Mecânica Quântica e Indiscernibilidade

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1 Mecânica Quântica e Indiscernibilidade t ou ou?? Mecânica clássica Partículas discerníveis ( A, A ) ψ ( A A ) ψ =, Mecânica quântica Partículas indiscerníveis ( A, A ) ψ ( A A ) ψ = ψ, ou = ( A, A ) ψ ( A A ), Bosões Fermiões ψ ( A, A ) = ψ ( A A ) ψ ( A A ) 0, Mesmo estado quântico, = fermiões não podem ocupar o mesmo estado quântico

2 Estatíticas clássica vs. quântica Número médio de partículas no nível de energia ε r à temperatura T Estatística clássica Boltzmann Bose-Einstein Estatística quântica Fermi-Dirac n r = N exp Z ε r kt n r = ε r µ exp kt n r = ε r µ exp + kt f (ε) / Bose-Einstein Boltzmann Fermi-Dirac ε

3 3 ( ) ( ) ( ) ( ),,.,, x x E x x U x x x m x x x m ψ ψ ψ ψ = + h h Equação de Schrödinger para duas partículas idênticas No caso geral, para N partículas num espaço tridimensional temos uma equação com 3N variáveis: (x, y, z, x, y, z,, x N, y N, z N )

4 Carácter ondulatório Estatística Quântica: partículas indiscerníveis Bosões (função de onda simétrica por troca: ψ = ψ ) partículas com spin inteiro (por exemplo, os fotões, com spin ) Estatística de Bose-Einstein. Fermiões (função de onda anti-simétrica por troca: ψ = -ψ ) partículas com spin semi-inteiro ( por exemplo, os electrões, os protões, os neutrões, os neutrinos, ) Estatística de Fermi-Dirac Radiação composta por bosões Matéria composta por fermiões 4

5 Princípio de exclusão de Pauli e a Tabela Periódica Só aplicável aos fermiões Cada electrão num átomo é rotulado com quatro números quânticos (n, l, m e m s ) Num átomo com vários electrões, só um electrão pode estar no estado quântico descrito por cada conjunto (n, l, m e m s ) Tabela Periódica dos elementos 5

6 Tabela periódica e orbitais atómicas Sequência de preenchimento das orbitais atómicas 6

7 7

8 Molécula formada por ligação covalente Átomos de hidrogénio (H) Electrões atraídos pelos protões um do outro Molécula de hidrogénio (H ) formada por ligação covalente 8

9 Sólidos iónicos - propriedades Formados por forças de Coulomb entre iões (por ex. Na + Cl - ) Energias de coesão elevadas ( - 4 ev/ átomo) temperaturas de fusão e evaporação elevadas Baixas condutividades eléctricas ausência de electrões livres Transparentes à luz visível energia dos fotões muito baixa para libertar electrões Solúveis em líquidos polares, como a água dipolos da água atraem os iões Estrutura do NaCl 9

10 Energia potencial Potencial repulsivo /r m Potencial total Potencial atractivo (Coulomb) -/r Energia potencial: U tot = U atract (+, ) + U repuls (, ) 0

11 Sólidos iónicos exemplos de estruturas cristalinas Cúbica simples Cúbica de corpo centrado Cúbica de faces centradas Estrutura CFC: NaCl Na + Cl -

12 Sólidos covalentes - propriedades Exemplos incluem elementos dos grupos IV (C, Si) e dos grupos III-V (GaAs, InSb) da tabela periódica Formados por ligações fortes e localizadas, com estruturas estáveis. Energias de coesão maiores do que as dos sólidos iónicos (4-7 ev/átomo) temperaturas de fusão e evaporação mais elevadas. Baixas condutividades eléctricas os portadores de carga têm de vencer uma diferença de bandas de energia (gap). Estrutura da grafite em camadas formadas por ligação covalente

13 Sólidos covalentes exemplos de estruturas cristalinas Grafite Ligação planar sp (bom lubrificante) Diamante Ligação tetrahédrica sp 3 (elevada dureza) Ângulo de ligação = 09.5º 3

14 Sólidos metálicos - propriedades Formados pela atracção de Coulomb entre os iões da rede cristalina (+) e o gás de electrões (-) Energias de coesão mais baixas (-4 ev/átomo) as ligações metálicas permitem que os electrões se movam livremente através da rede cristalina Absorvem a luz visível são opacos, brilhantes devido à re-emissão Boa formação de ligas metálicas as ligações metálicas não são direccionais Átomos de um metal densamente agregados 4

15 Existem duas aproximações para determinar as energias dos electrões associadas com os átomos da rede cristalina: ) electrões ligados Os átomos isolados ligam-se para formar o sólido. ) electrões desligados ou livres (E = p /m) Os electrões livres ficam sujeitos a um potencial periódico (por ex., criado pelos iões da rede). Ambas as aproximações têm como resultado níveis de energia agrupados, com regiões de energia permitidas e proibidas: para os metais as bandas de energia sobrepõem-se para os semicondutores não se sobrepõem (ou existe um gap entre elas). 5

16 Para um sólido com um número N de átomos ( 0 3 cm -3 ), existem N níveis de energia separados por E. aparecimento de bandas de energia para cada nível de energia atómico inicial (por ex., uma banda s para um nível de energia s). Dois átomos Seis átomos Sólido com N átomos Os electrões ocupam níveis de energia diferentes (Princípio de Exclusão de Pauli) 6

17 Função de Fermi - Dirac Probabilidade dos electrões (fermiões) serem encontrados em vários níveis de energia: f FD ( E ) = ( E E ) e kt F + Para uma dada temperatura: E E F = 0,05 ev f (E) = 0, E E F = 7,5 ev f (E) = 0 9 Dependência da função de Fermi-Dirac com a temperatura: 7

18 Condutores T > 0 Função de Fermi-Dirac Banda de condução (parcialmente preenchida) E C,V E F E = 0 Banda de energia a preencher Para T = 0 K, todos os níveis na banda de condução abaixo do nível de Fermi E F estão preenchidos com electrões; acima de E F estão vazios. Os electrões podem deslocar-se para os estados vazios da banda de condução apenas com a aplicação de um campo eléctrico pequeno condutividade eléctrica elevada Para T > 0 K, existe uma certa probabilidade dos electrões serem termicamente excitados para níveis acima do de Fermi. 8

19 Dieléctricos T > 0 Banda de condução (vazia) E C E gap E F Banda de valência (preenchida) E V Para T = 0, a banda de valência está preenchida e a banda de condução está vazia condutividade eléctrica nula o nível de energia de Fermi E F está entre as bandas de valência e de condução (-0 ev). Para T > 0, os electrões não são termicamente excitados da banda de valência para a de condução condutividade eléctrica nula. 9

20 Semicondutores (sem impurezas) T > 0 Banda de condução (parcialmente preenchida) E F E C E V Banda de valência (parcialmente vazia) Para T = 0, a banda de valência está preenchida e a banda de condução está vazia condutividade eléctrica nula o nível de energia de Fermi E F está entre as bandas de valência e de condução (< ev). Para T > 0, os electrões são termicamente excitados da banda de valência para a de condução alguma condutividade eléctrica. 0

21 Semicondutores (com impurezas dadoras) Aumento da condutividade por adição duma pequena quantidade de outro material (dopante) Para o Si (grupo IV), pode-se adicionar um electrão extra adicionando um elemento do grupo V Si tipo n Si tipo n Esse electrão extra está fracamente ligado, num nível de energia dador E D imediatamente abaixo do nível de condução E C E C E F E gap ~ ev E D Os electrões dopantes passam facilmente para a banda de condução aumento da condutividade eléctrica (por aumento da densidade de portadores) E V O nível de Fermi E F está mais próximo de E C.

22 Semicondutores (com impurezas dadoras) Adicionando ao Si um elemento do grupo III, este aceita um electrão e o Si torna-se do tipo p (mais portadores positivos lacunas) O electrão em falta é o mesmo que uma lacuna extra, com um nível de energia dos aceitadores E A imediatamente acima da banda de valência E V. As lacunas na banda de valência aumentam bastante a condutividade eléctrica. O nível de Fermi E F aproxima-se de E V. E C E F E V Si tipo p E A

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