Física estatística. Sistemas de Fermi ideais MEFT, IST

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1 Física estatística Sistemas de Fermi ideais MEFT, IST Before I came here I was confused about this subject. Having listened to your lecture I am still confused. But on a higher level. Enrico Fermi ( )

2 Os efeitos quânticos em sistemas ideais Sistemas ideais: interacções intermoleculares negligenciáveis. Queremos ver os efeitos quânticos: já não obrigamos a que o comprimento de onda térmico seja muito inferior à separação média entre partículas [ver aula 5!; ver também aulas 18 e 19]: libertamos a restrição λ 3 N V = n ( h 2 2πmkT ) 3/2 1 O parâmetro (nλ 3 ) vai ser importante: no limite (nλ 3 ) 0 as propriedades do sistema devem aproximar-se dos seus valores clássicos; quando (nλ 3 ) se aproxima de 1 o comportamento do sistema afasta-se significativamente do limite clássico e é caracterizado pelos efeitos quânticos. Comportamento quântico revela-se a temperaturas relativamente baixas e/ou densidades relativamente altas.

3 Os efeitos quânticos em sistemas ideais Sistemas ideais: interacções intermoleculares negligenciáveis. Queremos ver os efeitos quânticos: já não obrigamos a que o comprimento de onda térmico seja muito inferior à separação média entre partículas [ver aula 5!; ver também aulas 18 e 19]: libertamos a restrição λ 3 N V = n ( h 2 2πmkT ) 3/2 1 O parâmetro (nλ 3 ) vai ser importante: no limite (nλ 3 ) 0 as propriedades do sistema devem aproximar-se dos seus valores clássicos; quando (nλ 3 ) se aproxima de 1 o comportamento do sistema afasta-se significativamente do limite clássico e é caracterizado pelos efeitos quânticos. Comportamento quântico revela-se a temperaturas relativamente baixas e/ou densidades relativamente altas.

4 Gás de Fermi ideal Já sabemos que PV kt = log Ξ(z, V, T ) = p log [1 + z exp ( βe p )] N = z z log Ξ(z, V, T ) = p n p = p 1 z 1 exp(βe p ) + 1 No limite V, p (V /h3 ) d 3 p = (V /h 3 ) 4πp 2 dp P kt = 4π h 3 N V = 4π h [ )] dp p 2 log 1 + z exp ( β p2 2m dp p 2 1 ( z 1 exp β p2 2m ) + 1

5 Gás de Fermi ideal Já sabemos que PV kt = log Ξ(z, V, T ) = p log [1 + z exp ( βe p )] N = z z log Ξ(z, V, T ) = p n p = p 1 z 1 exp(βe p ) + 1 No limite V, p (V /h3 ) d 3 p = (V /h 3 ) 4πp 2 dp P kt = 4π h 3 N V = 4π h [ )] dp p 2 log 1 + z exp ( β p2 2m dp p 2 1 ( z 1 exp β p2 2m ) + 1

6 Funções de Fermi-Dirac No tratamento dos sistemas de Fermi aparecem frequentemente integrais do tipo F v (z) = 0 x v 1 z 1 e x + 1 dx que são conhecidas como funções de Fermi-Dirac. Algumas notas sobre as funções de Fermi-Dirac: Quando z 0, F v (z) zγ(v) Definimos f v (z) = 1 Γ(v) F v (z) = 1 Γ(v) 0 x v 1 z 1 e x + 1 dx

7 Funções de Fermi-Dirac No tratamento dos sistemas de Fermi aparecem frequentemente integrais do tipo F v (z) = 0 x v 1 z 1 e x + 1 dx que são conhecidas como funções de Fermi-Dirac. Algumas notas sobre as funções de Fermi-Dirac: Quando z 0, F v (z) zγ(v) Definimos f v (z) = 1 Γ(v) F v (z) = 1 Γ(v) 0 x v 1 z 1 e x + 1 dx

8 Funções de Fermi-Dirac No tratamento dos sistemas de Fermi aparecem frequentemente integrais do tipo F v (z) = 0 x v 1 z 1 e x + 1 dx que são conhecidas como funções de Fermi-Dirac. Algumas notas sobre as funções de Fermi-Dirac: Quando z 0, F v (z) zγ(v) Definimos f v (z) = 1 Γ(v) F v (z) = 1 Γ(v) 0 x v 1 z 1 e x + 1 dx

9 Funções de Fermi-Dirac: representação em série Temos a relação de recorrência z z f v (z) = f v 1 (z) Para z pequeno (z 1) podemos expandir a integranda em série de Taylor: f v (z) = 1 Γ(v) 0 x v 1 ( 1) l+1 ( ze x) l dx l=1 = ( 1) l=1 l+1 zl l v = z z2 2 v + z3 3 v

10 Funções de Fermi-Dirac: representação em série Temos a relação de recorrência z z f v (z) = f v 1 (z) Para z pequeno (z 1) podemos expandir a integranda em série de Taylor: f v (z) = 1 Γ(v) 0 x v 1 ( 1) l+1 ( ze x) l dx l=1 = ( 1) l=1 l+1 zl l v = z z2 2 v + z3 3 v

11 Funções de Fermi-Dirac: casos limite Para z pequeno, consideramos os primeiros termos de f v (o primeiro termo é z). E para z grande??? Introduzimos a variável ξ = log z = µ/kt. As funções de Fermi-Dirac escrevem-se F v (ξ) Γ(v)f v (ξ) = 0 x v 1 exp (x ξ) + 1 dx Para ξ grande, o integral é controlado pelo factor [exp(x ξ) + 1] 1 Este factor só se afasta significativamente dos seus valores limite (0, quando x ; 1, quando x 0) numa vizinhança de x = ξ.

12 Funções de Fermi-Dirac: casos limite Para z pequeno, consideramos os primeiros termos de f v (o primeiro termo é z). E para z grande??? Introduzimos a variável ξ = log z = µ/kt. As funções de Fermi-Dirac escrevem-se F v (ξ) Γ(v)f v (ξ) = 0 x v 1 exp (x ξ) + 1 dx Para ξ grande, o integral é controlado pelo factor [exp(x ξ) + 1] 1 Este factor só se afasta significativamente dos seus valores limite (0, quando x ; 1, quando x 0) numa vizinhança de x = ξ.

13 Funções de Fermi-Dirac: limite para z grande Em primeira aproximação, podemos substituir o factor [exp(x ξ) + 1] 1 por uma função em degrau! 1/(e x-! +1) !=10!=20!= x Vem F v (ξ) ξ 0 f v (z) x v 1 dx = ξv v (log z)v Γ(v + 1)

14 Funções de Fermi-Dirac: aproximação de Sommerfeld Para z grande, em primeira aproximação [Γ(5/2) = (3/4) π], [Veremos já de seguida que precisamos de f 3/2, que é igual a λ 3 N/V ] f 3/2 (z) = 4 3 π (log z)3/2 λ3 V /N Uma aproximação melhor deve-se a Sommerfeld (1928). A primeira correcção é f 3/2 (z) = 4 ] [(log 3 z) 3/2 + π2 π 8 (log z) 1/2 +

15 A função f 3/2 7.5 (4/3)π 1/2 (log z) 3/2 5 f 3/2 2.5 z z A função de Fermi-Dirac f 3/2

16 De volta ao gás de Fermi ideal Regressando ao gás ideal de Fermi, N V = 1 λ 3 f 3/2(z) P kt = 1 λ 3 f 5/2(z) onde λ é o comprimento de onda térmico, ( h 2 λ = 2πmkT ) 1/2 Os casos limite de z grande e z pequeno correspondem a valores elevados ou reduzidos do produto λ 3 (N/V ). λ decresce com a temperatura; N/V é a densidade do gás.

17 De volta ao gás de Fermi ideal Regressando ao gás ideal de Fermi, N V = 1 λ 3 f 3/2(z) P kt = 1 λ 3 f 5/2(z) onde λ é o comprimento de onda térmico, ( h 2 λ = 2πmkT ) 1/2 Os casos limite de z grande e z pequeno correspondem a valores elevados ou reduzidos do produto λ 3 (N/V ). λ decresce com a temperatura; N/V é a densidade do gás.

18 Termodinâmica do gás de Fermi Energia interna: U = 2 log Ξ(z, V, T ) = kt log Ξ(z, V, T ) β T = kt 2 ( ) V T λ 3 f 5/2(z) = 3 2 kt V λ 3 f 5/2(z) Temos a relação U = 3 2 NkT f 5/2(z) f 3/2 (z) P = 2 3 u ; u = U V

19 Termodinâmica do gás de Fermi Energia interna: U = 2 log Ξ(z, V, T ) = kt log Ξ(z, V, T ) β T = kt 2 ( ) V T λ 3 f 5/2(z) = 3 2 kt V λ 3 f 5/2(z) Temos a relação U = 3 2 NkT f 5/2(z) f 3/2 (z) P = 2 3 u ; u = U V

20 Termodinâmica do gás de Fermi (cont.) Capacidade calorífica: C V = Energia livre de Helmholtz: ( ) U T N,V A = NkT log z kt log Ξ(z, V, T ) Entropia: S = ( ) A T V U A T

21 Limite das altas temperaturas / baixas densidades Este limite corresponde a λ 3 N V 1 Os efeitos quânticos devem ser pequenos... A equação para N/V é A equação de estado é Substituindo z, P = NkT V Números de ocupação: λ 3 N V z P kt λ3 z ; U = 3 2 NkT ; etc... n p = z exp( βe p) 1 + z exp( βe p ) λ3 N V exp( βe p)

22 Limite das altas temperaturas / baixas densidades (cont.) Se precisarmos de mais do que da primeira ordem... A equação para N/V é λ 3 N V = z z2 2 3/2 + É possível inverter a série para z, z = λ3 V /N + 1 ( ) λ /2 + V /N Obtém-se PV NkT = ( ( 1) l+1 a l λ 3 N V l=1 ) l 1

23 Limite das altas temperaturas / baixas densidades (cont.) É uma expressão com a forma de uma expansão de Virial!!! a 1 = 1 ; a 2 = ( ) 2 a 3 = PV NkT = [ N 2 λ3 V + O segundo coeficiente de Virial é λ 3 /4 2 > 0 As correcções ao gás ideal não resultam de interacções moleculares, mas de efeitos quânticos! Efeito semelhante ao de uma força repulsiva... resultante do princípio de exclusão! ]

24 Limite das baixas temperaturas / altas densidades Estre limite corresponde a valores de λ 3 N V 1 Baixas temperaturas e/ou altas densidades Comprimento de onda de de Broglie é muito maior que a separação média entre as partículas efeitos quânticos importantes. λ também depende da massa ( m 1/2 ) os efeitos quânticos são mais fáceis de detectar para moléculas leves. É o H 2 um bom candidato??? No H 2 as interacções intermoleculares são fortes os desvios quânticos ao comportamento do gás ideal são mascarados pelos efeitos das interacções... É o limite do gás degenerado.

25 Baixas temperaturas / altas densidades: energia de Fermi Próximo do zero absoluto, a equação para o número de partículas escreve-se λ 3 N V = f 3/2(z) 4 3 (log z)3/2 π Como ( ) h 2 1/2 ( ) 2π 2 1/2 λ = = 2πmkT mkt vem, ( ɛf ) z exp kt... onde ɛ F é a energia de Fermi ( µ quando T 0), ɛ F = 2 ( 6π 2 n ) 2/3 2m ; n = N V

26 Números de ocupação e energia de Fermi Próximo do zero absoluto, os números de ocupação são n p = 1 z 1 exp(βe p ) exp [β (E p ɛ F )] + 1 No limite T 0 (β ), exp [β (E p ɛ F )] tende para zero ou para infinito, se E p < ɛ F ou E p > ɛ F, respectivamente! { 1, se Ep < ɛ n p T =0 = F 0, se E p > ɛ F Todos os níveis abaixo da energia de Fermi estão ocupados; todos os níveis acima da energia de Fermi estão desocupados! O resultado interpreta-se imediatamente à luz do princípio de exclusão de Pauli.

27 Energia de Fermi (cont.) No espaço dos momentos, as partículas preenchem uma esfera de raio p F, designada por superfície de Fermi. Nos slides anteriores esteve impĺıcito que os estados não eram degenerados... (onde?) Se hover estados degenerados (por exemplo g = 2s + 1 para partículas de spin s, vem P kt = g λ 3 f 5/2(z) ; N V = g λ 3 f 3/2(z) A expressão para a energia de Fermi vem corrigida, ɛ F = 2 2m ( 6π 2 n g ) 2/3

28 Energia de Fermi (cont.) No espaço dos momentos, as partículas preenchem uma esfera de raio p F, designada por superfície de Fermi. Nos slides anteriores esteve impĺıcito que os estados não eram degenerados... (onde?) Se hover estados degenerados (por exemplo g = 2s + 1 para partículas de spin s, vem P kt = g λ 3 f 5/2(z) ; N V = g λ 3 f 3/2(z) A expressão para a energia de Fermi vem corrigida, ɛ F = 2 2m ( 6π 2 n g ) 2/3

29 Comportamento a baixas temperaturas Usamos as expressões de Sommerfeld para f 3/2 e f 5/2 : f 5/2 (z) = 8 ] 15 (log z)5/2 [1 + 5π2 π 8 (log z) 2 f 3/2 (z) = 4 ] 3 (log z)3/2 [1 + π2 π 8 (log z) 2 Os termos de primeira ordem obtêm-se todos facilmente.. [e correspondem ao caso limite T = 0] A aproximação seguinte é bem mais difícil... O parâmetro de expansão é kt /ɛ F

30 Baixas temperaturas: níveis de ocupação Resulta: Substituindo f 3/2 na equação de N/V, µ = kt log z = ɛ F [ ( 1 π2 kt 12 ɛ F ) 2 + ] Usamos este µ na expressão dos níveis de ocupação, n p = 1 exp [β (E p µ)] + 1 O desvio em relação à função de degrau é da ordem de kt.

31 Baixas temperaturas: energia interna e pressão Resulta (cont.): Substituindo f 5/2 e f 3/2 na equação de U, U N = 3 ] (kt log z) [1 + π2 5 2 (log z) 2 + Substituindo kt log z na expressão anterior, [ U N = 3 ( ) ] 2 5 ɛ F 1 + 5π2 kt + 12 O primeiro termo é a energia do estado fundamental do gás de Fermi. A pressão é dada por [ P = 2 U 3 V = 2 5 nɛ F 1 + 5π2 12 ɛ F ( ) ] 2 kt + ɛ F

32 Baixas temperaturas: energia interna e pressão Resulta (cont.): Substituindo f 5/2 e f 3/2 na equação de U, U N = 3 ] (kt log z) [1 + π2 5 2 (log z) 2 + Substituindo kt log z na expressão anterior, [ U N = 3 ( ) ] 2 5 ɛ F 1 + 5π2 kt + 12 O primeiro termo é a energia do estado fundamental do gás de Fermi. A pressão é dada por [ P = 2 U 3 V = 2 5 nɛ F 1 + 5π2 12 ɛ F ( ) ] 2 kt + ɛ F

33 Baixas temperaturas: energia interna e pressão Resulta (cont.): Substituindo f 5/2 e f 3/2 na equação de U, U N = 3 ] (kt log z) [1 + π2 5 2 (log z) 2 + Substituindo kt log z na expressão anterior, [ U N = 3 ( ) ] 2 5 ɛ F 1 + 5π2 kt + 12 O primeiro termo é a energia do estado fundamental do gás de Fermi. A pressão é dada por [ P = 2 U 3 V = 2 5 nɛ F 1 + 5π2 12 ɛ F ( ) ] 2 kt + ɛ F

34 Baixas temperaturas: pressão e C V Sobre a pressão a T = 0: Mesmo ao zero absoluto, a pressão é diferente de zero. É um fenómeno quântico, designado por movimento do ponto zero (zero-point motion). Capacidade calorífica: Derivando a expressao de U, C V Nk = π2 kt + 2 ɛ F Quando T 0, C V 0 (3 a lei da termodinâmica!) Quando T, C V 3 2Nk (limite clássico!) Quando T é próximo de zero, C v T.

35 Capacidade calorífica C V O comportamento linear com T para baixas temperaturas é típico dos sistemas de Fermi: quando T aumenta a partir de 0, algumas partículas são excitadas para níveis E p > ɛ F ; as partículas com energias da ordem de ɛ F kt são excitadas para a região ɛ F + kt ; o número de partículas excitadas é da ordem de (kt /ɛ F )N A energia total de excitação é da ordem de U (kt /ɛ F )NkT ; Donde C v (kt /ɛ F )Nk.

36 Capacidade calorífica C V O comportamento linear com T para baixas temperaturas é típico dos sistemas de Fermi: quando T aumenta a partir de 0, algumas partículas são excitadas para níveis E p > ɛ F ; as partículas com energias da ordem de ɛ F kt são excitadas para a região ɛ F + kt ; o número de partículas excitadas é da ordem de (kt /ɛ F )N A energia total de excitação é da ordem de U (kt /ɛ F )NkT ; Donde C v (kt /ɛ F )Nk.

37 Capacidade calorífica C V O comportamento linear com T para baixas temperaturas é típico dos sistemas de Fermi: quando T aumenta a partir de 0, algumas partículas são excitadas para níveis E p > ɛ F ; as partículas com energias da ordem de ɛ F kt são excitadas para a região ɛ F + kt ; o número de partículas excitadas é da ordem de (kt /ɛ F )N A energia total de excitação é da ordem de U (kt /ɛ F )NkT ; Donde C v (kt /ɛ F )Nk.

38 Aplicações Sistemas muito diferentes podem estudar-se a partir do gás de Fermi! Alguns exemplos são: Paramagnetismo (Pauli) Diamagnetismo (Landau) Estrelas anãs brancas Modelo estatístico do átomo Gás de electrões nos metais Emissão termiónica e efeito fotoeléctrico. Fusão inercial Efeito de Hall quântico