JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P. 19 a

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1 JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010 INSTITUTO DE FÍSICA TEÓRICA U.N.E.S.P. 19 a Monday, July 19,

2 CAMPOS CLÁSSICOS, QUÂNTICOS, DE CALIBRE E POR AÍ AFORA JORNADA DE FÍSICA TEÓRICA 2010 Instituto de Física Teórica/UNESP Prof. Dr. Alfredo Takashi Suzuki Monday, July 19,

3 Do I have to explain the relationship and equivalence of general relativity and quantum mechanics again? Didn't you get it the first time? Monday, July 19,

4 2. CAMPOS QUÂNTICOS Monday, July 19,

5 MECÂNICA QUÂNTICA Monday, July 19,

6 Monday, July 19,

7 Monday, July 19,

8 a a a a a a a a a à la Heisenberg à la Schrödinger Diferentes formas da mecânica quântica A B A B à la Dirac à la Feynman Monday, July 19,

9 A B Vetor de estado Vetor de estado no espaço dual Elementos formais da mecânica quântica simbólica de Dirac B A Amplitude de probabilidade para a transição do estado A para o estado B O B O A Operador (Hermitiano, auto-adjunto) adjunto) Elemento de matriz do operador O Monday, July 19,

10 RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ ESPAÇO DE HILBERT, H H a, b, c, vetores Monday, July 19,

11 H: Espaço vetorial linear sobre C, tal que RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ a b b a a b c a b c a 0 a, a a a 0 Monday, July 19,

12 H: Espaço vetorial linear sobre C, tal que RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ a b a b a a a,,, a a Monday, July 19,

13 PRODUTO ESCALAR DE VETORES RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ a b b a * a b c a b a c a b a b Monday, July 19,

14 OPERADORES LINEARES MAPEIAM H EM H OU SUB H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ O a b O a O b A B se e somente se A a B a Monday, July 19,

15 OPERADORES LINEARES EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ 1 0 a 0 a a A B a A a B a AB a AB a BA a B A a Monday, July 19,

16 OPERADORES LINEARES EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ AB BA A, B AB BA Em geral A e B não comutam COMUTADOR ENTRE A e B Monday, July 19,

17 OPERADORES ADJUNTOS EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ a A b b A a * A : adjunto de A Monday, July 19,

18 OPERADORES ADJUNTOS EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ A * A A B A B AB B A A A Monday, July 19,

19 OPERADORES HERMITIANOS EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ A A * * b A b b A b b A b Monday, July 19,

20 AUTOVETORES E AUTOVALORES RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Sejam A um operador e a 0 tal que A a = α a com α C então a é dito ser um autovetor de A com autovalor α Monday, July 19,

21 AUTOVALORES REAIS RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Para operadores hermitianos: Autovalores são reais; Se a e b são dois autovetores de um operador hermitiano A = A e α β então a b = 0 Monday, July 19,

22 AUTOVETORES E BASES EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Qualquer vetor pode ser expresso em termos de um conjunto linearmente independente de vetores de base b b b b b b 1 Monday, July 19,

23 AUTOVETORES E BASES EM H RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Produto escalar então pode ser expresso 1 b b b b b b 1 Monday, July 19,

24 OPERADORES UNITÁRIOS E TRANSFORMAÇÕES UNITÁRIAS RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ U 1 U 1 U U U U 1 Monday, July 19,

25 TRANSFORMAÇÕES DE VETORES E OPERADORES RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ novo U antigo 1 novo antigo antigo A UA U UA U Monday, July 19,

26 PRODUTO ESCALAR E AUTOVALORES SÃO INVARIANTES RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ U U novo novo antigo antigo antigo antigo Monday, July 19,

27 PRODUTO ESCALAR E AUTOVALORES SÃO INVARIANTES RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ A UA U U novo novo antigo antigo UA antigo antigo U antigo novo Monday, July 19,

28 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ O estado de um sistema físico corresponde ao vetor raio de um espaço de Hilbert H. Portanto, tanto ψ quanto µ ψ H representam o mesmo estado. Monday, July 19,

29 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Os observáveis dinâmicos de um sistema físico correspondem aos operadores observáveis em H: Operadores observáveis são hermitianos, i.e., autovalores reais, cujos autovetores formam uma base em H. Monday, July 19,

30 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ O resultado de qualquer medida de um observável pode ser somente um dos autovalores desse operador observável. O estado do sistema físico, é representado pelo autovetor ψ H Monday, July 19,

31 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Se o estado do sistema físico é representado pelo autovetor ψ H a probabilidade de uma medida de B resultar num valor β é dada por: P(, B) B 2 Monday, July 19,

32 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Os operadores A e B que correspondem às variáveis dinâmicas clássicas A e B satisfazem a relação de comutação A, B AB BA i A, B operadores Monday, July 19,

33 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ A, B operadores A B A B i q p p q i i i i Monday, July 19,

34 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ qi, qj 0 pi, pj 0, q, p i i j ij Monday, July 19, ,

35 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ A evolução temporal dos estados é realizada por um operador unitário; t U( t t ) 0 t 0 e i H ( t t 0) t 0 Monday, July 19,

36 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Considerando uma variação infinitesimal do tempo, e a variação infinitesimal dos estados desde que e i Hdt t0dt t d 0 i 1 Hdt t t dt Monday, July 19, e 0

37 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ d i H t t i t e t Hdt t t dt 0 ( 0) i t t 0 Hdt t 0 i H t 0 Monday, July 19,

38 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ H i t Monday, July 19,

39 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Usando a representação de Heisenberg 1 1 t t t U U U H S 0 S 0 S Monday, July 19,

40 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Usando a representação de Heisenberg H 1 ( ) t S t i i H ( tt0) H ( tt0 ) e AS e A t U A U Monday, July 19,

41 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Usando a representação de Heisenberg i A ( t) A H HA t H H H Monday, July 19, A H, H

42 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Classicamente, associamos CAMPOS com INTERAÇÕES. Ex.: Campo elétrico. Função vetorial de três E( t, x) componentes definidos em cada ponto do espaço-tempo Monday, July 19,

43 AXIOMAS DA M. Q. RESUMO RESUMIDÍSSIMO DA MQ Quanticamente, associamos CAMPOS com PARTÍCULAS. Monday, July 19,

44 DICIONÁRIO DE FISIQUÊS MODERNO: 2. CAMPOS QUÂNTICOS PARTÍCULAS: Essência da matéria que se descreve por meio de funções de onda; ONDAS: Funções dependentes do espaço-tempo que descrevem as partículas! Monday, July 19,

45 DICIONÁRIO DE FISIQUÊS MODERNO: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Na concepção da física atual, partículas e ondas são expressões que se sobrepõem entre si; A natureza da matéria é vista como de caráter dual seja ora partícula, seja ora onda. Monday, July 19,

46 PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Invariância de Lorentz (RR); Interpretação probabilística dos vetores de estado (MQ) Monday, July 19,

47 PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Para cada partícula há uma anti-partícula associada, com carga elétrica oposta; As partículas obedecem a conexão spin-estatística: Bósons (spin inteiros) e férmions (semi-inteiros) Monday, July 19,

48 PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Campo quântico é o campo clássico que foi quantizado. A quantização é um processo que utiliza: a. Postulado da quantização; b. Princípio de correspondência. Monday, July 19,

49 PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS: 2. CAMPOS QUÂNTICOS a. Postulado da quantização: As funções canônicas que satisfazem o parenteses de Poisson obedecem agora os comutadores: i p, q p, q Monday, July 19,

50 PRINCÍPIOS FÍSICOS BÁSICOS: 2. CAMPOS QUÂNTICOS b. Princípio da correspondência: As variáveis dinâmicas clássicas como energia, momento, Lagrangiana, etc. são formalmente equivalentes, com expressões apropriadas substituídas por operadores. Monday, July 19,

51 SUCESSO DA TEORIA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Q.E.D. É A MAIS EXATA DAS TEORIAS FÍSICAS CONSTRUÍDAS. Monday, July 19,

52 DIFICULDADES BÁSICAS: 2. CAMPOS QUÂNTICOS TRATAMENTO PERTURBATIVO APENAS. QUANTIZAÇÃO DO CAMPO GRAVITACIONAL Monday, July 19,

53 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 1. Para um dado sistema físico, existe uma função de estado que resume tudo o que se pode conhecer a respeito desse sistema; Monday, July 19,

54 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 1a. A função de estado no espaço de coordenadas chama-se de função de onda, ψ(q;s;t), ( q,, q ; s, s ; ; t) 1 n 1 n Monday, July 19,

55 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 1b. Probabilidade de o sistema ter valores no instante t. q i,, s, i 2 ( q,, s,, t) 0 i i Monday, July 19,

56 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 2. Todo observável físico é representado por um operador linear hermitiano, por exemplo, para o momento canonico: p k i q k Monday, July 19,

57 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 3. Um sistema físico se encontra no auto-estado do operador Ω se: n n n ( q, s, t) ( q, s, t) ( q, s, t) n n n Monday, July 19,

58 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 4. Uma função de onda ou função de estado qualquer pode ser expandida em termos de um conjunto ortonormal completo de autofunções ψn de um conjunto completo de operadores Ωn. a n n n * s ( dqj) n ( q, s, t) m ( q, s, t) nm Monday, July 19,

59 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 5. O resultado de uma medida de um observável físico é qualquer um de seus autovalores. Medida de Ω resulta em ωn com uma probabilidade an* an a * n n n n n n ( dq ) ( q, s, t) ( q, s, t) s 2 n an n j Monday, July 19,

60 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS 6. A evolução temporal do sistema físico é governado pela equação de Schrödinger: i t H H E Monday, July 19,

61 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Sistema físico mais simples: Partícula livre: H E p 2 2m E p0 i i c 0 x p i ct Monday, July 19,

62 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Sistema físico mais simples: Partícula livre: i ( q, t) 2 2 ( q, t) t 2m Não covariante Monday, July 19,

63 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Sistema físico mais simples: Partícula livre: p ( p 0, p ) E, p, p, p x y z c Monday, July 19,

64 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Sistema físico mais simples: Partícula livre: p p p p 2 E p p c m c Monday, July 19,

65 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Sistema físico mais simples: Partícula livre: H E p 2 c m c i c m c t Monday, July 19,

66 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Para a relação relativística de energia-momento: E c m c p c 2 t m c Monday, July 19,

67 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Para a relação relativística de energia-momento: 2 4 m c 2 0 x x Equação de Klein-Gordon Monday, July 19,

68 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Soluções da equação de Klein-Gordon: discr cont k x k x 1 ( t, x) a e a e k i t i t k k 2 V k k k 3 i t i t k x k x 1 d k ( t, x) a( k) e a ( k) e mc k k Monday, July 19,

69 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Soluções da equação de Klein-Gordon: discr cont k x k x i t i t k ( t, x) a e k a e k 2V k k k 3 i t i t k x k x 1 ( t, x) d k a( k) e a ( k) e 2 2 mc k k Monday, July 19,

70 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Soluções da equação de Klein-Gordon: ( t, x), ( t, y) 0 ( t, x), ( t, y) 0 ( t, x), ( t, y) i ( x y) Monday, July 19,

71 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Soluções da equação de Klein-Gordon: 3 1 d k ik x ( x) a( k) e a ( k) e 2 2 ikx 1 ( ) x d k a( k) e a ( k) e 2 3 ikx ikx k x k x 0 Monday, July 19, 2010 k0x k x t k x 71

72 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Soluções da equação de Klein-Gordon: ( x), ( y) i ( x y) onde ( x) L ( ) Monday, July 19,

73 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: i t H 2 ic mc 3 x x x Monday, July 19,

74 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: 1 4 Monday, July 19,

75 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: i j ji c 2 i j t i, j1 2 x x imc i i m c i i1 x Monday, July 19,

76 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: 2 i j j i ij 0 i i i Monday, July 19,

77 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: 0 i i mc 0 i x Monday, July 19,

78 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: 0 p mc p p Monday, July 19,

79 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: i mc 0 0 Monday, July 19,

80 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Proposta de Dirac: ( x) 3 2 d p mc 3/2 (2 ) E b( p, s) u( p, s)e d ( p, s) v( p, s)e s ipx/ ipx/ Monday, July 19,

81 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Campo eletromagnético (fotônico): F 0 EQUAÇÕES DE MAXWELL F A A Monday, July 19,

82 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Campo eletromagnético (fotônico): L 1 1 F F A F A A Monday, July 19,

83 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Campo eletromagnético (fotônico): A x a a ( ) d k 3, (, )e ikx (, )e ikx k k, 0 k k k Monday, July 19,

84 FORMULAÇÃO DA TEORIA QUÂNTICA RELATIVÍSTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS Campo eletromagnético (fotônico): A ( t, x), A ( t, y) 0; ( t, x), ( t, y) 0; 3 A ( t, ), ( t, ) x y ig ( x y). Monday, July 19,

85 ELETRODINÂMICA QUÂNTICA: 2. CAMPOS QUÂNTICOS L QED 1 i e A m F F 4 F A A AQUI, INVARIÂNCIA DE GAUGE DEVE SER LEVADA EM CONTA! Monday, July 19,

86 Monday, July 19, 2010 Monday, July 19, CAMPOS QU 2. CAMPOS QUÂNTICOS NTICOS ELETRODINÂMICA QUÂNTICA: ELETRODINÂMICA QUÂNTICA: A A L L L L L L i m e A i m e A F e