INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 19 A DISTRIBUIÇÃO DE MAXWELL-BOLZTMANN
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- Victorio Nelson Jardim Carrilho
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1 Introdução à Astrofísica Lição 18 A Distribuição de Maxwell INTRODUÇÃO À ASTROFÍSICA LIÇÃO 19 A DISTRIBUIÇÃO DE MAXWELL-BOLZTMANN
2 Um estado de um gás é especificado por suas coordenadas, de modo que representemos essas coordenadas de forma: p i, q i = Γ Um ponto no espaço de fase representa um estado do sistema como um todo (de todas as partículas). Um grande número de estados do gás corresponde a uma dada condição macroscópica do gás. Gibbs chamou esse número de estados de ensemble. O ensemble é descrito por uma função ρ p, q, t, de modo que ρ p, q, t dpdq seja o número de pontos representativos, em que determinado tempo t está contido no elemento infinitesimal dpdq de Γ centrado em p, q. O chamado teorema de Liouville é dado por: ρ 3 t + i=1 N ρ p i ρ i + ρ q i q i =
3 Para compreender a classificação espectral é necessário a investigação de duas coisas: em que órbitas os elétrons são mais facilmente encontrados? Qual o número relativo de átomos nos diferentes estágios de ionização? Quando tratamos do comportamento de partículas em um gás, recorremos à mecânica estatística para estudar o mesmo. A mecânica estatística faz uso do conceito de probabilidade, devido ao fato de que em um mesmo gás existem partículas com diferentes velocidades. A probabilidade é necessária pois é praticamente impossível determinar a velocidade de cada uma das partículas em um gás (de modo individual). O gás, como um todo, possui propriedades bem definidas, como temperatura, pressão e densidade. Para um gás em equilíbrio térmico, a função de distribuição de velocidades de Maxwell-Boltzmann descreve a fração de partículas que possuem velocidades dentro de certo domínio.
4 Assim, o número de partículas por unidade de volume com velocidades entre v e v + dv é dado por: m 3/2 n v dv = n e mv2 /2kT 4πv²dv 2πkT Onde n é o número de partículas por unidade de volume n v = n v O termo m é a massa da partícula, k é a constante de Boltzmann e T é a temperatura do gás. O expoente da função de distribuição é a razão da energia cinética de uma partícula do gás e a energia térmica característica.
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6 A distribuição atinge um máximo quando as energias são iguais, em uma velocidade denominada velocidade mais provável : v mp = 2kT A velocidade média quadrática (velocidade rms) é definida como: m v rms = 3kT m
7 Os átomos ganham e perdem energia na medida que colidem. Com isso, a distribuição de velocidades produz uma distribuição definida de elétrons entre as órbitas atômicas. A distribuição de elétrons é governada por um resultado fundamental da mecânica estatística. Seja s a um conjunto de números quânticos que identifica certo estado de energia, E a. Similarmente, temos um conjunto s b para outro estado, E b. Consideremos o estado fundamental do hidrogênio, E a = 13,6 ev, com s a = {n = 1, l =, m l =, m s = ±1/2}.
8 Então a razão entre a probabilidade P(s b ) que o sistema esteja num estado s b e a probabilidade P(s a ) que o sistema está no estado s a é dada por: P s b = e Eb/kT P s a e E a/kt = e (E b E a )/kt Onde T é a temperatura comum aos dois estados. O termo e E/kT é denominado fator de Boltzmann. Vamos considerar, por exemplo, que E b > E a. Note que enquanto kt tende para zero (T ) a quantidade E b E a kt e portanto P(s b )/P(s a ). Esse é o resultado esperado se não existe qualquer energia térmica disponível para elevar a energia de um átomo a um nível superior.
9 Porém, os níveis de energia de um sistema podem ser degenerados, com mais de um estado quântico tendo a mesma energia. Para levar em conta o número de estados quânticos que possui um nível de energia, definimos g a como o número de estados com energia E a. De modo análogo definimos g b para os estados com energia E b. Esses termos recebem o nome de pesos estatísticos dos níveis de energia. A razão da probabilidade P(E b ) que o sistema será encontrado em qualquer um dos g b s estados degenerados com energia E b e a probabilidade P(E a ) que o sistema será encontrado em qualquer um dos g a s estados degenerados com energia E a é dada por: P E b = g be Eb/kT P E a g a e E a/kt = g b e (E b E a )/kt g a
10 Um grande número de átomos estão presentes na atmosfera de uma estrela. Assim, a razão de probabilidade é indistinguível da razão do número de átomos. Assim, escrevemos a equação de Boltzmann como: N b = g be Eb/kT N a g a e E a/kt = g b e (E b E a )/kt g a Vejamos um exemplo: Para um gás de átomos de H I, em qual temperatura o número de átomos com elétrons no nível fundamental (n = 1) será igual ao número de átomos com elétrons no primeiro nível de excitação (n = 2)? A degenerência é dada por g n = 2n² E a energia de um estado é dada por: E n = 13,6 n 2 ev
11 Vamos associar o estado a com o estado fundamental e b com o estado excitado. Fazendo N 2 = N 1 teremos: 1 = e 13, ,6 1 2 /kt 1,2 kt = ln4 T = 8, K São necessárias altas temperaturas para um significativo número de átomos de H I ter elétrons no primeiro estado de excitação. Lembremos que as linhas de Balmer são produzidas por elétrons nos átomos de H I que realizam uma transição do nível n = 2 para níveis mais excitados. A questão é: se uma temperatura de aproximadamente 85 K é necessária para prover elétrons ao primeiro nível excitado, então por que as linhas de absorção de Balmer alcançam seu máximo de intensidade a uma temperatura muito mais baixa (próxima de 952 K)?
12 A EQUAÇÃO DE SAHA Para responder à questão anterior precisamos levar em conta o número relativo de átomos em diferentes estados de ionização. Seja χ i a energia de ionização necessária para remover um elétron de seu estado fundamental num átomo, assim levando de um estágio de ionização i para i + 1. Definimos a função de partição Z como a soma ponderada do número de modos que o átomo pode arranjar seus elétrons com a mesma energia com as configurações mais energéticas recebendo menor peso através do fator de Boltzmann quando a soma é realizada. Se E j é a energia do j-ésimo nível de energia e g j é a degenerescência deste nível, então a função de partição Z é definida como: Z = j=1 g j e E j E 1 /kt
13 Se usamos as funções de partição Z i e Z i+1 para o átomo em seus estágios inicial e final de ionização, a razão do número de átomos no estágio (i + 1) e no estágio i será: N i = 2Z i+1 2πm e kt n e Z i h 2 e χ i/kt Essa é a equação de Saha. Nessa equação, o fator 2 refere-se aos possíveis estados de spin do elétron livre (m s = ±1/2). Por vezes, podemos escrever essa equação em termos da pressão de elétrons P e = n e kt: N i+1 N i = 2Z i+1 2πm e kt P e Z i h 2 e χ i/kt O que podemos fazer é combinar a equação de Saha com a de Boltzmann para explicar os espectros estelares que observamos. Consideremos as linhas de Balmer (n = 2). O hidrogênio possui apenas dois estados de ionização: ou ele está neutro ou está ionizado. N = N + N 1 Onde N é a densidade numérica do hidrogênio neutro e N 1 é do hidrogênio ionizado. N i+1 3/2 3/2
14 Tomando todos os hidrogênios neutros possíveis: N = Para determinar a intensidade da linha de absorção de Balmer precisamos saber a densidade numérica do hidrogênio neutro com elétrons em n = 2. Em relação ao número total de átomos de hidrogênio e íons podemos escrever: N 2 N = N 2 N + N 1 = N 2 = N 2 N 1 i N i N 1 1 N 1 N + N 1 N /N 1 + N 1 /N 1
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