Física Estatística ??? Representação macroscópica. Representação microscópica. sistema U (S, V, N) S (U, V, N)

Transcrição

1 Física Estatística sistema Representação macroscópica U (S, V, N) S (U, V, N) Representação microscópica??? Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1

2 Física Estatística Formalismo microcanônico S (U, V, N) Formalismo canônico F (T, V, N) reservatório de temperatura Formalismo grande canônico (T, V, ) reservatório de temperatura e partículas Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki

3 Física Estatística Representação microcanônica sistema Representação macroscópica U (S, V, N) S (U, V, N) macroestado Representação microscópica Número de microestados acessíveis ( ) S = k B.ln (Equação de Boltzmann) Definição Planck (1900) Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki

4 S 1 S 1 S = ln = 1. S = S 1 + S Cálculo do número de estados acessíveis ( ) Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 4

5 Formalismo microcanônico ( ensemble microcanônico) sist(j) estado j f j = Ω j Ω Formalismo canônico ( ensemble canônico) reservatório de temperatura tot res sistema f j = Ω res+sist(j) Ω tot sist(j) Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 5

6 dados: B1, B, V Ex: B1+B+V=15 (E tot ) f (V=5)=? B1 B V reservatório sistema Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 6

7 Formalismo canônico ( ensemble canônico) reservatório de temperatura tot res sistema f j = Ω res+sist(j) Ω tot sist(j) Qual é a probabilidade f j de que o sistema esteja no estado j de energia j? res+sist (sist. no estado j) = res (E tot E j ). sist (estado j) f j = Ω res+sist(j) Ω tot (E tot ) = Ω res(e tot E j ) Ω tot (E tot ) F T, V, N = 1 ln z β função partição (soma sobre microestados) z = j e β E j = e β F Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 7

8 Formalismo canônico ( ensemble canônico) reservatório de temperatura tot res sist(j) sistema E j f j = Ω res+sist(j) Ω tot estado j Formalismo grande canônico ( ensemble grande canônico) reservatório de temperatura e partículas tot res sist(j) sistema E j, N j f j = Ω res+sist(j) Ω tot estado j Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 8

9 Formalismo grande canônico ( ensemble grande canônico) reservatório de temperatura e partículas sistema tot f j = Ω res+sist(j) Ω tot res sist(j) Qual é a probabilidade f j de que o sistema esteja no estado j de energia j e N j partículas? res+sist (sist. no estado j) = res (E tot E j, N tot N j ). sist (estado j) f j = Ω res+sist(j) Ω tot (E tot ) = Ω res(e tot E j, N tot N j ) Ω tot (E tot, N tot ) função partição grande canônico ψ T, V, μ = 1 ln z β z = e β (E j μ N j ) = e β ψ j Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 9

10 Número de estados acessíveis arranjo clássico partículas distintas estado 1 estado A B B A A B A B Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 10

11 Número de estados acessíveis arranjo quântico partículas idênticas estado 1 estado A A A A A A Bósons Partículas com spin inteiro Ex: He 4, fônons, fótons Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 11

12 Número de estados acessíveis arranjo quântico partículas idênticas estado 1 estado A A Férmions Partículas com spin semi-inteiro Ex: He, elétrons Princípio de exclusão de Pauli Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1

13 Alguns exemplos preliminares Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1

14 Formalismo microcanônico ( ensemble microcanônico) Quantos microestados existem para um dado macroestado? Exemplo 1: sistema de dois estados E = E = 0 Ω = N M N = número de átomos M = número de átomos no estado excitado Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 14

15 Ex: sistema de dois estados E = E = 0 Ω = N M N = número de átomos M = número de átomos no estado excitado Exemplo: Se U = e N = 4, temos (partículas distinguíveis): Ω = 4 1 = 4! 1! 4 1! = 4 Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 15

16 Ex: sistema de dois estados E = E = 0 Ω = N M N = número de átomos M = número de átomos no estado excitado Para N átomos, temos: Ω = N M = N! M! N M! S = k B. ln Ω Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 16

17 Exemplo : sistema de osciladores harmônicos modelo de Einstein (1907) 7/ 5/ ε n = n + 1 ħ ω n = 0, 1,,... / 1/ Energia do oscilador i: ε ni = n i + 1 ħ ω N N N átomos: U = ε ni = n i. ε + N. ε i=1 i=1 N i=1 n i = U ε N = M n o de quanta de energia Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 17

18 é igual ao n o de soluções da equação: n 1 + n + n n N = M Exemplo: uma possível solução permutação de barras e bolas Ω = N + M 1! N! M 1! M + N! M! N! Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 18

19 S = k B ln Ω S = k B M + N ln M + N N M ln M N definindo: n = M N (no médio de quanta por oscilador) n = U N ε 1 S = N. k B 1 + n ln 1 + n n ln n Equação de estado: 1 T = S U = S n n U 1 T = k B ε ln 1 n + 1 n = 1 e ε k BT 1 Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 19

20 Formalismo canônico ( ensemble canônico) Exemplo: sistema de dois estados E = E = 0 função partição atômica: átomo i: z i = j e β E ij = e βε i(0) + e βε i(1) = 1 + e β ε j = 0,1 função partição do sistema: βε N Z = 1 + e F T, V, N = 1 β ln Z = N k B T ln 1 + e β ε Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 0

21 Exemplo: Gás ideal monoatômico clássico L N átomos massa m L L V = L função partição atômica: z = e β ε orbitais orbitais Equação de Schroedinger H ψ x, y, z = E ψ x, y, z H = ħ m E = ħ m k x + k y + k z = ħ k m Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1

22 z = e βε k z = e α(n x +n y +n z ) + = e αn k n x =1 n y =1 n z =1 n=1 α = β ħ π m L + n=1 e α n + e α x 0 = 1 π α z = π 4α z = V π m k B T Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki

23 Equação fundamental: F = k B T ln Z = k B T N ln z N + 1 F T, V, N = k B TN ln V N πmk B T + 1 pressão: P = F = V T V k B T N ln V = k B T N V N = n.n A R = k B.N A P = n R T V n o mols n o Avogadro Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki

24 Distribuição de velocidades moleculares de Maxwell-Boltzmann F(v) dv??? f k = e βe k z f ε dε = dε D ε e βε z Probabilidade de que a velocidade da molécula esteja no intervalo entre v e v + dv Probabilidade de que a energia de uma molécula esteja no orbital k Probabilidade de que uma molécula tenha energia no intervalo entre e + d Número de orbitais entre e + d D( ) = Densidade de níveis de energia Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 4

25 Densidade de orbitais D ε = dn(ε) dε = V 4π m ħ ε f ε dε = dε D ε e βε z z = V π m k B T π f ε = πk B T ε = 1 m v ε e βε f ε dε = f 1 mv d 1 mv = f 1 mv m v dv f v dv = mv f 1 mv dv = 4π m πk B T v e mv k B T dv Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 5

26 velocidade mais provável: df(v) dv = 0 v mp = k BT m velocidade média: + v = v f v dv 0 v = 8 k BT π m velocidade quadrática média: + v = v f v dv 0 v = k BT m Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 6

27 Formalismo grande canônico ( ensemble grande canônico) Exemplos: Fluidos quânticos z = e β (E μ N) estados = e β E n s N n s μ n s = = e β s n se s μ s n s n s = = e β E s μ n s = e β Es μ ns n s s n 1 n s = zs s função partição do orbital s: zs = e β E s μ n s n s n s = n o de partículas no orbital s (ocupação) Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 7

28 Z = s zs função partição do orbital s: zs = e β E s μ n s n s n s = n o de partículas no orbital s (ocupação) s = s = s = 1 {n } {n } n s E s = U {n 1 } 1 s férmions: n s = 0 n s = 1 zs = e 0 + e β E s μ = 1 + e β E s μ bósons: N zs = e β E s μ n s = n s =0 1 1 e β E s μ n s = 0, 1,,... Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 8

29 férmions: zs = 1 + e β E s μ bósons: zs = 1 1 e β E s μ Z = s zs ψ = k B T ln Z ψ = k B T ln 1 ± e β E s μ ±1 = k B T ln 1 ± e β E s μ s s (férmions / bósons) Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 9

30 Gás ideal quântico L N partículas massa m L L orbitais V = L Equação de Schroedinger H ψ x, y, z = E ψ x, y, z H = ħ m E = ħ m k x + k y + k z = ħ k m Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 0

31 Densidade de orbitais D ε = dn(ε) dε = g o V 4π m ħ ε 1 D( ) d n o de orbitais entre e + d N ε = ε D(ε) ψ = k B T s ln 1 ± e β E s μ + = k B T ln 1 ± e β ε μ D ε dε 0 Integração por partes: ψ = N ε f ε dε + 0 Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 1

32 Elétrons livres em metais spin ½ g o = f ε = D ε = V π 1 e β ε μ + 1 m ħ ε 1 f( ) 1 Gás de elétrons a T = 0 K N = + D ε f ε dε 0 0 F N = μ F D ε dε 0 = V π m ħ 0 μ F ε 1 dε = V π m ħ μf μ F = ħ m π N V (Nível de Fermi) Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki

33 D ε = V π m ħ ε 1 D ε = N μ F ε 1 D( ) T = 0 K F U = μ F D ε ε dε 0 = 5 V π m ħ μf 5 U = 5 N μ F ε F = k B T F T F : Temperatura de Fermi Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki

34 Gás de fótons 1 f ε = e β ε μ 1 (bósons) = 0 f ε = 1 e β ε 1 (criação / aniquilação de fótons) N não é conservado Relação de Planck: E =. f = ħ. ω Relação de De Broglie: p =. f c ħ. ω = c E = p. c k = p ħ = ε ħ. c Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 4

35 N ε = fótons: spin 1, g 0 = g o π k π L N ω = V π = g o π 6 k = ħω cħ ε ħ. c = V π ε c ħ ω c V π (Quantização do campo eletromagnético) estado proibido dn ω D ω = dn(ω) dω = Vω π c = D ω f ω dω = Vω 1 π c e βħω ħ ω dω 1 du ω = D ω f ω ε ω dω = V ħ π c ω e βħω 1 dω Lei de Planck da radiação de corpo negro Física Estatística - Prof. Paulo Suzuki 5