NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA

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1 NOTAS DE AULAS DE FÍSICA MODERNA Prof. Carlos R. A. Lima CAPÍTULO 8 ÁTOMOS DE UM ELÉTRON Primeira Edição junho de 2005

2 CAPÍTULO 08 ÁTOMOS DE UM ELÉTRON ÍNDICE 8.1- Introdução 8.2- Força Central 8.3- Equação de Schrödinger em Coordenadas Esféricas 8.4- Dependência Angular das Autofunções 8.5- Regras de Seleção Dipolo Elétrico 8.6- Simetria de Paridade em Coordenadas Esféricas 8.7- Equação Diferencial Radial 8.8- Distribuição de Probabilidade Nessa apostila aparecem seções, sub-seções e exemplos resolvidos intitulados como facultativos. Os assuntos que se referem esses casos, podem ser dispensados pelo professor durante a exposição de aula sem prejuízo da continuidade do curso de Estrutura da Matéria. Entretanto, é desejável que os alunos leiam tais assuntos e discutam dúvidas com o professor fora do horário de aula. Fica a cargo do professor a cobrança ou não dos tópicos facultativos. Excluindo os tópicos facultativos, esse capítulo deve ser abordado no máximo em 5 aulas de quatro créditos. 2

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64 Lista de Exercícios af Φ ϕ 1- Por que a função tem que ser unívoca na solução da equação de Schrödinger para o átomo de hidrogênio? Por que isso leva a restrição de que m deve ser um inteiro? l 2- Por que devem aparecer três números quânticos no tratamento do átomo de um elétron sem "spin"? 3- O que é a degenerescência? 4- Faça uma comparação entre as previsões dos tratamentos de Bohr e Schrödinger para o átomo de hidrogênio (desprezando spin e efeitos relativísticos), com relação à localização do elétron, sua energia total, e seu momento orbital. 5- Hidrogênio, deutério e hélio mono ionizado são exemplos de átomos de um elétron. O núcleo do deutério tem a mesma carga do núcleo de hidrogênio e massa quase duas vezes maior. O núcleo de hélio tem carga duas vezes maior do que o núcleo de hidrogênio e massa quase quatro vezes maior. Faça uma previsão da razão entre as energias dos estados fundamentais desses átomos. (Sugestão: Considere a variação da massa reduzida). Φaf= ϕ cosm l ϕ Φaf= ϕ senm l ϕ 6- Mostre por substituição que e, são soluções da equação diferencial para a f. Φ ϕ 7- Verifique por substituição que a autofunção ψ 100 do estado fundamental e autovalor desse estado satisfazem a equação de Schrödinger independente do tempo, para a átomo de hidrogênio. ψ = e ikx 8- Sabe-se que é uma autofunção do operador energia total para o problema unidimensional de potencial nulo. (a) Mostre que também é autofunção do operador momento linear p e determine o autovalor associado. (b) Repita os cálculos para ψ = e ikx. bg= F HG I K J 9- Mostre que a função Rr A ra e r 2 1 a é uma solução da equação diferencial radial para o átomo de um 2 elétron no caso l = 0. Qual é o autovalor da energia correspondente? 10- Determine a constante de normalização A do problema anterior. 11- Seja o átomo de um elétron num estado de números quânticos n = 2 e l = 1. Determine a distância mais provável entre o elétron e o núcleo. Calcule os valores esperados r e V pela integração explícita. 12- Repita os cálculos do problema anterior para um estado de números quânticos n = 3 e l = Seja o átomo de um elétron no seu estado fundamental. Calcule a probabilidade de encontrar o elétron além da primeira órbita de Bohr. 14- (a) Calcule a posição em que a densidade radial de probabilidade é máxima, para o estado n = 2, l = 1 do átomo de hidrogênio. (b) Calcule em seguida o valor esperado da coordenada radial nesse estado. (c) Interprete o significado físico da diferença das respostas de (a) e (b). 15- (a) Calcule o valor esperado V da energia potencial no estado fundamental do átomo de hidrogênio, e mostre que E n = 2 = 1 = V 2, onde E é a energia total. (b) Calcule o valor esperado V agora para o estado, l, do átomo de hidrogênio. af Rr r l Rr r 0. (Sugestão: Despreze os termos que se tornam pequenos diante dos demais quando r 0 ). 16- Mostre por substituição que a forma é uma solução da equação diferencial para, quando E 1 a f 64

65 17- Uma partícula de massa reduzida µ está presa numa extremidade de uma barra rígida de massa desprezível e comprimento R. A outra extremidade da barra gira no plano xy em torno de um suporte localizado na origem, e cujo eixo tem direção. Esse "Rotor Rígido" bidimensional está ilustrado na figura abaixo. z z x R ϕ µ y (a) Escreva uma expressão para a energia total do sistema em termos de seu momento angular. (Sugestão: Tome o valor zero para a energia potencial constante e expresse a energia cinética em termos de L ). (b) Introduzindo operadores apropriados na equação da energia, converta-a na equação de Schrödinger onde I 2I Ψ ϕ, t = i Ψ ϕ, t 2 ϕ t 2 2 a f = µ R 2 é o momento de inércia da rotação, e Ψ ϕ,t a f a f é a função de onda escrita em termos da coordenada angular ϕ e do tempo t. (Sugestão: Como o momento angular só tem direção z, isto é L operador correspondente é Lz = i L = e o ϕ ). (c) Aplicando a técnica de separação de variáveis, desdobre a equação de Schrödinger do rotor rígido e obtenha a equação de Schrödinger independente do tempo: a f a f 2 d 2 Φ ϕ = EΦ ϕ 2I dϕ e a equação para a dependência temporal da função de onda a f d dt Tt a f ie = Tt a f= a f atf Ψ ϕ,t Φ ϕ T onde E é a constante de separação e. (d) Resolva a equação para a dependência temporal da função de onda e mostre que a constante de separação E é a energia total. (e) Mostre que uma solução particular da equação de Schrödinger independente do tempo para o rotor rígido é Φ ϕ, onde m IE = 2 af= e imϕ. (f) Utilize a solução na equação diferencial e mostre que os valores permitidos de energia total para L z o rotor rígido quântico bidimensional são: E = m 2 2, com m = 012,,,... 2I 65