Gás de elétrons livres. Introdução à Mecânica Estatística 29/10/2009

Transcrição

1 Gás de elétrons livres Introdução à Mecânica Estatística 9/10/009 1

2 Distribuição de Fermi-Dirac Distribuição de Fermi-Dirac ou f ( ) 1 ( ) e 1 também chamada função de Fermi 1 kt B

3 Exemplo: elétrons em um metal Modelo do elétron livre: os elétrons mais fracamente ligados aos átomos se movem livremente através do volume do cristal... C. Kittel, Introdução à Física do Estado Sólido, Editora Guanabara Dois, 1976, quinta edição, Capítulo 6, p Descrição boa para metais como: Be, Ag, Ca, Ba, Al, Ga, Pb 3

4 Densidade de orbitais (densidade de estados) Elétron de massa m confinado em um volume V Energia de um elétron: H p m momento p i k k k m x y z (. r) exp( i k. r) exp[ i( kx x ky x kz z) k Equação de Schrödinger p/ partícula livre 4

5 Densidade de orbitais (densidade de estados) 3 Volume V L Vetor de onda k ( k, k, k ). Condições periódicas de contorno: x y z ( x L, y, z) exp[ i( k ( x L) k x k z)] exp[ i ( k k x k z)] ( x, y, z) exp[ i ( k. L)] 1 x x y z x y z Analogamente: exp[ i ( ky. L)] 1 exp[ i ( k. L)] 1 z kx nx ky n L L nx, nx, nx 0, 1,,... y k z n L z 5

6 Densidade de orbitais (densidade de estados) Energia associada ao orbital com vetor de onda k ( kx, ky, kz ) k k k m x y z (. r) exp( i k. r) exp[ i( kx x ky x kz z) k k [ kx ky kz ] k m m Relação de dispersão 6

7 Densidade de orbitais (densidade de estados) k ( kx, ky, kz ) Um orbital fica definido pelo vetor de onda e pela variável de spin que para os elétrons pode assumir dois valores. A cada k correspondem dois orbitais e k [ kx ky kz ] k m m 7

8 Densidade de orbitais (densidade de estados) k Espaço em duas dimensões k y vértice /L /L A k x A Observe que A pertence a 1,, 3 e 4 e deve ser contado somente uma vez. Então: Um vetor de onda permitido para o elemento de /L área= 8

9 Densidade de orbitais (densidade de estados) k k z /L vértice /L /L k y Um vetor de onda permitido para o elemento de volume= 3 3 L / 8 / V k x 9

10 Número de orbitais N( ) com energia entre 0 e k ( kx ky kz ) k m m k z Superfície esférica de raio k m 1/ Superfície esférica // k y k x 10

11 Número de orbitais N( ) com energia entre 0 e N( ) 4 m V 1/ 3 Volume da esfera de raio k m Volume elementar no espaço k 1/ A cada k correspondem dois orbitais 11

12 Número de orbitais N( ) com energia entre 0 e N( ) V m 3 3 / / Densidade de orbitais (densidade de estados) D ( ) dn ( ) d 1

13 Densidade de orbitais (densidade de estados) D ( ) dn ( ) d D ( ) 3 V m 3 3 / 1/ Gás de elétrons livres / 3 dimensões 13

14 Propriedades termodinâmicas de um gás de elétrons livres Definições: Número total de elétrons f ( ) N 1 ( ) e 0 f( ) 1 D( ) d Energia interna U f ( ) D( ) d 0 14

15 Gás de elétrons livres a T=0 À temperatura zero a função de Fermi Se comporta da seguinte maneira: f ( ) 1 ( ) e 1 f ( ) 1 f () 0 1 se 0 se 15

16 Gás de elétrons livres a T=0 De fato: f ( ) 1 ( ) e 1 T 0 se então ( ) e 0 e f ( ) 1 se então ( ) e e f ( ) ( ) e 0 16

17 Gás de elétrons livres à T=0 f ( ) 1 0 Número total de elétrons N (1) D( ) d 0 Energia interna U (1) D( ) d 0 17

18 Gás de elétrons livres / 3 dimensões D ( ) 3 V m 3 3 / 1/ Gás de elétrons livres / 3 dimensões à T=0 N 0 3 V m 3 3 / 1/ d U 0 3 V m 3 3 / 3 / d 18

19 Energia de Fermi O potencial químico a T=0 é denominado Energia de Fermi F N V m 3 3 / 3 / F F / 3 3 N m V A energia de Fermi não muda com a temperatura! É uma constante para cada material. 19

20 Efetuando as integrais: N V m 3 3 / 3 / U V m 5 3 / 5 / Gás de elétrons livres/ volume V/ T=0 0

21 Gás de elétrons livres à T=0 k k À T=0 todos os estados com F estão preenchidos e todos com k k estão vazios. F A energia de Fermi é a energia do orbital com energia mais elevada a T=0 k z Superfície esférica de raio Superfície de Fermi k F m 1/ k F k y k x 1

22 Capacidade Térmica Eletrônica Definição Temperatura de Fermi k T F B F Para o cobre TF 810 Limite de baixas temperaturas 4 K T T F Mostrar que no limite de baixas temperaturas a capacidade térmica C se comporta como: C / AN T T F Em que A é uma constante. Isto é, C é diretamente proporcional a temperatura T no limite de baixas temperaturas.

23 A expressão para a energia interna é dada por: 3 / U f( ) d V m 3 3 V m 3 3 / A expressão para o número de elétrons é dada por: 3 / N f( ) 1/ d f ( ) 1 ( ) e 1 3

24 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas Temos que avaliar no limite de baixas temperaturas as seguintes integrais: U V m 3 / f 0 ( ) 3/ d N V m 3 / f 0 ( ) 1/ d f ( ) 1 ( ) e 1 4

25 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas Mostraremos na próxima aula que: 0 1 kt B f ( ) d [1 a ( 1) ] ( 1) 6 f ( ) 1 ( ) e 1 Expansão de Sommerfeld Expressão válida para kt B F 5

26 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas Para U e N: 3/ e 1/ obtemos as seguintes expressões para U N V m 5 V m 3 3 / 3 / kt B [1 ] 4 5 / 15 kt B [1 ] 4 3/ 3 Expressões válidas para kt B F 6

27 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas A partir da expressão para N: N V m 3 3 / kt B [1 ] 4 3/ 3 podemos obter : 3 kt B [1 ] 4 F / 3 7

28 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas 3 kt B [1 ] 4 F aproximando por no lado direito da equação acima e F levando em conta que: / 3 / 3 (1 a) 1 a para a 1 3 Temos: kt B F [1 ] 1 F 8

29 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas Substituindo: kt B F [1 ] 1 F Na última expressão para U obtemos: U V m 5 3 / Levando em conta que: 5 / k 5 / 15 BT kbt F 1 F 4 F [1 ] [1 ] (1 a) 1 a para a 1 5 / 5 9

30 Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas Obtemos a seguinte expressão para válida até ordem : U 3 5 kt B N F [1 ] 5 1 F A partir desta expressão obtemos finalmente: C U N kb T N TF T Capacidade térmica eletrônica no limite de baixas temperaturas é linear com a temperatura. 30

31 Capacidade térmica a baixas temperaturas No regime de baixas temperaturas a capacidade térmica eletrônica é maior do que a capacidade térmica da rede pois nesse regime : C fônons T 3 e Celetrônico T 31

32 Capacidade térmica a baixas temperaturas C/ T versus T Kittel, Introdução à Física do Estado Sólido Valores experimentais para o Potássio C/ T Potássio T 3