupados são sempre os de menor energia possível LEI DE HUND: Deve-se maximizar o spin desde que os princípios anteriores não sejam violados.

47 Átomos de muitos elétrons Número de estados possíveis: l ( 2 1) 2 l + n n 1 l= 0 [( 2l + 1) 2] n = 1: 2 estados n = 2: 8 estados n = 3: 18 estados Número de elementos por linha da tabela periódica!

48 Átomos de muitos elétrons