Aula 22. Gás de Fermi. Sumário CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO

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1 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas - 27 CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E DA NATUREZA DEPARTAMENTO DE FÍSICA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO Aula 22 Gás de Fermi Sumário Dedução a partir do ensemble canônico Gás de Fermi Gás de Bose Dedução a partir do ensemble grão-canônico Equação de estado Gás Ideal de Férmions Limite de altas temperaturas Limite de baixas temperaturas Densidade de estados Bibliografia recomendada K. Huang, Statistical Mechanics, Jonh Wiley & Sons, 2 nd Ed. (987),. R. K. Pathria, Statistical Mechanics, Elsevier, 2 n d edition, (996), 8. R. Kubo, Statistical Mechanics, North-Holland, (965), M. Kardar, Statistical Physics of Particles, Cambridge Univ. Press, (27), 7.5 L. E. Reichl, A Modern Course of Statistical Physics, Jonh Wiley & Sons, 2 nd Ed. (998), 7.H.2

2 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Dedução a partir do ensemble canônico No ensemble canônico, i.e. quando o gás está em equilíbrio térmico com um reseervatório de calor à temperatura absoluta T, a probabilidade (peso de Boltzmann) que o gás esteja em certo macroestado com energia E n é dada por P n = e β E n n e β En = e β n ǫ e β n ǫ {n }, ǫ = p 2 onde o numerador é o fator de Boltzmann e o denominador e a função de partição Z N (T, V). O número de ocupação médio em cada estado de energiaǫ é definido por n = n P = {n } {n n } e β n ǫ {n } e β n ǫ = 2m n n e β n ǫ {n } e β n ǫ n e β nǫ {n } e β n ǫ onde nas somas {n }... o superescrito indica a restrição que {n } n = N n e, portanto, dependem de n. Para simplificar a notação denominaremos por Logo Z (N n )= {n } e β n ǫ n = n n e β n ǫ Z (N n ) n e β n ǫ Z (N n ) () Gás de Fermi No caso do gás de Fermi, n somente pode ter valores,, ou seja +e βǫ Z (N ) n = [Z (N)+ e βǫ Z (N )] n = Z (N)/Z (N )e βǫ + Para determinar Z (N)/Z (N ) consideremos, para uma variação N= em um número muito grande N que ln Z (N) ln Z (N N) lnz (N) N ln Z (N ) ln Z (N) α N Ver F. Reif, Fundamental and Thermal Physics, Mc-Graw-Hill (965), 9.3

3 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Z (N ) Z (N) exp[ α ], Z (N ) e [ α ] Z (N) com α = ln Z (N) N Como Z (N) é uma soma sobre um número muito grande de parcelas exp[ β n ǫ ] a variação de seu logaritmo, com relação ao número de partículas N, deverá ser pouco afetada pela exclusão de uma parcela particular exp[ β n ǫ ]. Considerando que tal variação independerá dessa escolha particular, o subscrito pode ser omitido de tal maneira que α ln Z(N) α= N Z (N ) Z (N) e α No estado de equilíbrio termodinâmico o potencial químico é dado por µ= F = k T lnz α= µ N T,V N T,V k T = βµ Finalmente, podemos escrever para o gás de Fermi que n = e β(ǫ µ) + (Distribuição de Fermi-Dirac) Gás de Bose Expandindo a somatória em n no numerador da equação () e usando a notação Z (N n ) para o restante das somas, teremos n = +e βǫ Z (N )+ 2e 2βǫ Z (N 2)+ 3e 3βǫ Z (N 3)+... Z (N)+ e βǫ Z (N )+ e 2βǫ Z (N 2)+3e 3βǫ Z (N 3)+... Usando a expressão ln Z (N) ln Z (N N) lnz (N) N=α N N podemos escrever n = Z (N)[+e βǫ e α + 2e 2βǫ e 2α +...] Z (N)[+e βǫ e α+ e 2βǫ e 2α+...] = n n e n (α+βǫ ) n e n (α+βǫ ) n = β ǫ ln[ e (α+βǫ ) ]= e (α+βǫ) e (α+βǫ ) = e (α+βǫ ) Finalmente, substituindo o valor de α = β µ resulta = ln e n (α+βǫ ) β ǫ n }{{} [ e (α+βǫ ) ] n = e β(ǫ µ) (Distribuição de Bose-Einstein)

4 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Dedução a partir do ensemble grão-canônico A função de partição do ensemble canônico para um gás ideal pode escrita de maneira geral como: Z N (V, T)= g{n } e β E{n } (2) {n } onde, relembrando, E{n }= n ǫ, N= e g{n } é o número de microestados correspondentes a{n }, i.e Férmions e Bósons, g(n )= N! N! n Maxwell-Boltzmann.! n Para o caso de partículas clássicas (distinguíveis) mas com contagem correta de Boltzmann, é fácil ver que N Z N (V, T)= n! e β n n ǫ = e βǫ N! resultado decorrente da expansão multinomial. Fazendo a passagem para o contínuo, a somatória é transformada em uma integral, i.e. e βǫ V h 3 d e β p 2 /2m = V mk T 3/2 V = Z 2πħh 2 λ 3 N (V, T)= N! V N λ 3N como já obtido anteriormente. Para partículas quânticas (férmions ou bósons) a somatória em (2) é complicada de obter e é mais conveniente obter a grã-função de partição definida por (T, V,µ)= z N Z N (V, T)= N= N={n } z N e β n n ǫ = N={n } z e βǫ n onde usamos g(n )= e soma indica a restrição que N= n. A dupla soma na expressão acima pode ser substituída por uma somatória irrestrita em cada n. i.e. N={n } z N e β n n ǫ = δ N n z N e β n n ǫ ou N={n }

5 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas N={n } z N e β n n ǫ = z e βǫ n n 2 n Assim sendo,(t, V,µ) pode ser reescrita como (T, V,µ)=...(z e βǫ ) n (z e βǫ ) n (z e βǫ2 ) n2 = n n n 2 = (z e βǫ ) n (z e βǫ ) n (z e βǫ2 ) n2... n n n n 2 (T, V,µ)= (z e βǫ ) n (3) n Gás de Bósons (T, V,µ)= (z e βǫ ) n (T, V,µ)= ( z e βǫ ) n= onde usamos n=,, 2,... e identificamos a soma dos termos de uma progressão geométrica de razão menor que a unidade. Gás de Férmions (T, V,µ)= (+ z e βǫ ) obtido trivialmente fazendo n=, na expressão geral (2) Equação de estado A equação de estado no ensemble grão-canônico é obtida porβ P V = ln(t, V,µ) que pode ser resumida para os dois casos por: P V ln( z e βǫ ) Bósons, k T = ln(+ z e βǫ ) Férmions. (4)

6 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas onde a fugacidade z= e βµ pode ser eliminada em termos da densidade de partículas no equilíbrio usando-se N =z z z e βǫ ( z e βǫ ) ln(t, V,µ)= z e βǫ (+ z e βǫ ) Bósons, Férmions. (5) Mas, como N = n identificamos z e βǫ n = (± z e βǫ ) ou n = (z e βǫ ± ) ( ) Bósons, (+) Férmions. (6) que pode ser verificada também calculando diretamente da definição n z N n exp[ β n ǫ ]= z e βǫ ln= β ǫ N= {n } ( z e βǫ ) No limite termodinâmico V as somatórias são estendidas para integrais desde que os integrandos sejam limitados, o que é garantido pela condição z= e βµ >. Gás Ideal de Férmions Para um gás de férmions lívres as equações de estado (4) e (5) resumem P V k T = V h 3 (4π)p 2 ln[+ z e β p 2 /2m ]d p (7) Usando N V = h 3 (4π)p 2 d p [+ z e β p 2 /2m ] = (8) 2m 3/2 t /2 d t β p 2 /2m t, p 2 d p= 2 β

7 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas /2 P 2mπ k T = 2 t /2 ln[+ z e t ]d t= h 2 β π λ f 5/2(z) (9) }{{} 3 λ 3 ondeλ=[h 2 /(2πmk B T)] /2 é o comprimento de onda térmico. De maneira análoga, N V = 2 t /2 d t π λ 3 [+ z e t ] = λ f 3/2(z) () 3 As funções f s (z) são ditas funções de Fermi ou integrais de Fermi, as quais por sua vez são casos particulares do Polilogaritmo 2 Li s (z), cuja representação integral é dada por Li s (z)= t s Γ(s) e t z d t No caso das funções de Fermi temos: f s (z)= Li s ( z)= Γ(s) t s e t z + d t Pela definição acima, temos que para s = 3/2 temos f 3/2 = 2 t /2 π e t z + d t Os polilogaritmos satisfazem à regra de recorrência: z z Li s(z)=li s (z) z z Li 5/2(z)=Li 3/2 (z) Por outro lado, verificamos que z z onde identificamos t /2 ln[+ z e t ]d t= d t f 5/2 (z)= 2 t /2 ln[+ z e t ]d t π t /2 π π z e t + = 2 [ Li 3/2(z)]= 2 [z z [ Li 5/2( z)] 2 Que não deve ser confundida com a função dita Polylogarítmica.

8 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Outra expressão alternativa é f 5/2 (z)= 4 3 t 3/2 π z e t + d t As funções de Fermi podem ser expressas em uma série de potências de z, i.e. f s (z)= ( ) k+ z k 2 z z z 3 k s= 2 s+ 3 s... k= que é convergente para z. As equações de estado para o gás ideal de férmions podem finalmente serem resumidas em: P V k T = ln(t, V,µ)= V λ 3 f 5/2(z) () N V = z z ln(t, V,µ)= λ 3 f 3/2(z). (2) Limite de altas temperaturas Considerar inicialmente a expressão (2) no limite quântico de altas temperaturas, i.e. quando o comprimento de onda térmico 3 λ(t) é muito menor que a distância média interpartícula, i.e. V /3 λ(t) << distância média interpartícula = N ou λ 3 N V <<, λ 3 v = f 3/2(z)<<, onde v= V N. 3 O comprimento de onda térmicoλ(t) corresponde ao comprimento de onda de Broglieλ B para uma partícula com energia da ordem de k T.

9 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Vamos analisar a integral de Fermi quando f 3/2 (z)<<. Temos f 3/2 (z)= 2 d t x /2 π (z e t + ) z z 2 2 3/2 + + z 3 33/2... (3) que é uma função monotonicamente crescente de z, i.e( f 3/2 / z) 4, como mostra a figura ao lado. Observe que f 3/2 ()=, ou seja, o intervalo de valores de z tais que f 3/2 (z)<< corresponde também a valores z pequenos. Escrevendo a equação (2) usando a série de potências em z, temos λ 3 v = z z 2 2 3/2+ z 3 3 3/2.... Invertendo a série acima para obter z em termos da ordem de(λ 3 /v) teremos z= λ3 v + z 2 2 3/2 z 3 3 3/2... f 32 z z z = λ3 v +{(λ3 v )2 } z 2 = λ3 v + z 2 2 3/2 =λ3 v + λ 3 2+{( λ 3 2 3/2 v v )3 } A série invertida pode ser obtida até a ordem de de(λ 3 /v) desejada. Por exemplo, substituindo a expansão de z em potências deλ 3 /v na equação de estado () teremos até segunda ordem: z z 2 2 P V k T = V λ f 5/2(z)= V z z 2 z 3 3 λ 3 2 5/2+ 3 5/2+... = V {}}{{}} 2 { λ 3 λ 3 v + λ 3 2 λ 3 2 3/2 v 2 5/2 v + λ /2 v 4 Verifique que f 3/2 z = 2 e t t π (e t + z) 2

10 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas - 27 Combinando os termos na mesma ordem emλ 3 /v, até segunda ordem, resulta P V k T V λ 3 + λ 3 λ 3 v 2 3/2 v λ 3 2 5/2 v +... = N + λ 3 2 5/2 v +... P k T N + λ 3 V 2 5/2 v +... ou P k T n + λ3 n /2 (4) Comentários: A equação (4) é uma expansão semelhante à expansão virial, i.e. em potências da densidade média n= v, porém com uma diferença fundamental: os termos da expansão são produzidos por efeitos quânticos sobre o gás ideal sem interações interpartícula! O termo de ordem zero, i.e com z=(λ 3 /v) reproduz a equação de estado do gás ideal clássico! Todas as demais grandezas termodinâmicas terão correções de origem quântica 5 em uma série de potências em(λ 3 /v). Limite de baixas temperaturas Os efeitos quânticos são relevantes quando o comprimento de onda térmico for maior que a distância média interpartícula, i.e. quando as temperaturas são suficientemente baixas para que λ 3 v Nesse caso, devemos examinar o comportamento de f 3/2 (z) em grandes valores e z. Assim a expansão assintótica de f 3/2 não pode usada pela série de potências quando z >. Para obter uma expansão tal que a integral possa ser calculada, será necessário usar o método de Sommerfeld. Método de Sommerfeld: 6 Definindoν=ln z, a integral de Fermi f 3/2 (z) pode ser reescrita como f 3/2 (ν)= 2 π t /2 d t +e β t ν int. p/p 4 3 π t 3/2 e t ν d t (+e t ν ) 2 5 A capacidade calorífica a volume constante será C V 3 2 N k.884 λ3 λ 3 2+ v v Verifique. 6 Veja o apêndice E, do livro de R. K. Pathria, Statistical Mechanics, Elsevier, 2 nd edition, (996), página 58.

11 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas - 27 onde na última passagem foi feita uma integração por partes com d v = t d t e u=(+ e t ν ). Identificamos, no integrando de f 3/2 (ν), a função G(y)= e y ν d y (+e y ν ) 2 que é essencialmente a derivada do número de ocupação n. Em baixas temperaturas e/ou grandes valores de ν, essa função tem um pico acentuado em torno de y =ν=βµ. Nesse limite, o integrando terá valores relevantes apenas no entorno de y = ν, como mostra a figura ao lado para os gráficos de n(y) (em azul claro) e G(y) (em cinza) para o caso em queν=..5 Gy 5 Portanto, é razoável expandir t 3/2 em série de Taylor em torno do ponto t =ν resulta: f 3/2 (ν)= 4 3 π e t ν d t (+e t ν ) 2 ν 3/ ν/2 (t ν)+ 3 8 ν /2 (t ν) ny Fazendo a mudança na variável de integração(t ν) t e separando o novo intervalo de integração em duas partes, i.e y resulta f 3/2 (ν)= 4 3 π e t d t (+e t ) 2 ν = ν... ν 3/ ν/2 t+ 3 8 ν /2 t (e ν ) (5) A segunda integral pode ser realizada sem problemas e resulta em um fator da ordem de e ν, e.g. ν ν e t d t (+e t ) 2= e ν + e ν, t 2 e t d t (+e t ) 2=ν ν t e t d t ν (+e t ) 2= e ν + log e ν + (e ν ), ν e ν log e ν + 2Li 2 (sinh(ν) cosh(ν)) (e ν ), No entanto, para resolver a primeira integração em todo o intervalo definimos a integral geral n = t n e t d t (+e t ) 2 etc.

12 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas É imediato ver que para n ímpar as integrais são nulas porque o integrando é simétrico em relação à origem. Para n par podemos reescrever n, com o auxílio de um parâmetro auxiliarξ, como n = 2 t n d t = 2 ξ e ξt + ξ= ξ Fazendo a mudança de variávelξt u, reescreve-se t n d t e ξt + ξ= n = 2 d u u n = 2 ξ ξ n e u + d u u n λ= e u + ξ ξ n ξ= n = 2n u n e u + d u As integrais n podem, agora, serem identificadas com a representação integral da função Zeta de Riemann 7 ζ(n) i.e. ζ(n)= x n Γ(n) e x d x= ( 2 n ) Γ(n) x n e x + d x n = 2n(n )!( 2 n )ζ(n), ζ(n)= l n l= Obs: O cálculo de n pode ser feito diretamente de maneira elegante 8. Substituindo na equação (5) teremos f 3/2 (ν)= 4 3 ν 3/2 + 3 π 8 ν / (e ν ) f 3/2 (z)= 4 3 (ln z) 3/2 + π2 π 8 (ln z) / (z ) (6) onde usamos queζ(2)=π 2 /6 2 =π 2 /3. Na figura () abaixo, mostramos os gráficos de f 3/2 (z) exata e nas aproximações de altas e baixas temperaturas, onde se pode verificar os limites de validade das expansões usadas. 7 Vide M. Abramowitz e I. Stegun, Handobook of Mathematical Functions, Dover (968), fórmula Ver nota de pé-de-página do R. Kubo, Statistical Mechanics, North-Holland, (965), página 233.

13 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas f 32 z z Figura : Gráficos da Integral de Fermi f 3/2 (z), na aproximação de altas temperaturas - equação (3) (tracejado vermelho); na aproximação de baixas temperaturas - equação (6) (tracejado azul) e a expressão exata em cinza preenchido f 3/2 (z)=li(3/2, z). Observe o pequeno range de validade da aproximação de altas temperaturas para a escala usada. Finalmente, substituindo (6) em (2) resulta λ 3 v = 4 3 π (ln z)3/2 + π2 8 (ln z) (z ) (7) Limite de baixíssimas temperaturas: T ou(z ) Em baixíssimas temperaturas, compreenda-se o termo líder da expansão (7), i.e λ 3 v 4 3 πλ 3 2/3 2/3 3 π 2πħh 2 3 π (ln z)3/2 z exp = exp β = e βǫ F 4v 4v m }{{} ondeǫ F é a energia de Fermi ǫ F ǫ F = ħh 2 6π 2 2/3 (8) 2m v

14 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas na distribuição de Fermi n, a qual descreve a população nos ní- Substituindo-se z= e βǫ F veis de energia, teremos n = z e βǫ + nε kt FermiDirac nε e ΒΕΜ lim n = e β(ǫ ǫ F ) + T.5 A figura ao lado mostra a distribuição de Fermi para valores deβµ= (azul) e (preto). Observe que todas as curvas passam no mesmo ponto n(µ)= /2, i.e quandoǫ=µ em qualquer temperatura. Μ kt 2 3 No limite extremo (estado fundamental) em que T= teremos, entretanto Ε Μ lim n = T= seǫ <ǫ F seǫ >ǫ F /2 seǫ =ǫ F n Nesse limite extremo observa-se que:. Todos os estados com energia menor do queǫ F estão ocupados com partícula, e todos os estados com energia acima estão desocupados. 2. ǫ F é máxima energia de um estado ocupado. 3. Como z= e βµ em T=, o potêncial químico µ=ǫ F. como esquematizado na figura ao lado. ǫ F Distribuição de estados em T=. Densidade de estados Estado Fundamental (T= ) O distribuição de estados obedece à condição n =N, a qual em T= resulta =N, ou V h 3 ǫ ǫ F d= N

15 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Passando para a variável de energia, i.e 2 /(2m) ǫ, escrevemos formalmente ǫf ǫ n(ǫ) dǫ= N onde n(ǫ) = densidade de estados = número de estados com, energia entreǫ eǫ+ dǫ. Obs: Para determinar explicitamente n(ǫ) é preciso especificar a dependência de ǫ com, conhecida como relação de dispersão. Caso do Gás Ideal: Para o gás ideal em T= temos ǫ=ǫ = 2 2m d p=m p dǫ= m 2mǫ dǫ V h 3 pf (4π)p 2 d p= 4π V h 3 ǫf m (2mǫ) dǫ= 2mǫ ǫf 2πV /2 ǫ /2 dǫ h 3 (2m)3 }{{} n(ǫ) n(ǫ)= 2πV h 3 (2m)3/2 ǫ /2 n(ǫ) ǫ /2 cujo gráfico está mostrado na figura ao lado. Momentum de Fermi Outra grandeza importante é o momentum de Fermi, definido por nε 4π V h 3 pf p 2 d p= N, V h 3 4π 3 p 3 F = N 3N /3 p F = h 4πV (momentum de Fermi) Ε que poderia ser obtido, também, a partir da relaçãoǫ F = p 2 F /2m.

16 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Energia do estado fundamental. A energia (média) do estado fundamental é definida por E = n ǫ= V pf h 3 p 2 2m (4π)p 2 d p, E = 2π V 5m h 3 p 5 F ou E = ǫf n(ǫ)dǫ, E = 3 5 Nǫ F (energia interna) Baixas Temperaturas Os regimes de temperaturas são melhor estabelecidos fisicamente se definirmos a temperatura de Fermi T F, i.e T = Estado Fundamental, Regime de baixas temperaturas ou T<< T F gás com alta densidade, sistema degenerado T F = ǫ F k B T>> T F Regime de altas temperaturas ou gás com baixa densidade, sistema não-degenerado Quando T a densidade de estados pode ser obtida por N= n, ou fε nε T T T F onde N= V [e β(ǫ µ) + ] d= h 3 = f(ǫ)n(ǫ)dǫ T T F ΕΜ f(ǫ)= e β(ǫ µ) + e β(ǫ µ) (ǫ µ) (9) n(ǫ)= 2πV h 3 (2m)3 /2 ǫ /2 (2)

17 FIS 75 Mecânica Estatística Notas de Aulas Na figura ao lado, mostramos o comportamento de f(ǫ) n(ǫ) para T=, T<< T F e T T F. Observação importante: partículas com spin No caso de férmions com spin ħh s existirá uma degenerescência de(2s + ) microestados para cada estado me momentum. Portanto, N=(2s+ ) V V 4π d=(2s+ ) h 3 h 3 3 p 3 V 4π F h 3 3 p 3 = N F N = (2s+ ) ǫ ǫ F que corresponde a considerar um sistema de férmions reduzido para N = N/(2s+) férmions sem spin. Esta correspondência pode ser entendida porque férmions com diferentes estados de spin não sofrem as restrições de simetria pela operação de permutação entre as posições, i.e não sofrem as restrições impostas pelo princípio de Pauli. Assim, cada subconjunto de férmions com mesmo estado de spin age como se fosse um gás independente.